山西省忻州市原平新原鄉(xiāng)鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

山西省忻州市原平新原鄉(xiāng)鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2015?欽州模擬）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，那么輸入實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．[﹣2，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】：程序框圖．【專題】：圖表型；算法和程序框圖．【分析】：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合輸出的函數(shù)值在區(qū)間，即可得到答案．解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，∴x∈[﹣2，﹣1]故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是選擇結(jié)構(gòu)，其中根據(jù)函數(shù)的流程圖判斷出程序的功能是解答本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．2.已知輸入的x=11，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x的值為（）A．12 B．23 C．47 D．95參考答案：D【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析繼續(xù)循環(huán)和退出循環(huán)的條件特征，可得答案．【解答】解：x=11，n=1≤3，x=23，n=2≤3，x=47，n=3≤3，x=95，n=4＞3，輸出x=95，故選：D．3.在中，條件甲：，條件乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件參考答案：C略4.對(duì)定義在上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為M函數(shù)：（i）對(duì)任意的x∈，恒有f（x）≥0；（ii）當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．則下列四個(gè)函數(shù)中不是M函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用已知條件函數(shù)的新定義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證兩個(gè)條件，判斷即可．解答： 解：（i）在上，四個(gè)函數(shù)都滿足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；對(duì)于①，，∴①滿足；對(duì)于②，=2x1x2﹣1＜0，∴②不滿足．對(duì)于③，=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴，∴，∴，∴③滿足；對(duì)于④，=，∴④滿足；故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)函數(shù)的運(yùn)算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內(nèi)的變化率、函數(shù)圖象的基本形式來(lái)獲得答案，本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求．5.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D

略6.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．參考答案：解：選D．由．7.在中，若,則A．是銳角三角形

B．是直角三角形

C．是鈍角三角形

D．的形狀不能確定參考答案：B8.已知i是虛數(shù)單位，若z（1+i）=1+3i，則z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9.已知命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A．{a|a≥1} B．{a|a≤﹣2或1≤a≤2} C．{a|﹣2≤a≤1} D．{a|a≤﹣2或a=1}參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：由命題p可得：a≤（x2）min，解得a≤1；由命題q可得：△≥0，解得a≥1或a≤﹣2．由命題“p且q”是真命題，可知p，q都是真命題，即可解出．解答： 解：命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1；命題q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，則△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．若命題“p且q”是真命題，則，解得a≤﹣2或a=1．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣2或a=1}．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題的真假判定方法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與幾十年令，屬于基礎(chǔ)題．10.若函數(shù)滿足，且時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)－g(x)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，又因?yàn)闀r(shí)，，所以作出函數(shù)的圖像：由圖知：函數(shù)－g(x)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8個(gè)。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則+的最小值是．參考答案：4【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得a+b的值，進(jìn)而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化簡(jiǎn)整理，根據(jù)ab的范圍，求得答案．【解答】解：∵是3a與3b的等比中項(xiàng)∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）∴+==≥4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．使用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．12.如圖,在中,,點(diǎn)在線段上,且,則

．參考答案：考點(diǎn)：向量數(shù)量積，二倍角公式，余弦定理【思路點(diǎn)睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.不論是哪類向量知識(shí)與三角函數(shù)的交匯試題，都會(huì)出現(xiàn)交匯問(wèn)題中的難點(diǎn)，對(duì)于此類問(wèn)題的解決方法就是利用向量的知識(shí)將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.13.在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，若△ABD是等邊三角形，且AC=4，則△ADC的面積的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性質(zhì)確定AD?DC的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得三角形面積的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD時(shí)取等號(hào)，∴△ADC的面積S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案為：14.記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，若，則的取值范圍是

．參考答案：顯然，又，①當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是。15.已知x，y滿足約束條件，則的取值范圍為______________．參考答案：.【分析】先由約束條件作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)可化為，因此目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸截距的相反數(shù)，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因目標(biāo)函數(shù)可化為，所以目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最小，即最大；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最大，即最?。挥深}意易得；由得，因此，所以，的取值范圍為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，只需由約束條件作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于常考題型.16.規(guī)定記號(hào)“a?b”表示一種運(yùn)算，即a?b=ab+a+b2（a，b為正實(shí)數(shù)），若1?m=3，則m的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】77：一元二次不等式與一元二次方程．【分析】根據(jù)a?b=ab+a+b2先用含m的式子表示1?m，再根據(jù)1?m=3，得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程，所得方程的解還得滿足為正實(shí)數(shù)，就可求出m的值．【解答】解：∵a?b=ab+a+b2（a，b為正實(shí)數(shù)），∴1?m=1×m+1+m2=3，即m2+m﹣2=0，解得，m=﹣2，或m=1又∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴m=﹣2舍去．∴m=1故答案為117.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為_______.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))．參考答案：答：設(shè)計(jì)∠AMN為60°時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最?。?4分解法二(構(gòu)造直角三角形)：設(shè)∠PMD＝θ，在△PMD中，此時(shí)AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

…………14分解法三：設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α．在△AMN中，因?yàn)镸N＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．

…………2分

答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最?。?4分

解法四(坐標(biāo)法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．即．

答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最?。?4分解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小．…………14分解法六(幾何法)：由運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，可使△PMN不動(dòng)，點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)．由于∠MAN＝60°，∴點(diǎn)A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上，…………4分設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質(zhì)知：AP的最大值為PF＋R．

…………8分

答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小．…………14分19.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，其前項(xiàng)和為Tn，求證：參考答案：(1)(2)見證明【分析】（1）先根據(jù)已知求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先利用裂項(xiàng)相消求出，再證明.【詳解】（1）設(shè)公差為d，則由得，解得.所以.（2）易知隨著n的增大而增大，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）若，是曲線C2上兩點(diǎn)，求的值．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）將首先化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，代入點(diǎn)可求得，整理可得所求的極坐標(biāo)方程；（2）將代入方程，從而將代入整理可得結(jié)果.【詳解】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程得：由，得的極坐標(biāo)方程為：將點(diǎn)代入中得：，解得：代入的極坐標(biāo)方程整理可得：的極坐標(biāo)方程為：（2）將點(diǎn)，代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的求解、極坐標(biāo)中的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)幾何意義將所求的變?yōu)?，從而使?wèn)題得以求解.21.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求證：AD⊥DC1；（2）求證：A1B//平面ADC1．參考答案：證明：（1）因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．

因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．

因?yàn)镈C1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．

（2）(證法一)連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為A1C的中點(diǎn)．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A1B．

因?yàn)镺D平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．

(證法二)取B1C1的中點(diǎn)D1，連結(jié)A1D1，D1D，D1B．則D1C1BD．所以四邊形BDC1D1是平行四邊形．所以D1B//C1D．因?yàn)镃1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可證A1D1//平面AD