2023年數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義

《數(shù)理記錄》

教案

第一章記錄量及其抽樣分布

第一節(jié)總體與樣本

教學(xué)目的：規(guī)定學(xué)生理解數(shù)理記錄的兩個(gè)基本概念:總體和樣本，以及與這兩個(gè)基本

概念相關(guān)的記錄基本思想和樣本分布。

教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)理記錄的基本概念和基本思想.

教學(xué)難點(diǎn)：掌握數(shù)理記錄的基本概念和基本思想.

一、總體與個(gè)體

在一個(gè)記錄問(wèn)題中，我們把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱(chēng)

為個(gè)體。對(duì)多數(shù)實(shí)際問(wèn)題?？傮w中的個(gè)體是一些實(shí)在的人或物。比如，我們要研究

某大學(xué)的學(xué)生身高情況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問(wèn)題的總體，而每一個(gè)學(xué)生即是

一個(gè)個(gè)體。事實(shí)上，每個(gè)學(xué)生有許多特性：性別、年齡、身高、體重、民族、籍貫

等。而在該問(wèn)題中，我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何，對(duì)其他的特性暫不予以

考慮。這樣，每個(gè)學(xué)生（個(gè)體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值——身高就是個(gè)體，而將所有

身高全體當(dāng)作總體。這樣一來(lái)，若拋開(kāi)實(shí)際背景，總體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大

有小，有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少，因此用一個(gè)概率分布去描述和歸納

總體是恰當(dāng)?shù)摹倪@個(gè)意義上看，總體就是一個(gè)分布，而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個(gè)

分布的隨機(jī)變量。以后說(shuō)“從總體中抽樣''與"從某分布中抽樣''是同一個(gè)意思。

例1.考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格

品，以1記不合格品，則

總體=｛該廠生產(chǎn)的所有合格品與不合格品｝=｛由0或1組成的一堆數(shù)｝。

若以P表達(dá)這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表

達(dá):

X01

ppp

不同的p反映了總體間的差異。例如，兩個(gè)生產(chǎn)同類(lèi)產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分

布為：

X01X01

T0.9830.017~P~0.9150.085

我們可以看到，第一個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)于第二個(gè)工廠。

實(shí)際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對(duì)之進(jìn)行估計(jì)是記錄學(xué)要研究的

問(wèn)題。

二、樣本

為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為xi,

X2,…，Xn,則XI,X2,…，Xn稱(chēng)為總體的一個(gè)樣本，n稱(chēng)為樣本容量，或簡(jiǎn)稱(chēng)樣本

量，樣本中的個(gè)體稱(chēng)為樣品。

我們一方面指出，樣本具有所謂的二重性：一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)

抽取的，抽取前無(wú)法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī)變量，用大寫(xiě)字母Xl,X2,

Xn表達(dá)；另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測(cè)就有擬定的觀測(cè)值，因此，樣本又是一

組數(shù)值。此時(shí)用小寫(xiě)字母XI,X2,…，Xn表達(dá)是恰當(dāng)?shù)摹：?jiǎn)樸起見(jiàn)，無(wú)論是樣本還

是其觀測(cè)值，本書(shū)中樣本一般均用XI,X2,…，Xn表達(dá)，讀者應(yīng)能從上下文中加以

區(qū)別。

例2.啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g,,由于隨機(jī)性，事實(shí)上不也許

使得所有的啤酒凈含量均為640g，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取10瓶測(cè)定其凈含

量，得到如下結(jié)果：

641635640637642638645643639640

這是一個(gè)容量為10的樣本的觀測(cè)值。相應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含

量。

從總體中抽取樣本時(shí)，為使樣本具有代表性，抽樣必須是隨機(jī)抽樣。通?？梢?/p>

用隨機(jī)數(shù)表來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣。還規(guī)定抽樣必須是獨(dú)立的，即每次的結(jié)果互不影響。

在概率論中，在有限總體（只有有限個(gè)個(gè)體的總體）中進(jìn)行有放回抽樣，是獨(dú)立的

隨機(jī)抽樣；然而，若為不放回抽樣，則是不獨(dú)立的抽樣。但

當(dāng)總體容量N很大但樣本容量n較?。ǘ槙r(shí)，不放回抽樣可以近似地看做放

回抽樣，即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣。

下面，我們假定抽樣方式總滿(mǎn)足獨(dú)立隨機(jī)抽樣的條件。

從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對(duì)總體做出較可靠的推斷，

就希望樣本能很好地代表總體。這就需要對(duì)抽樣方法提出一些規(guī)定，最常用的

“簡(jiǎn)樸隨機(jī)抽樣''有如下兩個(gè)規(guī)定：

（1）樣本具有隨機(jī)性，即規(guī)定總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這便

意味著每同樣品xi與總體X有相同的分布。

（2）樣本要有獨(dú)立性，即規(guī)定樣本中每同樣品的取值不影響其他樣品的取值，這

意味著Xl,X2,Xn互相獨(dú)立。

用簡(jiǎn)樸隨機(jī)抽樣方法得到的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本，也簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。除非特別指明，

本書(shū)中的樣本皆為簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本。

于是，樣本X”............Xn可以當(dāng)作是互相獨(dú)立的具有同一分布的隨機(jī)變量,

其共同分布即為總體分布。

設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（X）,X”X2,…，Xn為取自該總體的容量為n的樣本,

則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為：

歹（看,移…,％）=口歹⑻=歹（為）歹⑴）…尸日）

若總體具有密度’函數(shù)f（X）,則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

/（為,…％=口/■）=/Wf⑸…&）

若總體X為離背前隨機(jī)變量，則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為

漢瓦,瓦,…,&）=np｛》=舄｝=P（X=X1）P（X=電）…P（X=&）

顯然，通常說(shuō)的蔚:分布是指多維隨機(jī)變量（X”X2,…，Xn）的聯(lián)合分布。

例3.為估計(jì)一物件的重量中用一架天平反復(fù)測(cè)量n次，得樣本XI,X2,…，

Xn,由于是獨(dú)立反復(fù)測(cè)量，XI,X2,…，Xn是簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本?？傮w的分布即XI的分

布（XI,X2,…，Xn分布相同）。由于稱(chēng)量誤差是均值（盼望）為零的正態(tài)變量，

所以XI可認(rèn)為服從正態(tài)分布N⑺，o2）（Xi等于物件重量M加上稱(chēng)量誤差，即

XI的概率密度為

這樣，樣本分布密度為

X11X

卬F"口加皿一天力

例4.設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E（入），其概率密度為：

m）='已為>°；

0,x<0.

則來(lái)自這一總體的簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本XI,X2,…，Xn的樣本分布密度為

，（演，的“4）=殘（再）或（々”/（々）="、I,>o（j=1,2,

0,其他.

例5.考慮電話(huà)互換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)的呼喚次數(shù)X。求來(lái)自這一總體的簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本

Xl,X2，…，Xn的樣本分布。

解由概率論知識(shí)，X服從泊松分布P（入）,其概率函數(shù)

Px（x）=P[X=才｝=--e~A（A>0）

rl,

（其中x是非負(fù)整數(shù)｛0,1,2,k,…｝中的一個(gè)）。從而，簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣

本Xl,X2，…，Xn的樣本分布為:

,%,???、)=廣丫(%)戶(hù)*(0)???;>=p(X=xMX=4)???P(》=rj

H

的+登+???+”不

/II

±____________0-也

卒引…％!

第二節(jié)記錄量及其分布

教學(xué)目的：規(guī)定學(xué)生理解數(shù)理記錄的基本概念：記錄量，純熟掌握樣本均值、樣本

方差、樣本原點(diǎn)矩、樣本中心矩等常用記錄量的計(jì)算公式，掌握順序記錄量及其抽

樣分布。能用R軟件來(lái)計(jì)算這些常用記錄量，能用R軟件來(lái)產(chǎn)生分布的隨機(jī)數(shù)以進(jìn)

行隨機(jī)模擬。

教學(xué)重點(diǎn)：樣本均值、樣本方差、樣本原點(diǎn)矩、樣本中心矩等常用記錄量的求法；

順序記錄量的抽樣分布。

教學(xué)難點(diǎn)：順序記錄量的抽樣分布。

一、記錄量與抽樣分布

樣本來(lái)自總體，樣本的觀測(cè)值中具有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，

有時(shí)顯得雜亂無(wú)章。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來(lái)以反映總體的

各種特性，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工。最常用的加工方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函

數(shù)反映總體的不同特性。

定義1.設(shè)X”X2,…，Xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T（XI,X2,…，

x?）中不具有任何未知參數(shù)，則稱(chēng)T為記錄量。記錄量的分布稱(chēng)為抽樣分布。

按照這一定義，若XI,X2,…，Xn為樣本，則￡,W都是記錄量，而當(dāng)中

?

為-〃）2三

，未知時(shí)，"等均不是記錄量。

二、樣本均值及其抽樣分布

定義2.設(shè)XI,X2,…，Xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱(chēng)為樣本均值，一

般用F

表達(dá)，即閥\

例6.某單位收集到20名青年人某月的娛樂(lè)支出費(fèi)用數(shù)據(jù)：

79848488929394979899

100101101102102108110113118125

則該月這20名青年的平均娛樂(lè)支出為

X=J-(79+84+-+125)=99.4

對(duì)于樣本均值F的抽樣分布，我們有下面的定理。

定理L設(shè)XI,X2,…，Xn是來(lái)自某個(gè)總體X的樣本，為樣本均值。

(1)若總體分布為N(M，o2),則f的精確分布為"如'方)；

(2)若總體X分布未知(或不是正態(tài)分布)，且E(X)=四，D(X)=，，則當(dāng)

樣本容量n較大時(shí)，的漸近分布為W'盟4這里的漸近分布是指n較大時(shí)的

近似分布。

證明(1)由于F為獨(dú)立正態(tài)變量線性組合，故工仍服從正態(tài)分布。此外,

_1X

E(x)=一Z￡(為)=一?%=〃

竭=融)名工

4獻(xiàn)￡占n1n

故

x-jVCu,—)

n

x=

(2)易知為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量之和，且

￡(x)=p,D(x)=—

放O

由中心極限定理,

limP{x儀<x)=飄x)

其中中(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這表白n較大時(shí)工的漸近分布為“3'大)

三、樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差

定義3.設(shè)XI,X2,…，Xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)于樣本均值F

的平均偏差平方和

稱(chēng)為樣本方差，其算術(shù)根5="稱(chēng)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相對(duì)樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更

有實(shí)際意義，由于它與樣本均值具有相同的度量單位。

?

X(毛-

在上面定義中，n為樣本容量，￡稱(chēng)為偏差平方和,

它有3個(gè)不同的表達(dá)式：

XX1XX0

>-1>-1悶)-19-1

事實(shí)上，

?_?__2??_2

Z&-加=ZW-2硒+x)=-20Xi+nx

i-1i-17-15-1

=ZN一2肪(―Z《)+咒彳=-咒x

i-1加L15-1，

偏差平方和的這3個(gè)表達(dá)式都可用來(lái)計(jì)算樣本方差。

例7.在例6中，我們已經(jīng)算得7=。。4,其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為

2

s=7J-_[(79-99.4)2+(84-99.4)2+…+(125-99.4)2]=133.9368

5=7133.9368=11.573L

^-y((792+842+...+1252)-20X99.421=133,9368

方法二

.,.s=ll.5731

通常用第二種方法計(jì)算s2方便許多。

下面的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)盼望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)盼望，它不依

賴(lài)于總體的分布形式。這些結(jié)果在后面的討論中是有用的。

定理2.設(shè)總體X具有二階矩，即

E(x)=p,D(X)=o2<+oo

XI,X2,Xn為從該總體得到的樣本，井口s2分別是樣本均值和樣本方差，則

￡6)=",D(x)=—,

n

￡(?)=

此定理表白，樣本均值的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差

的忽0

證明由于

闞十(2?

(1)

0(x)=%)=~r=—

(2)

且有:

力(舄一行？=力彳一%,

,而

22

￡(爐=(￡(硼2+￡)(與)=/?+￡(x)=(￡(x))+￡>(%)=+—

n，

于是

￡(Z(不一I?)斗3'+)一雙皿+—)=(?-i)o-2

a?

兩邊各除以n-l,即得證。

值得讀者注意的是：本定理的結(jié)論與總體服從什么分布無(wú)關(guān)。

四、樣本矩及其函數(shù)

樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類(lèi)常見(jiàn)的記錄量。

定義4.設(shè)Xl,X2，…，Xn是樣本，則記錄量

=—(%*+K+...+#)

稱(chēng)為樣本k階原點(diǎn)矩，特別地，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。記錄量

1?_

尻=-￡(舄-X)"

稱(chēng)為樣本k階中心矩。常見(jiàn)的是k=2的場(chǎng)合，此時(shí)稱(chēng)為二階樣本中心矩。本書(shū)中我

們將其記為sF以區(qū)別樣本方差S2。

1?_

S；=&-X)

五、極大順序記錄量和極小順序記錄量

定義5.設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(X),分布密度f(wàn)(X),XI,X2,…，Xn

為其樣本，我們分別稱(chēng)

Xu>=min{xi,x2,...xn},xg=max{xi,x2,...xn}為極小順序記錄量和極大順序記錄量。

定理3.若X⑴,X(n)分別為極小、極大順序記錄量，則

(1)x⑴的分布函數(shù)Fi(x>l-(1-F(x))n,x(1)的分布密度f(wàn)i(x)=n-(l-F(x))n-'f(x)

(2)X<n>的分布函數(shù)Fn(X)=[F(X)F,x(n)的分布密度f(wàn)n(X)=n[F(X)]nlf(X)

證明先求出X⑴及X的分布函數(shù)Fl(X)及Fn(X):

月(力=P{穩(wěn)<x)=1-汽州)>x)=1-P{Xi>x,X2>z)

?

=1-口尸儂>吊=1-(1-9(獨(dú)

居(%)=<X)=P(X.<<X,-,JQ<%)=HP(XiSx}=(9(x)y

z，

分別對(duì)Fl(x),F?(x)求導(dǎo)即得

水x)=[耳(加=-?(1-9⑴)1(1-網(wǎng)項(xiàng)'=峭-網(wǎng)x))”"(x)

f,③=⑶?]'=城歹⑺廠】歹‘⑶=城歹⑺廠】y(x)

六、正態(tài)總體的抽樣分布

有很多記錄推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三

個(gè)著名記錄量(其抽樣分布分別為x2分布，t分布和F分布)在實(shí)踐中有著廣泛的

應(yīng)用。這是由于這三個(gè)記錄量不僅有明確背景，并且其抽樣分布的密度函數(shù)有“明確

的表達(dá)式“，它們被稱(chēng)為記錄中的“三大抽樣分布

1.X?分布(卡方分布)

定義6.設(shè)Xl,X2,…，Xn獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),

則x2=xF+…X?的分布稱(chēng)為自由度為n的(分布，記為x??x?(n)。

x2(n)分布的密度函數(shù)見(jiàn)圖1?4

當(dāng)隨機(jī)變量x2~x2(n)時(shí),對(duì)給定的a(0<a<l)，稱(chēng)滿(mǎn)足p{x2>xa2(n)}=a的xj

2

(n)}是自由度為n的開(kāi)方分布的a分位數(shù)。分位數(shù)xa(n)}可以從附表4中查到。

例如n=10,a=0.05,那么從附表4中查得x2(l0)=18.307

p(x)2>x2o,o5(10)=p{x2>18.307=0.05

注：請(qǐng)讀者注意x2?x2(n)時(shí)，n是自由度，不是容量。

2.F分布

尸=看包

定義7.設(shè)xi?x2(m),X2?x2(n)Xi與X2獨(dú)立,則稱(chēng)恐力的分布是自由度

為m與n的F分布，記為F?F(m,n),其中m稱(chēng)為分子自由度，n稱(chēng)為分母

自由度。

自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布(見(jiàn)

圖6-5)。

O

ffie-sF分布的密度函數(shù)

當(dāng)隨機(jī)變量F?F(m,n)時(shí)，對(duì)給定的a(0<a<l),稱(chēng)滿(mǎn)足P{F>F[}(m,n)

=a的數(shù)Fa(m,n)是自由度為m與n的F分布的a分位數(shù)。

當(dāng)F?F(m,n)時(shí)，有下面性質(zhì)(不證)

*、

FW------->=1-a

小威).

這說(shuō)明

對(duì)小的a,分位為Fa(m,n)可以從附表5中查到，而分位數(shù)Fr(m,n)則可

通過(guò)上式得到。

例8.若取m=10,則n=5,a=0.05,那么從附表5上(m=m,n=n2)查得

FO.O5(10,5)=4.74

運(yùn)用(6.3.8)式可得到

//10,5)上=4=0.3

0.9Q5坨一0求5,10；3.33

3.t分布

2

定義8.設(shè)隨機(jī)變量與Xi與X2獨(dú)立且Xi?N(0,1),X2~X(n),

X\

'XJn

則稱(chēng)的分布為自由度為n的t的分布，記為t?t(n).

t分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的分布(如下圖)，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

的密度函數(shù)形態(tài)類(lèi)似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

的大一些。

t分布與N(0,1)的密度函數(shù)

當(dāng)隨機(jī)變量t?t(n)時(shí)，稱(chēng)滿(mǎn)足P{t〉ta(n)}=a的L(n)是自由度為n的t

分布的a分位數(shù)，分位數(shù)L(n)可以從附表3中查到，例如當(dāng)n=10,a=0.05時(shí)，從

附表3上查得

to.O5(10)=1.8125

由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱(chēng)，故其分位數(shù)有如下關(guān)系：

tl-a(n)=-ta(n)

例如，

to.95(10)=-t0.05(10)=-1.8125

P(t>-ta)=l-a,p(t>tl-a)=l-a,Atl-a-ta

4.一些重要結(jié)論

來(lái)自一般正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差S2的抽樣分布是應(yīng)用最廣的抽樣分

布，下面我們加以介紹。

定理4.設(shè)Xi,X2,...Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(g,a2)的樣本,

其樣本均值和樣本方差分別為：

_IX1?一，

x=一工不和-=~a-x），

n2-1起一12-1

則有

(1)f與S2互相獨(dú)立;

4

（2）a

S

(4*=審4?F("7T>

特別，若s>(不證)

推論：設(shè)，,尸蒞二^并記

㈱X

「（…d+c$匕a一婷+小/

S、―----------------------------------

加+%―2冽+%—2

則

（）一（巧一⑷，、

t=--X----V--「]，'].——?“,幽+,/—2C）.

“4k履（不證）

本章小結(jié)

本章的基本規(guī)定：

(-)知道總體、樣本、簡(jiǎn)樸樣本和記錄量的概念

(二)知道記錄量I和S2的下列性質(zhì)：

E(x)==_/

n

E（s2）=o2

(三)若X的分布函數(shù)為F(X),分布函數(shù)為f(X),則樣本(Xl,X2,…Xn)的

聯(lián)合分布函數(shù)為F(X1)F(X2)...F(xn)樣本(Xl,X2,...Xn)的聯(lián)合分布密度為f(XI)

f(X2)...f(Xn)，樣本(Xl,X2,...Xn)的概率函數(shù)，p(XI,X2..Xn)=p(X=X|)p(X=X2)…p

(X=Xn)因而順序記錄量X⑴，...X<n>中

X1()的分布函數(shù)為1-(1-F(X))n

X<n>的分布函數(shù)為[F(X)]n

(四)掌握正態(tài)總體的抽樣分布

若X?N⑺，o2)則有

一、x?兇3—)

1)n

=?歆0,1)

￡=正戈近?折1)

(4)若石~曾(外,才),也~陽(yáng)歷&)

尸=審4?舊(為一1，藥_1)

=>5/，

(五)知道樣本原點(diǎn)矩與樣本中心矩的概念

第二章參數(shù)估計(jì)

從本章開(kāi)始我們介紹記錄推斷，所謂記錄推斷就是由樣本推斷總體，記錄推斷涉及

參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢查兩部分，它們是記錄推斷最基本并且是互相有聯(lián)系的兩部分，

本章介紹記錄推斷的第一部分參數(shù)估計(jì)。

參數(shù)通常指總體分布中的特性值以和/和各種分布中的參數(shù)，例如二點(diǎn)分布B

(1,P)中的p,泊松分布P(2)中的人正態(tài)分布N(屈、］)的屈、/等，習(xí)慣

用。表達(dá)參數(shù)，通常參數(shù)。是未知的。

參數(shù)估計(jì)的形式有兩類(lèi)，設(shè)Xl,X2,...,Xn是來(lái)自總體的樣本。我們用一個(gè)記錄量

次小,",一%)的取值作為參數(shù)。的估計(jì)值，則》稱(chēng)為0的點(diǎn)估計(jì)(量)，就是參數(shù)，的點(diǎn)

估計(jì)，假如對(duì)參數(shù)Q的估計(jì)需要對(duì)估計(jì)作出可靠性判斷，就需要對(duì)這一可靠性給出可

靠性區(qū)間或置信區(qū)間，叫區(qū)間估計(jì)。

下面一方面介紹點(diǎn)估計(jì)

第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)

教學(xué)目的：規(guī)定學(xué)生了解參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基本思想，理解參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基本概念，純

熟運(yùn)用替換原理、矩法估計(jì)和最大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

教學(xué)重點(diǎn)：矩法估計(jì)、最大似然估計(jì).

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用矩法估計(jì)、最大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

直接用來(lái)估計(jì)未知參數(shù)。的記錄量3=4小,…工)稱(chēng)為參數(shù)#的點(diǎn)估計(jì)量，簡(jiǎn)稱(chēng)為

點(diǎn)估計(jì)，人們可以運(yùn)用各種方法構(gòu)造出很多。的估計(jì)，本節(jié)介紹兩種最常用的點(diǎn)估計(jì)

方法。它們是：矩法和極大似然法。

一、替換原理和矩法估計(jì)

用下面公式表達(dá)力的方法叫矩法

忘⑶=X

女x)=s/

/=￡(#

一物a-守

J.I

例1.對(duì)某型號(hào)的20輛汽車(chē)記錄每5L汽油的行駛里程(km),觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：

29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.7

28.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9

這是一個(gè)容量為20的樣本觀測(cè)值，相應(yīng)總體是該型號(hào)汽車(chē)每5L汽油的行駛里

程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估計(jì)其均值，方差，本例中經(jīng)計(jì)算有

7=28.695,^=0.9185

由此給出總體均值，方差的估計(jì)分別為即就=>=28.695,陵=s：=0.9185

矩法估計(jì)的記錄思想(替換原理)十分簡(jiǎn)樸明確，眾人都能接受，使用場(chǎng)合甚

廣。

例2.設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為加工用=，"巴工》0

xi,...,xn是樣本，由于以*)=；,亦即“=瓦方，故7的矩法估計(jì)為

11

A;=r-=?=

EXX

例3.設(shè)XI,…,Xn是來(lái)自服從區(qū)間(0,4)上的均勻分布“(0,0的樣本，4>0為未

知參數(shù)。求〃的矩估計(jì)各。

解：易知總體X的均值為

￡Z=；(a+3)=；(0+3)

2EX

7.

由矩法。的矩估計(jì)為

#==黃￥=2斤

比如，若樣本值為0.1,0.7,0.2,1,1.9,1.3,1.8,則方的估計(jì)值

￡

ff=2x7(0.1+0.7+0.2+1+1.9+1.3+1.8)=2

例4.在一批產(chǎn)品取樣n件，發(fā)現(xiàn)其中有m件次品，試用此樣本求該批產(chǎn)品的次

品率p的矩估計(jì)。

解：由于/=工(月)，

.m

=

?.?P-n

例如抽樣總數(shù)n=100,其中次品m=5.

.p=-=--=0.05

貝(T?inn

例5.電話(huà)總機(jī)在一分鐘間隔內(nèi)接到呼喚次數(shù)x?p(2)o觀測(cè)一分種接到呼喚

次數(shù)共觀測(cè)40次，結(jié)果如下

接到呼喚次數(shù)012345

觀測(cè)次數(shù)51012832

求未知參數(shù)2的矩估計(jì)彳

解：⑴VX-P(2)

.*.EX=2

由矩法由￥=歹

x=—

(2)計(jì)算4fl(Ox5+lxl0+2x12+3x8+4x3+5x2)=2

：.A=2

二、極大似然估計(jì)

為了敘述極大似然原理的直觀想法，先看例6

例6.設(shè)有外表完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有

99個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)地抽取一箱，并從中隨機(jī)抽取一球，結(jié)果取得白球，

問(wèn)這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？

解：不管是哪一個(gè)箱子，從箱子中任取一球都有兩個(gè)也許的結(jié)果：A表達(dá)取出

白球，B表達(dá)取出黑球，假如我們?nèi)〕龅氖羌紫?，則A發(fā)生的概率為0.99,而假如

取出的是乙箱，則A發(fā)生的概率為0.01,現(xiàn)在一次實(shí)驗(yàn)中結(jié)果A發(fā)生了，人們的第

一印象就是：“此白球(A)最像從甲箱取出的“，或者是說(shuō)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為實(shí)驗(yàn)條件對(duì)事

件A出現(xiàn)有利，從而可以推斷這球是從甲箱中取出的，這個(gè)推斷很符合人們的經(jīng)驗(yàn)

事實(shí)，這里“最像”就是“極大似然”之意。

本例中假設(shè)的數(shù)據(jù)很極端，一般地，我們可以這樣設(shè)想，在兩個(gè)箱子中各有100

個(gè)球，甲箱中白球的比例是Pl,乙箱中白球的比例是P2,已知P|>P2,現(xiàn)隨機(jī)地

抽取一個(gè)箱子并從中抽取一球，假定取到的是白球，假如我們要在兩個(gè)箱子中進(jìn)行

選擇，由于甲箱中白球的比例高于乙箱，根據(jù)極大似然原理，我們應(yīng)當(dāng)推斷該球來(lái)

自甲箱。

下面分別給出離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的極大似然估計(jì)求未知參數(shù)

的估計(jì)的環(huán)節(jié)

(-)離散型隨機(jī)變量

第一步，從總體X取出樣本X1,X2,…,Xn

第二步，構(gòu)造似然函數(shù)

L(Xl,X2,...,Xn,A)=P(X=X1)P(X=X2)...P(X=Xn)

第三步，計(jì)算InL(Xl,X2,...,Xn,A)并化簡(jiǎn)

第四步，當(dāng)A=2時(shí)InL(xi,X2,...,Xn,A)取最大值則取2=4

常用方法是微積分求最值的方法。

(二)連續(xù)型隨機(jī)變量

若X~f(X,。)

第一步從總體X取出樣本X1,X2,…,Xn

第二步構(gòu)造似然函數(shù)

L(Xl,X2,...,Xn>#)=f(XI,4)f(X2，4)...f(Xn,A)

第三步計(jì)算InL(Xl,X2,...,Xn,并化簡(jiǎn)

第四步當(dāng)A=2時(shí)InL(xi,X2,...,Xn,A)取最大值則取方=4

常用方法是微積分求最值的方法

例7.設(shè)總體X?B(1,P)即

F，若A發(fā)生

-0.若A不發(fā)牛

設(shè)P(A)=P,從總體X中抽樣X(jué)I,X2,…,Xn,問(wèn)最大似然法求力

解：當(dāng)X?B(1,P)時(shí)，應(yīng)有尸(X=%)=p"(l-p)E

AP(X=l)=P,P(X=0)=1-P

第一步構(gòu)造似然函數(shù)

L(Xl,X2,...,Xn,P)=P(X=X1)P(X=X2)...P(X=Xn)

=|>，(1"廣］|>。-9廣卜|>(1-尸產(chǎn)］

=°相+匕+…Q°_.』+%+,?%)

第二步計(jì)算klL(X1,X2,…,Xn,P)并化簡(jiǎn)

=(xi+...+xn)lnp+(n-(xi+...+xn)In(1-p)

第三步求小"(”…2)

=P1-P

Xi+???+/_為(%+■??+4)

；.駐點(diǎn)為P1-P

化簡(jiǎn)為(X1+…+Xn)(1-p)=p[n-(X1+…+Xn)]

/.(xi+...+xn)=np

??.駐點(diǎn)二

由于只有一個(gè)駐點(diǎn)

，a=3是最大點(diǎn)

.,.取/=w

例抽樣n次A發(fā)生m次，則在xi,X2…Xn中有m個(gè)I,其余為0,

,m

?.?p--n

例8.(1)設(shè)總體X服從泊松分布p(2),求2的極大似然估計(jì)；(2)設(shè)總體

X服從指數(shù)分布E(2),求;?.的極大似然估計(jì)

解：(1)VX-P(2)

乙”

；.p(X=k)=jfcl從總體X中取樣本X1,X2…Xn。

2)=￡]>(不丸)==X)

2-12-1

lnZ(A)=①4)ln4—溫一In(辰%!…天!)

-d-ln-L--(-X-)=-Z--4--然=u,n

x

...駐點(diǎn)43—_kS=ix

解得2的極大似然估計(jì)

1"—

4=七=五

易知N的矩估計(jì)亦為F

(2)VX-E(2)

AeX1,x>0

0,x<0

第一步，從中取樣本值XI,X2...Xn,應(yīng)有Xl>0,X2>0...Xn>0

???似然函數(shù)L（XI,X2...Xn）=f（XI）f（X2）...f（Xn）

=a產(chǎn)）伏六）…a盧”七“-小+??+%）

第二步計(jì)算ln￡a，x,…=+…+x.）

第三步求導(dǎo)）=：-（為+…+4）

2尸n」

駐點(diǎn)X[+.?.+47是最大點(diǎn)

.?.取'S=1

51

在例2中用矩法估計(jì)也是同樣結(jié)果=短

2_0<x<9

x~f(x)=<g

例9.設(shè)x~U(0,4,即0,其它

從中取樣X(jué)l,X2...Xn,試用最大似然法求）

解：由于樣本XI,X2…Xn已經(jīng)取出。

所以應(yīng)有0<Xl<^,0<X2<^,...0<Xn<^

所以#的取值范圍為-x,）we<+8

第一步構(gòu)造似然函數(shù)

,及…x_）="（xJpU）…p（x_）

=~1?1....11

pnn

很明顯，似然函數(shù)1%,心…月￡）是A的單調(diào)減函數(shù)，因此當(dāng)A最小時(shí),

似然函數(shù)…最大,由條件max（x"4,…幾）。<+8

知，的最小值為@=ma￡x;,扁,…x.）

所以。=ma式％,r,，…x.）時(shí)⑼最大。取3=max（'*，…X,）

這一結(jié)果與用矩法估計(jì)（例7—3）的結(jié)果方=27不同。

例10.若X~加伍，〃）,從中抽樣X(jué)I,X2...Xn,試用最大似然估計(jì)法求：記左

解：x的似然函數(shù)依,4…x.）=/a）/（。）…/⑴）

心,疥（石-41

=（2叩2）2

In￡34）=-方力包-4-/n，-?n（2/r）

將InZS,廠）分別關(guān)于兩個(gè)分量求偏導(dǎo)并令其為0即得到似然方程組

號(hào)貯空3。⑴

加Zi,（1）

OlnZ"）」￡牛

d<72b4寸戶(hù)2/,⑵

c1T-

-〃=—〉x=x

解此方程組，由（1）可得駐點(diǎn)〃=冗〃的極大似然估計(jì)為備1:

將之代入（2）給出/的極大似然估計(jì)

刑3.1

第二節(jié)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

教學(xué)目的：規(guī)定學(xué)生了解相合性、無(wú)偏性、有效性和均方誤差的基本思想，理解相

合性、無(wú)偏性、有效性和均方誤差的基本概念，純熟掌握相合性、無(wú)偏性和有效性

的判別方法。

教學(xué)重點(diǎn)：相合估計(jì)、無(wú)偏估計(jì)和有效性。

教學(xué)難點(diǎn)：如何擬定相合估計(jì)、無(wú)偏估計(jì)和有效性。

我們已經(jīng)看到，點(diǎn)估計(jì)有各種不同的求法，為了在不同的點(diǎn)估計(jì)間進(jìn)行比較選

擇，就必須對(duì)各種點(diǎn)估計(jì)的好壞給出評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

數(shù)理記錄中給出了眾多的估計(jì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)同一估計(jì)量使用不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

也許會(huì)得到完全不同的結(jié)論，因此，在評(píng)價(jià)某一個(gè)估計(jì)好壞時(shí)一方面要說(shuō)明是在哪

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下，否則所論好壞毫無(wú)意義。

但在諸多標(biāo)準(zhǔn)中，有一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)是所有的估計(jì)都應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的，它是衡量一個(gè)

估計(jì)是否可行的必要條件，這就是估計(jì)的相合性，我們就從相合性開(kāi)始介紹。

—?、相合性

我們知道，點(diǎn)估計(jì)是一個(gè)記錄量，因此它是一個(gè)隨機(jī)變量，在樣本量一定的條

件下，我們不也許規(guī)定完全等同于參數(shù)的真實(shí)取值，但假如我們有足夠的觀測(cè)值，

根據(jù)格里紋科定理，隨著樣本量的不斷增大，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)逼近真實(shí)分布函數(shù)，因

此完全可以規(guī)定估計(jì)量隨著樣本量的不斷增大而逼近參數(shù)真值，這就是相合性，嚴(yán)

格定義如下，

定義2.設(shè)AL何為未知參數(shù)，3”=&&，…區(qū))是。的一個(gè)估計(jì)量，n是樣本容量，

若對(duì)任何一個(gè)E有螞用a-4>W。

則稱(chēng)葭為參數(shù)。的相合估計(jì)

相合性被認(rèn)為是對(duì)估計(jì)的一個(gè)最基本規(guī)定，假如一個(gè)估計(jì)量，在樣本量不斷增

大時(shí)，它都不能把被估參數(shù)估計(jì)到任意指定的精度，那么這個(gè)估計(jì)是很值得懷疑的,

通常，不滿(mǎn)足相合性規(guī)定的估計(jì)一般不予考慮，證明估計(jì)的相合性一般可應(yīng)用大數(shù)

定律或直接由定義來(lái)證。

例11.用大數(shù)定律證明&=三是〃的相合估計(jì)

證：由切比雪夫大數(shù)定律

lim尸J-V-p<￡^=1

is|n

limp--/i>￡>=0

.」gI?

即蚣HR-用￡)=o

=W是"的相合估計(jì)

為了避免用定義判斷相合性的困難，下面介紹一個(gè)判斷相合性很有用的定理：

定量：設(shè)&=…是4的估計(jì)量

若⑴螞*他i

(2)觸。(4)=。

則葭是。的相合估計(jì)。

例12.證明J是M的相合估計(jì)

證：在前面我們已經(jīng)證明

(1)￡仔)=/

,、D&)=0—fZ伏-x)=-j

(2)?-1(?-1)

n_2

￡)ZG-x)->0(w->co)

1

...#=J是/的相合估計(jì)

二、無(wú)偏性

相合性是大樣本下估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)小樣本而言，需要一些其他的評(píng)價(jià)標(biāo)

準(zhǔn)，無(wú)偏性便是一個(gè)常用的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)$=灰不…尼)是4的一個(gè)估計(jì)，Q的參數(shù)空間為何，若對(duì)任意的。L何，有磯利=8

則稱(chēng),是加勺無(wú)偏估計(jì)，否則稱(chēng)為有偏估計(jì)。

例13.對(duì)任一總體而言，樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)總體k階矩存在時(shí)，

樣本k階原點(diǎn)矩應(yīng)是總體k階原點(diǎn)矩區(qū)的無(wú)偏估計(jì)，但對(duì)k階中心矩則不同樣，例如，

二階樣本中心矩?就不是總體方差/的無(wú)偏估計(jì)，事實(shí)上，

對(duì)此，有如下兩點(diǎn)說(shuō)明

(1)當(dāng)樣本量趨于無(wú)究時(shí)，有我們稱(chēng)S?為^的漸近無(wú)偏估計(jì)，這表白

當(dāng)樣本量較大時(shí)，S?可近似看作/的無(wú)偏估計(jì)

(2)若對(duì)?作如下修正：1

則J是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，這種簡(jiǎn)章的修正方法在一些場(chǎng)合常被采用，/它比M更常用,

這是由于在1^2時(shí)-，s?＜總因此用s?估計(jì)〃有偏小的傾向，特別在小樣本場(chǎng)合要使用『估

計(jì)/。

無(wú)偏性不具有不變性。即若方是。的無(wú)偏估計(jì)，一般而言，g（方）不是g（，）的無(wú)

偏估計(jì),，除非g9）是#的線性函數(shù)，例如，9是/的無(wú)偏估計(jì)?，但S不是rr的無(wú)偏估計(jì)

例14.證明戶(hù)=4%+風(fēng)羽+…是〃的無(wú)偏估計(jì)

04+2+…a,=1。其中％,%,…兀是X的樣本

證：e立=演4及+T&+…+a,x.）

=冬防+2她+…a.Ex.

二冬&++…a.Ex

=依+冬+???4）&

=（4+2+…4）戶(hù)

.?.￡a=+為+…+a.=1

特別情形2=G是〃的無(wú)偏估計(jì)

例15.證明行2=J是M的無(wú)偏估計(jì)

證...￡k-司4才-、

.七力a-矛=￡（ix-晟‘）

??JiJal

_力耿;-悶￡7=力（4+4）-%C0G）+（砂）

-J.1J.1

（*2+即2）_力（!，+=（n-1）（72

.ES2=￡-1-^（^-x）2=J—.（?-1）（^=o2

???-11我一1

三、有效性

參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)可以有很多，那么如何在無(wú)偏估計(jì)中進(jìn)行選擇？直觀的想法是

希望該估計(jì)圍繞參數(shù)真值的波動(dòng)越小越好，波動(dòng)的大小可以用方差來(lái)衡量，因此人

們常用無(wú)偏估計(jì)的方差的大小作為度量無(wú)偏估計(jì)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，這就是有效性。

定義4.設(shè)標(biāo)瓦是加勺兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，假如對(duì)任意的AL向有D（命＜D（合力則稱(chēng)認(rèn)比

布效

例16.設(shè)XI,…Xn是取自某總體的樣本，記總體均值為〃，總體方差為則

々=%,區(qū)=三都是〃的無(wú)偏估計(jì)，但°色）="，,@）=-7顯然，只要n>l,瓦比番有

效，這表白，用所有數(shù)據(jù)的平均估計(jì)總體均值要比只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)更有效。

._11._12

例17.比較藥+，電與巧誰(shuí)有效

解.（］）￡從=￡（亍再+,々）=+#

°121212

￡四=￡（彳百+彳電）=7明+=,"+彳"=a

???N與向都是〃的無(wú)偏估計(jì)

=D（—x1+1^）=D（-^Xj）+D（^-x2）

、N*/7.7.7.

11?11Q21

-UXy+—DK?=—b2"+—L=—。24=—b

=41424442

1?12

口k=0（彳/+彳々）=/?（^再）+D（-Xj）

1?4n12425」

-DK、+—D%=-b/+—

=919J999

比〃有效

例18.設(shè)入~。0,2夕，從總體中取樣片,I，…x.

.2-

夕=-X

證明3是。的無(wú)偏估計(jì)和相合估計(jì)

w，、耿=2竺3

解：(1)7.2

2

.3』

??4

31.

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第三節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

教學(xué)目的：規(guī)定學(xué)生了解置信區(qū)間的基本思想，理解置信區(qū)間的基本概念，掌握求

置信區(qū)間的樞軸量法方法，純熟掌握正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的計(jì)算公式和大樣本置

信區(qū)間。能用R軟件計(jì)算正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

教學(xué)重點(diǎn)：置信區(qū)間的思想、概念和樞軸量法方法，計(jì)算正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。

教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算單個(gè)正態(tài)總體的置信區(qū)間以及兩個(gè)正態(tài)總體下的置信區(qū)間。

用點(diǎn)估計(jì)去估計(jì)總體的參數(shù)，即使是無(wú)偏且有效的，也會(huì)由于樣本的隨機(jī)性，

使得從一個(gè)樣本XI,X2,X3,…，Xn算得的估計(jì)值不一定是被估計(jì)的參數(shù)的真實(shí)值,

并且估計(jì)值的可靠性并不知道，這是一個(gè)重大的問(wèn)題，因此，必須解決根據(jù)估計(jì)量

的分布，在一定可靠性的限度下指出被估計(jì)的總體參數(shù)的取值范圍，這正是本節(jié)要

介紹的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。

一、置信區(qū)間概念

為了引入置信區(qū)間的概念，請(qǐng)看下面的引例。

引例設(shè)某種絕緣子抗扭強(qiáng)度x服從正態(tài)分布方3。與其中〃未知，廳2已

知(rr=45公斤?米)，試對(duì)總體均值〃作區(qū)間估計(jì)。

對(duì)于區(qū)間估計(jì)，要選擇一個(gè)合適的記錄量，若在該總體取一個(gè)容量為n的樣本

XI,X2,X3,…，x?,樣本均值為工〃的點(diǎn)估計(jì)即裝然而我們要給出耳的一個(gè)區(qū)間估

計(jì)，以體現(xiàn)出估計(jì)的誤差，我們知道”丁)。在區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中，要選取一個(gè)合

適的估計(jì)函數(shù)。這時(shí)，可取"一二一""，它是指勺標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，且具有下面兩

個(gè)特點(diǎn)：

(1)U中包含所要估計(jì)的未知參數(shù)〃(其中b已知)；

(2)u的分布為N(0,1),它與未知參數(shù)〃無(wú)關(guān)。

由于u?N(0,1),因而有

戶(hù)同>%>=0(0<a<1)

根據(jù)u?N(0,1)的概率密度Xx)的對(duì)稱(chēng)性(見(jiàn)下圖)

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P\u\>ua-a(0<a<1)

可得I2J