高中數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)

高中數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)課件第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六1.復(fù)習(xí)引入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角的三角函數(shù)，如圖：你能在直角坐標(biāo)系中來表示銳角三角函數(shù)嗎?ABC第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),它與原點(diǎn)的距離是_______________過P作x軸的垂線,垂足為M,則

線段OM的長度為___

線段MP的長度為___2.利用平面直角坐標(biāo)系表示銳角三角函數(shù)MyxOαP(a,b)第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六MyxOαP(a,b)P(a,b)MA(1,0)xyα1將點(diǎn)P取在使線段OP的長r=1的特殊位置上以原點(diǎn)O為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六P(x,y)A(1,0)xyα3.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即

sinα=y(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即

cosα=x(3)叫做α正切,記作tanα,即第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六4.三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系三角函數(shù)可以看成自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六yxBAO解:在直角坐標(biāo)系中,作出5.典型例題練第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值解:設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則yxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六知道α終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),就可以求出角α的三角函數(shù)值.yxOMP(x,y)α練第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六6.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinαcosαtanαRR第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)三角函數(shù)的定義,研究三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)-+++++-----+yOxOxyOxy口訣：一全正二正弦三正切四余弦第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例3求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角θ為第三角限角①②證明:如果①②式都成立,那么θ為第三象限角.若sinθ<0,那么θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上又若tanθ>0,那么θ角的終邊可能位于第一或第三象限.因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是θ為第三象限角第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六可以把求任意角的三角函數(shù)值.轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°至360°)角的三角函數(shù)值.7.終邊相同的角的同一種三角函數(shù)值相等誘導(dǎo)公式一角α終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),然后用計(jì)算器驗(yàn)證:解:(1)因?yàn)?50°是第___象限角,所以cos250°0(2)因?yàn)槭堑赺___象限角,所以(3)因?yàn)閠an(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°

而48°是第一象限角,所以tan(-672°)0(4)因?yàn)閠an3π=tan(π+2π)=tanπ=0三<四<>練第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例5求下列三角函數(shù)值第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)1.D第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)2.B第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)3.C第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)1.下面從圖形角度認(rèn)識(shí)一下三角函數(shù)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六思考(1)為了去掉上述等式中的絕對值符號(hào),能否給線段OM、MP規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?使它們的取值與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致?|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以O(shè)為始點(diǎn)、M為終點(diǎn),規(guī)定:當(dāng)線段OM與x軸同向時(shí),OM的方向?yàn)檎?且有正值x;當(dāng)線段OM與x軸反向時(shí),OM的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值x.OM=x=cosα當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以M為始點(diǎn)、P為終點(diǎn),規(guī)定:當(dāng)線段MP與y軸同向時(shí),MP的方向?yàn)檎?且有正值y;當(dāng)線段MP與y軸反向時(shí)MP的方向?yàn)樨?fù)向,且有負(fù)值y.MP=y=sinα第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六(2)你能借助單位圓,找到一條如OM、MP一樣的線段來表示角α的正切嗎?思考第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的終邊α的終邊α的終邊α的終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線,設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T.第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線yxTMOPα的終邊A(1,0)當(dāng)角α的終邊與x軸重合時(shí),正弦線、正切線,分別變成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)角α的正弦值和正切值都為0;當(dāng)角α的終邊與y軸重合時(shí),余

弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存

在,此時(shí)角α的正切值不存在.第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六例題求證：當(dāng)為銳角時(shí)，．第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六1.任意角的三角函數(shù)的定義。2.明確各種三角函數(shù)的定義域。3.掌握各種三角函數(shù)在不同象限的正負(fù)情況.小結(jié)第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六單位圓：圓心在原點(diǎn)，半徑等于單位長度的圓。三角函數(shù)線：用有向線段的數(shù)量來表示。OxyPMAT第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六規(guī)律：三角函數(shù)線是有向線段的數(shù)量，要分清起點(diǎn)、終點(diǎn)。1）凡含原點(diǎn)的線段，均以原點(diǎn)為起點(diǎn)；2）不含原點(diǎn)的線段，線段與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)；3）正切線AT：起點(diǎn)A一定是單位圓與軸的非負(fù)半軸的交點(diǎn)，終點(diǎn)T為終邊（或延長線）與過A的圓的切線的交點(diǎn)第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)課本第20頁習(xí)題1.2A組2,5,7第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)利用三角函數(shù)的定義求的三個(gè)三角函數(shù)值yxA(1,0)O解:如圖與單位圓的交點(diǎn)為返第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)已知角θ的終邊過點(diǎn)P(-12,5),求角θ的三角函數(shù)值解:返第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六口答:設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角,在sinα,

cosα,tanα,tan(α/2)那些可能取負(fù)值?第三十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)>0練習(xí)返tan196o>0第三十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期六填表:角α0°90°180°270°360°角α的弧度數(shù)sinαcosαtanα第