2021年湖南省永州市城北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021年湖南省永州市城北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2013?河?xùn)|區(qū)二模）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程是（）A．B．C．D．x=π參考答案：考點(diǎn)：二倍角的正弦；正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將函數(shù)解析式最后一個(gè)因式中的角變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用誘導(dǎo)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)軸方程，進(jìn)而確定出正確的選項(xiàng)．解答：y=2sin（x+）cos（﹣x）=2sin（x+）cos[﹣（x+）]=2sin2（x+）=1﹣cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，則k=1時(shí)，x=為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．2.要得到函數(shù)f（x）=2sinxcosx，x∈R的圖象，只需將函數(shù)g（x）=2cos2x﹣1，x∈R的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，以及y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)g（x）=2cos2x﹣1=cos2x，x∈R的圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)y=cos2（x﹣）=sin2x=2sinxcosx，x∈R的圖象，故選：D．3.對(duì)于滿(mǎn)足0＜b＜3a的任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得△=b2﹣4ac＞0，于是c＜，從而＞=1+﹣（）2，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，結(jié)合恒成立問(wèn)題的解法，即可得到所求范圍．【解答】解：由滿(mǎn)足0＜b＜3a的任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得△=b2﹣4ac＞0，于是c＜，從而＞=1+﹣（）2，對(duì)任意滿(mǎn)足0＜b＜3a的任意實(shí)數(shù)a，b恒成立．令t=，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3，則﹣t2+t+1=﹣（t﹣2）2+2，當(dāng)t=2時(shí)，取得最大值2，則﹣t2+t+1∈（1，2]．故＞2．故選：D．4.不等式的解集是（

）

A．[-5，7]B．[-4，6]

C．D．參考答案：D5.（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）=2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．解：設(shè)g（x）=f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）=f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，則∵函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查不等式的求解，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．6.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

(

）A．3π

B．6π

C．12π

D．24π參考答案：B7.設(shè)集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，則A∪B=(

)A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}參考答案：B【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根據(jù)集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的并集的定義及其運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意并集中相同的元素只寫(xiě)一個(gè)．8.若函數(shù)f（x）=（a﹣1）x3+ax2為奇函數(shù)，則f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】利用奇函數(shù)的定義，求出a，再計(jì)算f（1）即可．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+ax2為奇函數(shù)，∴﹣（a﹣1）x3+ax2=﹣（a﹣1）x3﹣ax2，∴a=0，∴f（x）=﹣x3，∴f（1）=﹣1，故選B．9.執(zhí)行如下圖的程序框圖，則輸出的值P=（

）A．12

B．10

C．8

D．6參考答案：B10.設(shè)集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，則集合A與B的關(guān)系是（）A．B?A B．B?A C．B∈A D．A∈B參考答案：A【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】化解集合A，B，根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B?A，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舫?shù)，對(duì)，有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．給定下列三個(gè)函數(shù)：

①；

②；

③．其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是______．參考答案：①③．由題意可知當(dāng)時(shí)，恒成立，若對(duì)，有。①若，則由得，即，所以，恒成立。所以①具有性質(zhì)P.②若，由得，整理，所以不存在常數(shù)，對(duì)，有成立，所以②不具有性質(zhì)P。③若，則由得由，整理得，所以當(dāng)只要，則成立，所以③具有性質(zhì)P，所以具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)是①③。12.定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如右圖所示，則式子的值為

。參考答案：1313.若關(guān)于的方程的兩實(shí)根，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是參考答案：略14.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

．參考答案：略15.現(xiàn)有6人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有種．（用數(shù)字作答）參考答案：.試題分析：先排除甲乙之外的其他人有，此時(shí)中間形成三個(gè)空隙，把甲安排到這個(gè)位置上，有種方法，由于甲乙不相鄰，再把乙方法包括端點(diǎn)的其他個(gè)位置，有種方法，每一步之間屬于分步，∴共有種.考點(diǎn)：排列組合.16.（不等式選做題）不等式的解集為

．參考答案：略17.某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣的方法從該校高一年級(jí)全體名學(xué)生中抽取名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試．現(xiàn)將名學(xué)生從到進(jìn)行編號(hào)，求得間隔數(shù)．若從中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)的結(jié)果是抽到了，則在編號(hào)為的這個(gè)學(xué)生中抽取的一名學(xué)生其編號(hào)應(yīng)該是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中點(diǎn)．（1）求證：截面AEC1⊥側(cè)面AC1；（2）若，求B1到平面AEC1的距離參考答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）設(shè)O，分別為AC，的中點(diǎn)，與相交于F，，側(cè)面,可得側(cè)面，截面?zhèn)让?；?）求出、的面積及A到平面，由可得到平面的距離.【詳解】解：（1）設(shè)O，分別為AC，的中點(diǎn)，與相交于F．∵是正三棱柱，∴側(cè)面底面ABC．∵O是正三角形ABC邊AC的中點(diǎn)，∴．∴側(cè)面．∵，，E，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴EBOF是平行四邊形．∴，∴側(cè)面．又平面，∴截面?zhèn)让妫?）∵，則，，所以的面積為．又因?yàn)锳到平面的距離為，的面積為．設(shè)到平面的距離為d，∵，∴，∴．即，B1到平面的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直及線(xiàn)面垂直的判定定理及三棱錐體積的計(jì)算，屬于中檔題，注意靈活運(yùn)用三棱錐的性質(zhì)及面面垂直的判定定理解題.19.如圖,在梯形中，,，,平面平面,四邊形是矩形,,點(diǎn)在線(xiàn)段EF上

(1)求異面直線(xiàn)與所成的角;(2)求二面角的余弦值.參考答案：解：（1）在梯形ABCD中,∵,∴四邊形ABCD是等腰梯形,且∴,∴又∵平面平面ABCD,交線(xiàn)為AC,∴平面ACFE.

∴平面FE.∴異面直線(xiàn)與所成的角為900

（2）方法一;(幾何法)取EF中點(diǎn)G,EB中點(diǎn)H,連結(jié)DG、GH、DH,∵容易證得DE=DF,∴∵平面ACFE,∴

又∵,∴又∵,∴∴是二面角B—EF—D的平面角.

在△BDE中∴∴,∴又∴在△DGH中,由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值為方法二;(向量法)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,,,,所以,,分別設(shè)平面BEF與平面DEF的法向量為,所以,令,則又，顯然,令所以,,設(shè)二面角的平面角為為銳角所以略20.已知二階矩陣有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1,2）變換成（9,15）求矩陣.參考答案：21.在四棱錐中，平面，,.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值；(Ⅲ)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使平面？說(shuō)明理由.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求直線(xiàn)與平面的夾角；直線(xiàn)與平面垂直的判定；直線(xiàn)與平面所成的角；點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算．（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）(Ⅲ)存在，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，AE⊥平面PBC．解：(Ⅰ)在四棱錐中，因?yàn)槠矫?，平?所以.因?yàn)椋?因?yàn)?所以平面.因?yàn)槠矫?所以.

………4分(Ⅱ)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則.則.所以，.設(shè)平面的法向量.所以.即.令，則.所以所以所以與平面所成角的正弦值為.

………8分（Ⅲ）（法一）當(dāng)E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBC．如圖：分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．∴EF∥BC，且．∵AD∥BC，且，∴AD∥EF，且AD=EF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∴AE∥DF．∵PD=CD，∴三角形PCD是等腰三角形．所以.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?所以平面.所以平面.即在線(xiàn)段上存在點(diǎn),使平面.

（法二）設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，平面.設(shè)，則.所以.即.所以.所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.若平面，則.即.解得.所以當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，平面.

………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）通過(guò)證明BC⊥平面PCD，然后證明BC⊥PC；（Ⅱ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)平面PBC的法向量，然后求解PA與平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）法一：當(dāng)E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥平面PBC．分別取PB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，DF，EF．證明四邊形AEFD是平行四邊形．然后證明AE⊥平面PBC．即可推出線(xiàn)段PB上是否存在點(diǎn)E，使AE⊥平面PBC．法二，利用空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量共線(xiàn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【典型總結(jié)】本題考查空間點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，直線(xiàn)與平面所成的角的求法，直線(xiàn)與平面垂直的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．22.（本小題滿(mǎn)分12分）袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2.（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；（2）現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩