第四章固有特性近似計算

第四章固有特性近似計算第一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法先假設(shè)系統(tǒng)的振型，再用能量法計算其固有頻率。設(shè)有一n自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量矩陣為[M],剛度矩陣為[K]，它的動能與勢能為：系統(tǒng)作某階主振動時，最大動能與最大勢能：根據(jù)機械能守恒定律Tmax=Umax，可求：第二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五RI(A)稱為第一瑞利商。當(dāng){A}分別取為系統(tǒng)的各階主振型{A(i)}時，即可求出各階固有頻率：注意：由于{A}是假設(shè)的振型，因此求出的各固有頻率只能是估計值；由于高階振型很難做出合理的假設(shè)，故一般只能估算最低階固有頻率。結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計算出來的w2確實接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實際值大（此即所謂的上限估值）。4.1瑞利（Rayleigh）能量法第三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計算出來的w2確實接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實際值大（此即所謂的上限估值）。證明如下：對于n自由度系統(tǒng)存在n個特征值wi2，對應(yīng)有n個特征矢量{AN(i)}(設(shè)已經(jīng)正則化），它們是相互線性獨立的，可以構(gòu)成n維線性空間的一個完備基。任何一個假設(shè)振型{A}都可以表示為n個正則振型{AN

(i)}的線性組合：其中c1，c2，…，cn為比例因子，表示相應(yīng)主振型在假設(shè)振型中所占比例的大小。若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，則有：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法假設(shè)上限估值結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計算出來的w2確實接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實際值大（此即所謂的上限估值）。第五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計算出來的w2確實接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實際值大（此即所謂的上限估值）。第六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五將得：代入瑞利能量法也可用于由柔度矩陣[d]建立系統(tǒng)運動方程的情況：兩次導(dǎo)數(shù)代入上式，得：又因：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五同樣可以證明：對于同一假設(shè)振型{A},總存在有：即用第二瑞利商算出的固有頻率比用第一瑞利商算出的更接近真值。例4.1在如圖（例3.5）所示的三自由度系統(tǒng)，求此系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：前面已經(jīng)算出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：柔度矩陣為：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五不妨先粗糙地取假設(shè)振型{A}=[111]T,由此假設(shè)振型可求得：若取{A}=[123]T,可求得：

若取{A}=[356]T,可求得：

4.1瑞利（Rayleigh）能量法第九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五第一個假設(shè)振型{A}=[111]T：相當(dāng)在質(zhì)量m1上沿坐標(biāo)方向作用一單位力時三個質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對值。第二個假設(shè)振型{A}=[123]T：相當(dāng)在質(zhì)量m3上沿坐標(biāo)方向作用一單位力時三個質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對值。第三個假設(shè)振型{A}=[356]T

：相當(dāng)在各質(zhì)量上沿坐標(biāo)方向同時作用一單位力時三個質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對值。實際振型{A(1)}=[0.4550.8011.000]T實際第三種假設(shè)振型與實際最接近，其第二瑞利商與第一階固有頻率的平方最接近。第十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.2鄧克利（Dunkerley）法瑞利能量法給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的上限估值。鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。n自由度系統(tǒng)的自由振動位移方程：設(shè)解為：將其代入振動位移方程，并以w2除全式，得振型方程：其特征方程為：第十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣[M]為對角陣時：特征方程變?yōu)椋杭矗赫归_得：4.2鄧克利（Dunkerley）法特征方程：第十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五其剛度為：考慮到系統(tǒng)的固有頻率：則近似地只保留第一項1/w12。等式左邊：等式右邊：是第i個質(zhì)量處作用單位力時，系統(tǒng)在該處的柔度系數(shù)。設(shè)想系統(tǒng)只有一個質(zhì)量mi存在，則成為單自由度系統(tǒng)，設(shè)這種假想的系統(tǒng)的固有頻率為Wi，則有：故，有：4.2鄧克利（Dunkerley）法特征方程展開后得將各階固有頻率代入特征方程并相加得第十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)最低階固有頻率的平方值w12的倒數(shù)，近似地等于各質(zhì)量mi（i=1，2，…，n）單獨存在時所得各固有頻率平方值Wi2的倒數(shù)的和。由于上式的左邊舍去了一些正數(shù)項，由此求出1/w12的比實際值偏大，即w12比實際值偏小，因此，用鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。上式右邊所有各項的和實際上是特征方程第二個矩陣的跡，故鄧克利法又叫跡法。鄧克利法也適用質(zhì)量矩陣為非對角陣的情況，只是對應(yīng)矩陣跡的計算復(fù)雜些。4.2鄧克利（Dunkerley）法這里：n階方陣主對角線上元素之和稱為矩陣的跡。第十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.2用鄧克利法估算例3.5中系統(tǒng)的第一階固有頻率。解：在例4.1中已經(jīng)求出：則：其跡為：故：實際矩陣跡的表示符號第十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.3已知一均勻懸臂梁的第一階固有頻率式中EJ為梁的抗彎剛度，M為梁的質(zhì)量，l為梁長。若在梁的自由端安裝一質(zhì)量為m的激振器，試用鄧克利法估算這時系統(tǒng)的一階固有頻率。并分別計算m為M/20、M/10、M/5和M/2時的一階固有頻率，說明激振器質(zhì)量對均勻梁的一階固有頻率的影響。解：只考慮梁的質(zhì)量：懸臂梁端點的柔度為：只考慮激振器的質(zhì)量：第一階固有頻率：第十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五將m/M的各值代入上式，可得下表：表中的誤差是相對于W1的。加激振器后，梁的固有頻率有明顯的下降，只有當(dāng)激振器的質(zhì)量小于梁的重量的1/20時，才可以忽略其質(zhì)量對梁的固有頻率的影響。另外，考慮到鄧克利法給出的是下限估值，實際誤差比表中給出的要小些。激振器質(zhì)量對均勻梁的一階固有頻率的影響：第十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.4設(shè)如圖所示的二自由度系統(tǒng)，其中k1=ck，c為常數(shù)。用跡法估算其基頻（一階固有頻率），并將結(jié)果與準(zhǔn)確值作比較。解：分別只考慮一個質(zhì)量的假想系統(tǒng)如圖所示：串聯(lián)并聯(lián)第十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五式中，假設(shè)模態(tài)為n階列陣，可預(yù)先選定；李茲法不是直接給出假設(shè)振型，而是把它表示為s個（1<s<=n）獨立的假設(shè)模態(tài)（即假設(shè)振型）的線性組合。4.3李茲（Ritz）法李茲法是瑞利法的改進。用李茲法不僅可以算出系統(tǒng)的基頻，還可算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)。李茲法將對近似振型做出合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進一步下降。瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限。S根據(jù)需要而定，一般小于n；Cj為待定系數(shù)。第十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五將假設(shè)振型代入第一瑞利商得：由于由瑞利商得出的是系統(tǒng)的一階固有頻率的上限估值，因此，待定系數(shù)cj的選擇應(yīng)使上式給出的固有頻率為最小。則：此式對任意待定系數(shù)cj的偏導(dǎo)數(shù)都應(yīng)等于零。4.3李茲（Ritz）法第二十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五得：由于：且：4.3李茲（Ritz）法階：1*s階：s*n階：1*n第二十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五得出：整理成矩陣方程：得：由于4.3李茲（Ritz）法第二十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五由確定的前s階固有頻率以及的逼真程度與開始選定的s個假設(shè)模態(tài)有關(guān)。4.3李茲（Ritz）法第二十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五若將代入第二瑞利商經(jīng)過上述同樣的處理過程，可將原問題轉(zhuǎn)化為下述特征值問題：4.3李茲（Ritz）法第二十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五將各段質(zhì)量等分兩半，分別置于其兩端部，各質(zhì)量之間由剛度為k的彈簧相連，k由每段桿的拉壓剛度確定為：例4.5圖為一等直桿，桿長l，截面積為A，密度為r，試用聚縮質(zhì)量的方法將其離散為有限自由度系統(tǒng)，并用李茲法求桿作縱向振動的第一階固有頻率及主振型的近似解。解：將桿分成四段，每段質(zhì)量：通過聚縮質(zhì)量將等直桿簡化成四自由度系統(tǒng)。固定端處的質(zhì)量不參與振動。第二十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五此離散系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為：因只求第一階固有頻率和主振型，故選取兩個假設(shè)模態(tài)：廣義質(zhì)量矩陣：第二十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五廣義剛度矩陣：特征方程：第三十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五特征方程：將代入特征矢量第三十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五同理，根據(jù)確定特征方程：特征矢量主振型第三十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五等直桿的精確解：第三十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.4矩陣迭代法n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動作用力方程:設(shè)方程的解為：代入作用力方程，消去得系統(tǒng)的主振型方程：第三十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動位移方程:設(shè)方程的解為：代入振動位移方程，消去得系統(tǒng)的主振型方程：4.4矩陣迭代法第三十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的主振型方程：矩陣迭代法：從假設(shè)主振型出發(fā)，對上兩式進行矩陣迭代運算，從而算出系統(tǒng)的固有頻率和主振型。設(shè)動力矩陣分析迭代計算：4.4矩陣迭代法第三十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五第一階固有頻率和主振型的矩陣迭代運算方法：（1）任意選取一個經(jīng)過歸一化的假設(shè)振型用動力矩陣[D]前乘它，并對矩陣相乘結(jié)果再進行歸一化,得一新振型，即為新振型矢量歸一化后的系數(shù)。（2）如果就再從{A}1開始，重復(fù)上述步驟，得：為新振型矢量歸一化后的系數(shù)。4.4矩陣迭代法主振型方程：第三十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五（3）如果繼續(xù)重復(fù)上述步驟。經(jīng)過k次矩陣乘法運算后，得到：在規(guī)定的有效位數(shù)內(nèi)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)就停止運算。證明如下：對于n自由度系統(tǒng)存在n個特征值wi2，對應(yīng)有n個特征矢量{AN(i)}(設(shè)已經(jīng)正則化），它們是相互線性獨立的，可以構(gòu)成n維線性空間的一個完備基。任何一個假設(shè)振型{A}都可以表示為n個正則振型{AN

(i)}的線性組合：4.4矩陣迭代法第三十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五設(shè)初始假設(shè)振型{A}0表示為系統(tǒng)主振型{A(i)}的線性組合：假設(shè)振型{A}0經(jīng)過第一次迭代后：4.4矩陣迭代法第三十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)過第二次迭代后：4.4矩陣迭代法第四十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.4矩陣迭代法第四十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.6用矩陣迭代法求例3.5中系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型。解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和柔度矩陣分別為：

系統(tǒng)的動力矩陣為：

第四十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的動力矩陣為：

取{A}0={111}T,進行第一次迭代：

進行第二次迭代：

第四十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五繼續(xù)重復(fù)迭代運算，得：這時，有：第一階主振型為：第四十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五在例3.5中通過解頻率方程求出的三個固有頻率和主振型為：例4.6用矩陣迭代法求系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型。例4.1中通過瑞利能量法，在假設(shè)振型{A}=[111]T，求得：第四十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的主振型方程：4.4矩陣迭代法第四十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五在矩陣迭代法的證明中，設(shè)初始假設(shè)振型{A}0表示為系統(tǒng)主振型{A(i)}的線性組合：4.4矩陣迭代法第四十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)振型用前乘上式，根據(jù)主振型的正交性，可得：第

i

階主質(zhì)量?。杭纯稍诩僭O(shè)振型{A}0中清除前s階主振型分量，使迭代結(jié)果收斂于第s+1階固有頻率和主振型。4.4矩陣迭代法第四十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五S階清型矩陣（n*n階）4.4矩陣迭代法第四十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五動力矩陣：清型變換后的動力矩陣：4.4矩陣迭代法第五十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五需求第二階固有頻率和主振型時，每次迭代前須乘以動力矩陣：需求第三階固有頻率和主振型時，每次迭代前須乘以動力矩陣：動力矩陣的遞推公式為：此種方法適用于正定系統(tǒng)。4.4矩陣迭代法第五十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五半正定系統(tǒng)：因不存在柔度矩陣，故不能用上述方法求其固有頻率和主振型。半正定系統(tǒng)的主振型方程：變成：再改為：4.4矩陣迭代法系統(tǒng)的主振型方程第五十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.7用矩陣迭代法求例3.5中系統(tǒng)的第二階和第三階固有頻率及主振型。（繼續(xù)例4.6）解：在例4.6中已求得系統(tǒng)的第一階固有頻率的平方值和主振型為：系統(tǒng)的第一階主質(zhì)量為：系統(tǒng)的第二階固有頻率和主振型：第五十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五動力矩陣：在例4.6已求出第五十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五選取第二階初始振型為：第一次迭代，得：第二次迭代，得：迭代公式第五十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五如此繼續(xù)下去，得：第五十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五有系統(tǒng)的第二階主振型為：系統(tǒng)的第二階固有頻率的平方為：第五十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的第三階固有頻率和主振型：第二階主質(zhì)量為：因選取第三階初始振型為：第五十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五各次迭代運算的結(jié)果為：系統(tǒng)的第三階主振型為：系統(tǒng)的第三階固有頻率的平方為：第五十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例3.5的結(jié)果：與例3.5的結(jié)果相比：頻率值相同，振型稍有不同，是計算的舍入誤差造成的。另外，由于第三假設(shè)振型較接近實際振型，迭代次數(shù)少。第六十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五

第四章

多自由度系統(tǒng)固有特性的近似計算固有特性的近似計算方法：瑞利能量法；鄧克利法；李茲法；矩陣迭代法；子空間迭代法；（略）傳遞矩陣法。第六十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法4.6.1軸的扭轉(zhuǎn)振動如圖為一鏈?zhǔn)捷S盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，各軸段的質(zhì)量不計，其扭轉(zhuǎn)剛度分別為k1、k2、…、kn，各圓盤的彈性變形不計，其轉(zhuǎn)動慣量分別為I1、I2、…、In。分析第i個圓盤：鏈?zhǔn)捷S盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，用傳遞矩陣法計算其固有頻率和主振型。約定：（按右手螺旋規(guī)則），各圓盤的轉(zhuǎn)角矢朝右為正；作用于圓盤右端面的扭矩矢朝右為正；作用于圓盤左端面的扭矩矢朝左為正。將每個端面的轉(zhuǎn)角和扭矩組成一個狀態(tài)矢量{Z}，反映該處的運動與受力狀態(tài)。第i個圓盤右端面的狀態(tài)矢量第i個圓盤左端面的狀態(tài)矢量第六十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五第i個圓盤分離體的動力學(xué)方程：設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動為簡諧振動：代入動力學(xué)方程，得：圓盤左右兩端面轉(zhuǎn)角相等（忽略圓盤的彈性）：}第i個圓盤右端面的狀態(tài)矢量第i個圓盤左端面的狀態(tài)矢量4.6傳遞矩陣法第六十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五分析第i段軸：}4.6傳遞矩陣法第六十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五{第i段軸左右端狀態(tài)傳遞關(guān)系第i個圓盤左右端面狀態(tài)傳遞關(guān)系[C]i稱為第i個傳遞矩陣4.6傳遞矩陣法點矩陣場矩陣第六十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第六十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五在上圖的鏈?zhǔn)捷S盤扭轉(zhuǎn)自由振動系統(tǒng)中的邊界條件：第i個圓盤右端面的狀態(tài)矢量4.6傳遞矩陣法邊界條件：自由端:固定端：第六十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五例4.9用傳遞矩陣法求圖示三圓盤扭振系統(tǒng)的固有頻率和主振型。第一個圓盤左右端的點矩陣第二個傳遞矩陣第三個傳遞矩陣第六十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五第六十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)為剛體轉(zhuǎn)動第七十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五主鏈系統(tǒng)：支鏈系統(tǒng)：分支結(jié)構(gòu)的軸盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，用傳遞矩陣法計算其固有頻率和主振型。轉(zhuǎn)動慣量為的三個圓盤所在的A軸。轉(zhuǎn)動慣量為的圓盤所在的B軸。4.6傳遞矩陣法第七十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法傳遞矩陣[C]i第七十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五{建立了1點左右兩端面的狀態(tài)矢量的關(guān)系4.6傳遞矩陣法第七十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五}4.6傳遞矩陣法第七十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6.2梁的彎曲振動將梁結(jié)構(gòu)簡化成帶有若干集中質(zhì)量的彈性梁。4.6傳遞矩陣法第七十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法且：有：第七十九頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)量mi梁li4.6傳遞矩陣法第八十一頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十二頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十三頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法邊界條件：自由端:

邊界條件：固定端：第八十四頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五第八十五頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五

第四章

多自由度系統(tǒng)固有特性的近似計算1。瑞利能量法第一瑞利商RI(A)：第二瑞利商RII(A)：結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計算出來的w2確實接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實際值大（此即所謂的上限估值）。第八十六頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五2。鄧克利法瑞利能量法給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的上限估值。鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。振動微分方程：特征方程：振型方程：第八十七頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五特征方程化為：系統(tǒng)最低階固有頻率的平方值w12的倒數(shù)，近似地等于各質(zhì)量mi（i=1，2，…，n）單獨存在時所得各固有頻率平方值Wi2的倒數(shù)的和。上式右邊所有各項的和實際上是特征方程中的第二個矩陣的跡，故鄧克利法又叫跡法。這里：n階方陣主對角線上元素之和稱為矩陣的跡。第八十八頁，共一百零一頁，編輯于2023年，星期五式中，假設(shè)模態(tài)為n階列陣，可預(yù)先選定；李茲法不是直接給出假設(shè)振型，而是把它表示為s個（1<s<=n）獨立的假設(shè)模態(tài)（即假設(shè)振型）的線性組合。3。李茲（Ritz）法李茲法是瑞利法的改進。用李茲法不僅可以算出系統(tǒng)的基頻，還可算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)。瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限。S根據(jù)需要而定，一般小于n；Cj為待定系數(shù)。第八十九頁，共一百零一頁，