一輪復(fù)習(xí)人教A版8.4直線平面垂直的判定和性質(zhì)課件（20張）

高考

數(shù)學(xué)專題八立體幾何8.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)基礎(chǔ)篇考點一直線與平面垂直的判定和性質(zhì)1)線面垂直的判定圖形

條件l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?αa∥b,a⊥α結(jié)論l⊥αb⊥α2)線面垂直的性質(zhì)圖形

條件a⊥α,b?αa⊥α,b⊥α結(jié)論a⊥ba∥b1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和

這個平面所成的角.2)直線l與平面α所成角θ的取值范圍直線l和平面α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ=0°θ=90°0°<θ<90°3)最小角定理:平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和

這個平面內(nèi)任一條直線所成角中最小的角.三余弦公式:cosθ=cosθ1·cosθ2(如圖所示,其中θ1是斜線OA與平面α所成的

角,θ2是斜線OA的射影AB與平面內(nèi)的直線AC的夾角,θ是斜線OA與平面內(nèi)

的直線AC的夾角).

考點二平面與平面垂直的判定和性質(zhì)1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一點,以此點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于

θ,

當(dāng)θ=90°時,二面角叫做直二面角.3)二面角的取值范圍:[0,π].1)面面垂直的判定圖形

條件α∩β=l,OA?α,OB?β,OA⊥l,

OB⊥l,且∠AOB=90°l?β,l⊥α結(jié)論α⊥βα⊥β2)面面垂直的性質(zhì)圖形

條件α⊥β,α∩β=a,l?β,l⊥aα∩β=l,α⊥γ,β⊥γ結(jié)論l⊥αl⊥γ知識拓展1)三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果與這個平面的一條斜線在這個

平面內(nèi)的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直.2)三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)一條直線與該平面的一條斜線垂直,

那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.

綜合篇考法一判定或證明直線與平面垂直的方法1.利用線面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?α?l⊥α(主要方

法);2.利用平行線垂直平面的傳遞性:a∥b,a⊥α?b⊥α;3.利用面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β(主要方法);4.利用面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥β?a⊥α;5.利用面面垂直的性質(zhì):α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l?l⊥α.例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2

,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.解析

(1)證明:因為AP=CP=AC=4,所以△APC為等邊三角形,又O為AC的

中點,所以O(shè)P⊥AC,且OP=2

.連接OB,因為AB=BC=

AC,所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=

ACOP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足為H.由(1)可得OP⊥CH,又OP∩OM=O,所以CH⊥平

面POM.故CH的長為點C到平面POMOC=

AC=2,CM=

BC=

,∠ACB=45°.所以O(shè)M=

,CH=

=

.所以點C到平面POM的距離為

.考法二判定或證明平面與平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l?β?α⊥β(主要方法);2.利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,并計算其大

小為90°);3.利用平行的傳遞性:α∥β,α⊥γ?β⊥γ.例2

(2021全國乙文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.解析

(1)證明:由于PD⊥平面ABCD,AM?平面ABCD,則PD⊥AM,又PB

⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD?平面PBD,所以AM⊥平面PBD,因為AM?平面

PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因為BD?平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°,因為四邊形ABCD為矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠MAB+∠AMB=90°,所以∠ABD=∠AMB,則△DAB∽△ABM,則

=

,又AB=DC=1,M為BC的中點,∴AD=

,∴S矩形ABCD=AB·AD=

,∴V四棱錐P-ABCD=

S矩形ABCD·PD=

×

×1=

.考法三翻折問題的處理方法解決立體幾何中的翻折問題,關(guān)鍵是搞清楚翻折前后圖形中的位置

地,位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變,而

的關(guān)系一般在平面圖形中處理,對于變化的關(guān)系則在立體圖形中解決.例3

(2019課標(biāo)Ⅲ理,19,12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC

組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起

使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

解析

(1)證明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定

一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,又BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?

平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC,垂足為H.因為EH?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長為2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=

.以H為坐標(biāo)原點,

的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0