復(fù)變函數(shù)習(xí)題課件

第三章

復(fù)變函數(shù)的積分1一、重點(diǎn)與難點(diǎn)2重點(diǎn)：1.

復(fù)積分的基本定理（柯西—古薩定理)；柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式積分的計(jì)算難點(diǎn)：復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算1.積分的定義CoxyABn-1zz21zkzkCzk-1z1z2znnfi

￥

k

=1f

(

z)dz

=

lim

f

(zk

)

Dzk

.2.

積分的性質(zhì)f

(z)dz;-C

C(1)

f

(z)dz

=

-f

(z)dz;(2)

C

kf

(z)dz

=

k

C(3)

C

[

f

(z)

–

g(z)]dz

=

C

f

(z)dz

–

C

g(z)dz;設(shè)f

(z

),g

(z

)沿曲線C

連續(xù).CC1f

(

z

)

d

z

+

C2f

(

z

)

d

z

=f

(

z

)

d

z

;(

4

)

設(shè)

C

由

C

1

,

C

2

連結(jié)而成

,

則f

(

z

)d

z

￡

C3Cf

(

z

)

d

s

￡

ML

.f

(z

)

￡

M

,那末f

(

z

)

在

C

上滿足L

,函數(shù)(5)設(shè)曲線C

的長(zhǎng)度為4f

(

z

)

=

u

(

x

,

y

)

+

iv

(

x

,

y

)C

f

(z)dz

=

C

u(

x,

y)dx

-

v(

x,

y)dy

+

i

C

v(

x,

y)dx

+

u(

x,

y)dy.（3）用參數(shù)方程將積分化成定積分3.積分的計(jì)算（1）利用定義計(jì)算C（2）化成線積分z

=z(t)

=x(t)+iy(t) (a￡t

￡b)f

[z(t)]

z￠(t)dt.baf

(z)dz

=C

f

(z

k

)

D

z

k

.f

(

z

)d

z

=

limn

fi

￥nk

=

1f

(

z

)d

z

=

G

(

z

1

)

-

G

(

z

0

)z

10z（4）利用牛頓-萊布尼茲公式(6)柯西積分公式Cz

-

z0f

(

z

)

d

z

=

2p

if

(

z

)0(7).

高階導(dǎo)數(shù)公式dz

(n

=

1,2,)n!

f

(z)2pi0(z

-

z

)n+10f

(z

)

=(n)Cf

(z)0n!dz

=

f

(z

) (n

=

1,2,)(n)2pi0(z

-

z

)n+1C(5)

柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)f

(z)

在單連通域

B內(nèi)處處解析,

C為B內(nèi)任一條封閉曲線:c

f

(z)dz

=

0.5互不包含也互不相交為邊界的區(qū)域全含于,并且以C

,C

1

,C

2,

,C

nD

,DC1CC

2C

3閉路變形原理一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在解析區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.復(fù)合閉路定理設(shè)

C

為多連通域

D

內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線

,C

1

,

C

2

,

,

Cn

是在

C

內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線

,

它們(2)

f

(z)dz

=

0.G如果f

(z)在D

內(nèi)解析,那末n6k

=1CC

kf

(

z

)d

z

,(1)

f

(

z

)d

z

=

那末稱j

(x,y)為區(qū)域D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).任何在D內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).7=

0,如果二元實(shí)變函數(shù)j

(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且滿足拉普拉斯方程?2j

?2j?x2

+

?y26.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)?u

=?v

,?u

=-?v的兩個(gè)調(diào)8即在D

內(nèi)滿足方程?x

?y

?y

?x和函數(shù)中,v

稱為u

的共軛調(diào)和函數(shù).定理

區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛設(shè)u(x,y)為區(qū)域D

內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù),我們把使u

+iv

在D

內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).調(diào)和函數(shù).注意：1.

v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，但共軛調(diào)和函數(shù)u不一定是v的共軛調(diào)和函數(shù)2.對(duì)于任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u,v,f

(z)=u

+iv不一定是解析函數(shù)。因?yàn)?/p>

z

-

1

=

2，z

-

1

2所以2z

+

1

=

z

-

1

+

2

￡

z

-

1

+

2

=

2,因此cz

-

1

c

z

-

1

z

+

1dz

￡

z

+

1

dz

￡

2 2p

2

=

8p.證例1

設(shè)C為圓周z

-1

=2證明下列不等式.cz

-

1

z

+

1dz

￡

8p.另證=

4pic

z

-

1

z

+

1

dz

=

2pi

(z

+

1)z

=1=

4

p

<

8

p9

z

+

1

d

zc

z

-

1解z2

+

2z

+

4

?

4

-

2z

-

z

2

?

4

-

2

-

1

=

1,故由柯西-古薩基本定理得dz.z2

+

2z

+

4cos(z100

+

z

+

1)計(jì)算

z

=1例2當(dāng)z

￡

1時(shí),dz

=

0.10z2

+

2z

+

4cos(z100

+

z

+

1)

z=13

dz,其中C是不經(jīng)過(guò)0與1的閉C

z(1

-

z)例3

計(jì)算e

z光滑曲線.解

分以下四種情況討論：1)若封閉曲線C既不包含0也不包含1,則ezf

(z)=z(1

-z)3

在C內(nèi)解析,ezC

z(1

-

z)3

dz

=

0.由柯西古薩基本定理得112)若封閉曲線C包含0而不包含1,則ezf

(z)=(1

-z)3

在C內(nèi)解析,由柯西積分公式得xyOC?1dz(1

-

z)3z

=012(1

-

z)3

ez

ezC

z(1

-

z)3

dz

=

C

zez=

2pi=

2pi.3)若封閉曲線C包含1而不包含0,則ezf

(z)=z

在C內(nèi)解析,由高階導(dǎo)數(shù)公式得ez

ezz

-

ez

zC

z(1

-

z)3

dz

=

C

(1

-

z)3dz

=

C

(z

-

1)3dz2!=

2pi

[-

f

￠(1)]=

-epi.z

=113-

z3(z2

-

2z

+

2)ez=

pi4)若封閉曲線C既包含1又包含0,則分別以0,1為圓心,以r>0為半徑作圓C1

,C2

,使C1和C2也在C內(nèi),且C1與C2互不相交,互不包含,據(jù)復(fù)合閉路定理有C

z(1

-

z)3

dzez3

dz2

z(1

-

z)=

C

3dz

+

C1

z(1

-

z)ezezyOCx?114C1C2ez所以

C

z(1

-

z)3

dz

=

(2

-

e)pi.2

z(1

-

z)3dz

即為3)的結(jié)果-epi,ez而積分C1

z(1

-

z)153dz即為2)的結(jié)果2pi,ez而積分Ce

z1(1)

C

z

(

z

2

+

1)

d

z; (

2

)

C

z

(

z

2

+

1)

d

z

.以z

=0及z

=i

為圓心,以1

4為半徑作圓C1及C2

,則由復(fù)合閉路定理有在C內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z

=0及z

=i分別z(

z

2

+

1)1(1)解CC

Cdzz(z

+1)12dz

+z(z

+1)dz

=z(z

+1)11

1222216例4

沿指定路徑c

:

z

-

i

=

3

計(jì)算如下積分解法一 利用柯西-古薩基本定理及重要公式-

--

i

2

z

+

i1

1

1

1

1

1z(z2

+

1)

=

z

2

z由柯西-古薩基本定理有dz

=

0,1

1C1

2

z

-

idz

=

0,1

1C1

2

z

+

i1dz

=

0,C2

zdz

=

0,

1

1C2

2

z

+

iyxOi-iCC2C117111

2Cdz2

2(z

-

i)CCdz

-1

zdz

=

z(z

+

1)218=

2pi

-

1

2pi=

pi.解法二 利用柯西積分公式11z2

+

11f

(z)

=z(z

+

i)12在C

內(nèi)解析,2在C

內(nèi)解析,

f

(z)

=CCCdz

+1

z(z

+

1)dz

=z(z

+

1)dz2

z(z

+

1)111222z

-

i2dz

+

C1=

Cdz1

[z(z

+

i)]z1

(z2

+

1)=

2pi f1

(0)

+

2pif2

(i)

19

2

=

2pi

+

2pi

-

1

=

pi.以z=0及z=i

為圓心,以1

4為半徑作圓C1及C2

,則由復(fù)合閉路定理有在C內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z

=0及z

=i分別z(z2

+

1)(2)ezCez

ez

ezdz2

z(z

+

1)dz

=

C

dz

+

Cz(z

+

1)

1

z(z

+

1)2

2

2ezez20f1

(z)

=

z2

+

1在C1內(nèi)解析,

f2

(z)

=

z(z

+

i)

在C2內(nèi)解析,因此由柯西積分公式得Cezezezdz2

z(z

+

1)dz

+

C1

z(z

+

1)dz

=

Cz(z

+

1)222z

-

i2dz

+

C1=

Cdz[z(

z

+

i

)]e

zezz(

z

2

+

1)=

2pi f1

(0)

+

2pif2

(i)

21=

2pi

+

2pi

-

2ei

=

pi(2

-

ei

)=

p[sin1

+

i(2

-

cos1)].例5

已知調(diào)和函數(shù)

u(

x,

y)

=

x

2

-

y

2

+

xy.求其共軛調(diào)和函數(shù)

v(

x,

y)及解析函數(shù)f

(

z)

=

u(

x,

y)

+

iv(

x,

y).解法一 偏積分法.

利用柯西—黎曼方程,?x

?y?v

=

-

?u

=

-(-2

y

+

x)

=

2

y

-

x,x2得

v

=

(2

y

-

x)dx

=

2

xy

-

2

+

g(

y),?y?v

=

2

x

+

g￠(

y).又

?v

=

?u

=

2

x

+

y.?y

?x22比較兩式可得:2

x

+g

(y)=