第四章 頻域分析法

第四章頻域分析法第一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第4章頻域分析法

目錄4.1頻率特性的基本概念

4.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖4.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖

4.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)

4.5閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性4.6頻域指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

4.7用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能第二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

學(xué)習(xí)目的

1.搞清頻率特性的基本概念

2.掌握典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)頻率特性圖的繪制方法

3.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析方法

4.了解頻域性能指標(biāo)與時(shí)間特性指標(biāo)之間的關(guān)系

5.掌握用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的方法

6.掌握應(yīng)用MATLAB工具分析系統(tǒng)頻率性能的方法

內(nèi)容提要

本章主要闡述系統(tǒng)頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)頻率特性圖的繪制方法、頻域穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)性能頻域分析法重

點(diǎn)

系統(tǒng)開環(huán)博德圖的繪制難

點(diǎn)系統(tǒng)開環(huán)尼氏圖的繪制、幅值穿越頻率和相位穿越頻率的求取第三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五通過求解微分方程分析時(shí)域性能是十分有用的，但對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)這種辦法就比較麻煩。因?yàn)槲⒎址匠痰那蠼庥?jì)算工作量將隨著微分方程階數(shù)的增加而增大。另外，當(dāng)方程已經(jīng)求解而系統(tǒng)的響應(yīng)不能滿足技術(shù)要求時(shí)，也不容易確定應(yīng)該如何調(diào)整系統(tǒng)來(lái)獲得預(yù)期結(jié)果。從工程角度來(lái)看，希望找出一種方法，使之不必求解微分方程就可以預(yù)示出系統(tǒng)的性能。同時(shí)，又能指出如何調(diào)整系統(tǒng)性能技術(shù)指標(biāo)。頻域分析法具有上述特點(diǎn)。該方法是以輸入信號(hào)的頻率為變量，對(duì)系統(tǒng)的性能在頻率域內(nèi)進(jìn)行研究的一種方法。這種分析法有利于系統(tǒng)設(shè)計(jì)，能夠估計(jì)到影響系統(tǒng)性能的頻率范圍。特別地，當(dāng)系統(tǒng)中存在難以用數(shù)學(xué)模型描述的某些元部件時(shí)，可用實(shí)驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的頻率特性，從而對(duì)系統(tǒng)和元件進(jìn)行準(zhǔn)確而有效的分析。本章主要研究線性系統(tǒng)的頻率特性。

第四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1頻率特性的基本概念

4.1.1頻率響應(yīng)與頻率特性

設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。給系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦信號(hào)為

(4.1)式中：——正弦輸入信號(hào)的振幅；

——正弦輸入信號(hào)的頻率。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量寫成

(4.2)比較系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出量和輸入信號(hào)的波形時(shí)發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)態(tài)輸出量的頻率與輸入量相同，但其振幅及相位都與輸入量不同。若改變輸入量的而保持其振幅恒定，輸出量與輸入量的振幅比及輸出量與輸入量的相位差都是頻率的函數(shù)。為了進(jìn)一步說(shuō)明頻率特性的基本概念，考慮圖4.1所示RC電路。其傳遞函數(shù)為

第五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五式中，——電路的時(shí)間常數(shù)，。若輸入電壓為正弦信號(hào),其拉氏變換為

則電路輸出量的拉氏變換為通過拉氏反變換，得

(4.3)

圖4.1

RC電路第六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由式（4.3）可見，第一項(xiàng)為輸出電壓的瞬態(tài)分量，第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量。定義系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出電壓和輸入電壓的復(fù)數(shù)比為，便有

(4.4)式中,幅值比為

相位差為

稱為

RC

電路的頻率特性。從這一簡(jiǎn)單系統(tǒng)的頻率特性，也可看出的物理意義：（1）頻率特性反映系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)（R、C）給定，頻率特性隨頻率的變化規(guī)律也隨之完全確定。（2）頻率特性隨頻率變化而變化。這是因?yàn)橄到y(tǒng)含有儲(chǔ)能元(4.5)

(4.6)

第七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五件（如電容C）。實(shí)際系統(tǒng)中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲(chǔ)能元件，它們?cè)谀芰拷粨Q時(shí)，對(duì)不同頻率的信號(hào)使系統(tǒng)顯示出不同的特性。

（3）系統(tǒng)頻率特性的幅值隨著頻率的升高而衰減，換而言之，頻率特性表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。對(duì)于低頻信號(hào)（即），有

這表明在輸入信號(hào)頻率較低時(shí)，輸出量與輸入量的幅值幾乎相等，相位近似相同。系統(tǒng)輸入信號(hào)基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來(lái)；而對(duì)于高頻信號(hào)（即），這表明輸入信號(hào)較高時(shí)，輸出量幅值只有輸入量幅值的倍，相位后滯近。輸入信號(hào)被抑制而不能傳遞出去。對(duì)于實(shí)際中的系統(tǒng)，雖然形式不同，但一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。第八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1.2頻率特性的求取方法

頻率特性一般可以通過如下三種方法得到：

（1）

根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)之比求得。

（2）

根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來(lái)求取。將代入傳遞函數(shù)中，可直接得到系統(tǒng)的頻率特性。

（3）

通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。一般經(jīng)常采用的是后兩種方法。這里主要討論如何根據(jù)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)的頻率特性。仍以圖4.1所示系統(tǒng)為例，其傳遞函

數(shù)為，將傳遞函數(shù)中的復(fù)變量用純虛數(shù)來(lái)代替，便可得到頻率特性的表達(dá)式，取它的模和幅角，正是式(4.5)和式(4.6)。這種以代替由傳遞函數(shù)獲得頻率特性的方法，對(duì)于線性定常系統(tǒng)是普遍適用的。頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情況，即頻率特性是定義在第九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五復(fù)平面（平面）虛軸上的傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)的頻率特性可分解為實(shí)部和虛部，即

（4.7）

也可以表示為幅值和相位關(guān)系，即

（4.8）

式中：——的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；

——的虛部，稱為虛頻特性。

——的模，它等于穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的振幅比，稱為幅頻特性；

——的幅角，它等于穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的相位差，稱為相頻特性。這些頻率特性之間有如下關(guān)系：

（4.9）

4.1.3頻率特性的圖示方法

第十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此，系統(tǒng)頻率特性采用下面三種圖示表達(dá)形式：（1）幅相頻率特性（尼奎斯特圖）：系統(tǒng)頻率特性是個(gè)矢量。按式（4.9）和式（4.10）可以求出幅頻特性與相頻特性。給出不同值，即可算出相應(yīng)和值。這樣就可以在極坐標(biāo)復(fù)平面上畫值由零到無(wú)窮大時(shí)的矢量，把各矢端連成曲線即得到系統(tǒng)的極坐標(biāo)幅相頻率特性曲線，通常稱它為尼奎斯特曲線或尼奎斯特圖。當(dāng)然，也可根據(jù)式（4.11）和式（4.12）通過求出不同時(shí)的實(shí)頻特性和虛頻特性，來(lái)獲得幅相頻率特性曲線。（2）對(duì)數(shù)頻率特性（博德圖）：對(duì)數(shù)頻率特性是由兩張圖

（4.10）

（4.11）

（4.12）第十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五組成：一張是對(duì)數(shù)幅頻特性，另一張是對(duì)數(shù)相頻特性。對(duì)數(shù)頻率特性又稱為博德圖。

考慮系統(tǒng)任意環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式

（4.13）取它的自然對(duì)數(shù)，得到

（4.14）上式對(duì)數(shù)的實(shí)部是頻率特性模的對(duì)數(shù)，虛部是頻率特性的幅角。用這種辦法表示的頻率特性包含兩條曲線：一是與之間關(guān)系曲線，稱為對(duì)數(shù)幅頻特性；一是與之間關(guān)系曲線，稱為對(duì)數(shù)相頻特性。而在實(shí)際應(yīng)用中，往往不是用自然對(duì)數(shù)來(lái)表達(dá)對(duì)數(shù)幅頻特性，而是采用以10為底的對(duì)數(shù)來(lái)表示。對(duì)數(shù)幅頻的表達(dá)式可寫為

（4.15）表達(dá)式中采用的單位是分貝，以“dB”（decibel）表示。

第十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在對(duì)數(shù)表達(dá)式中，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線是畫在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，頻率采用對(duì)數(shù)分度，而幅值（單位：分貝）和角度（單位：度），則采用線性分度。需要注意的是，在以劃分的頻率軸（橫坐標(biāo)）上，一般只標(biāo)注的自然數(shù)值。該坐標(biāo)的特點(diǎn)是：若在橫軸上任意取兩點(diǎn)使其滿足，則在對(duì)數(shù)頻率軸上兩點(diǎn)的距離為。因此，不論起點(diǎn)如何，只要角頻率變化10

倍，在橫軸上線段長(zhǎng)均等于一個(gè)單位，叫做一個(gè)10倍頻程，以“dec”（decade）表示。當(dāng)頻率變化10倍時(shí)，即頻率變化了一個(gè)10倍頻程。

（3）對(duì)數(shù)幅相頻率特性（尼柯爾斯圖）：在所需要的頻率范圍內(nèi)，以頻率作為參數(shù)來(lái)表示的對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系的圖。對(duì)數(shù)幅相頻率特性也稱為尼柯爾斯（Nichols）圖。第十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖4.2.1比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為，其頻率特性為

(4.16)其實(shí)頻特性和虛頻特性為

(4.17)

其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為

(4.19)

(4.20)

(4.18)

圖4.2比例環(huán)節(jié)幅相頻率特性

比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是復(fù)平面實(shí)軸上一個(gè)點(diǎn)，如圖4.2所示。第十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五幅頻特性是K，相頻特性是。比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為幅值等于的一條水平直線。相角為零，與頻率無(wú)關(guān)。比例環(huán)節(jié)的博德圖如圖4.3所示。圖4.3

比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性

第十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.2慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其實(shí)頻和虛頻特性可表示為

式中

在和時(shí)，值分別為

（4.23）

（4.21）

（4.22）

（4.24）

第十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的幅值趨于零，相角趨于。當(dāng)由時(shí)，慣性環(huán)節(jié)幅相頻率特性為一個(gè)半圓。這一點(diǎn)可以證明如下：虛頻特性與實(shí)頻特性之比為，將其代入實(shí)頻特性表達(dá)式中，得

式(4.26)代表一個(gè)圓的方程式，圓的半徑為，圓心在處，如圖4.4所示。由式（4.23）和式（4.24）可求得慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式（4.25）－90°

（4.26）

（4.27）

第十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

在低頻段，即當(dāng)時(shí)，比起1來(lái)小得，可以忽略不計(jì)。而在高頻段，即當(dāng)時(shí)，1比起小得可以忽略不計(jì)。因此，可得

（4.29）因此，可以用兩條漸近線來(lái)近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線：當(dāng)頻率為時(shí)，是一條幅值等于0的水平線，稱為低頻漸近線；當(dāng)頻率時(shí)，是一條斜率為dB/dec的直

（4.28）

第十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五線，稱為高頻漸近線。精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線及漸近線，如圖4.5所示。兩條漸進(jìn)線相交處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率。

圖4.5慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性

第二十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由式（4.28）確定相頻特性曲線。當(dāng)時(shí)，。在轉(zhuǎn)折頻率處當(dāng)頻率趨于無(wú)窮大時(shí)，。上述分析表明，慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性由于相角是以反正切函數(shù)來(lái)表示的，所以相角對(duì)彎角是對(duì)稱的。對(duì)于初步設(shè)計(jì)，利用漸近線畫出博德圖已經(jīng)夠用了，且很方便。如需要畫出精確的頻率特性曲線，可參照?qǐng)D4.6的曲線在漸近線的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正。由此可見：由于采用漸近線而在幅值上產(chǎn)生的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，并近似等于3dB。由慣性環(huán)節(jié)的博德圖可以看出,具有低通濾波器的作用。對(duì)于高于的頻率，其對(duì)數(shù)幅值迅速衰減。第二十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.6慣性環(huán)節(jié)的頻率特性用漸近線表示時(shí)所引起的對(duì)數(shù)幅值誤差曲線

第二十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.3積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（4.30）

積分環(huán)節(jié)的頻率特性為

（4.31）

其幅頻特性為

（4.32）相頻特性為

（4.33）由于是常數(shù)，而隨增加而減小。因此，積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一根與虛軸負(fù)段相重合的直

圖4.7積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第二十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五線，如圖4.7所示。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可表示為

（4.34）由式（4.34）不難看出，積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為20dB/dec的直線，且與零分貝線相交于這一點(diǎn)，即積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性為的水平直線，與頻率無(wú)關(guān)。積分環(huán)節(jié)的博德圖表示于圖4.8。圖4.8積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性第二十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.4理想微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（4.35）其頻率特性為

（4.36）其幅頻特性為

（4.37）其相頻特性為

(4.38）顯然，理想微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一根與虛軸正段相重合的直線，如圖4.9所示。微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性為：

（4.39）圖4.9微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第二十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.10微分環(huán)節(jié)的博德圖第二十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五顯然，和的頻率特性不同之處就是對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率和相角都相差一個(gè)符號(hào)，因此微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條通過，而斜率為20dB/dec的直線。而對(duì)數(shù)相頻特性為的一條水平線，如圖4.10所示。這里需要說(shuō)明的是：如果頻率特性包含著或因子，那么對(duì)數(shù)幅頻特性分別為：（dB）

（4.40）及（dB）

（4.41）而對(duì)數(shù)相頻特性分別為

和

（4.42）

第二十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.5振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

幅頻特性為

相頻特性為

（4.43）

（4.44）（4.45）第二十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.振蕩環(huán)節(jié)的尼奎斯特圖

幅相頻率特性的低頻和高頻部分分別為；當(dāng)從零變化到無(wú)窮大時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性由開始，到結(jié)束。因此，高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切，如圖4.11所示。下面討論諧振頻率和形狀不僅與頻率有關(guān)，而且還與阻尼比有關(guān)，越小，振幅越大。當(dāng)小到一定程度時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)峰值。此時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率，令（4.46）

即可求得的峰值。將值代入式(4.46)，有

第二十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4.11振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

-2-10123-3-2-101不同阻尼比時(shí)震蕩環(huán)節(jié)的尼氏圖

典型曲線第三十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

即

（4.47）解方程（4.47），得產(chǎn)生峰值的諧振頻率為

就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)峰值。僅當(dāng)，即時(shí)，式（4.48）才有意義，才有峰值。其諧振峰值當(dāng)阻尼時(shí)，。由式（4.43）得

（4.48）

（4.49）

第三十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

即在其無(wú)阻尼固有頻率上引起振蕩，時(shí)的幅值將趨于無(wú)窮大。由圖4.11可以看出，的軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為。圖4.12為與阻尼比之間的關(guān)系曲線。

（4.50）圖

4.12與阻尼比之間的關(guān)系曲線第三十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.振蕩環(huán)節(jié)的博德圖

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為

（4.51）由式(4.51)和式(4.45)可以看出：振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性，不僅與有關(guān)，還與阻尼比有關(guān)。由式（4.51）求得

在低頻段，當(dāng)時(shí)，

在高頻段，當(dāng)時(shí)，當(dāng)頻率增加10倍頻程時(shí)，則有

故振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性可以由兩條漸近線近似表示：當(dāng)時(shí)，是一條0dB的水平線；當(dāng)時(shí)是一條斜率為每增加10倍頻程下降dB的直線，記為。兩條漸近線相交于第三十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以無(wú)阻尼固有頻率即為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。上述兩條漸近線都是與阻尼比無(wú)關(guān)的。然而，當(dāng)頻率接近于時(shí)，將產(chǎn)生諧振峰值。阻尼比的大小確定了諧振峰值的幅值。很明顯，用漸近直線來(lái)表示時(shí)，必然產(chǎn)生誤差，誤差大小與值有關(guān)。圖4.13為具有不同值時(shí)的博德圖。如果需要繪出精確曲線，則可根據(jù)值的大小由圖4.14所示的修正曲線對(duì)漸近線加以修正。對(duì)數(shù)相頻特性可由式(4.45)求得。是和的函數(shù)。在時(shí)，，而在轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，不論值的大小，相角都等于。因?yàn)?/p>

第三十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)，，相角曲線對(duì)的彎曲點(diǎn)是斜對(duì)稱的。

圖4.13

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性

典型曲線-40-30-20-1001010-1100101-180-135-90-450典型曲線振蕩環(huán)節(jié)的博德圖

第三十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.14振蕩環(huán)節(jié)在不同值時(shí)的修正曲線第三十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.6一階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為

（4.52）其幅頻和相頻特性分別為：

（4.53）

（4.54）可見一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是在復(fù)平面上通過（1，0）點(diǎn)，且平行于虛軸的一條上半直線，如圖4.15所示。其對(duì)數(shù)幅頻特性為

（4.55）由上式可知一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)只相差一個(gè)符號(hào)。在時(shí)，

第三十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在時(shí)，

一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可由上述兩條漸近線表示，即在時(shí)，是一條零分貝線；在時(shí)，是一條斜率為dB/dec的直線。它們交接出的轉(zhuǎn)折頻率是。一階微分環(huán)節(jié)的博德圖見圖4.16。

圖4.15一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

第三十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.16一階微分環(huán)節(jié)的博德圖第三十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.7二階微分環(huán)節(jié)

二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為（4.56）其幅頻和相頻特性分別為：

（4.57）

幅相特性的低頻部分和高頻部分分別為：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的虛部是正的單調(diào)增加，而的實(shí)部則由1開始單調(diào)遞減，所以的幅相特性曲線如圖4.17所示。相角在到之間。（4.58）第四十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性

（4.60）二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性不同之處僅在于相差一個(gè)符號(hào)而已。因此，根據(jù)式（4.59）、（4.60）可以繪制二階微分環(huán)節(jié)的博德圖。圖4.17二階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

（4.59）第四十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2.8延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其幅相頻率特性為

（4.61）因?yàn)?/p>

而相角與成線性變化，因此延遲環(huán)節(jié)幅相特性是一個(gè)單位圓，如圖4.18所示。低頻時(shí)，延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的特性是近似的，如圖4.19所示。與的幅相頻率特性在處彼此相切。這可由下式看出：圖4.18延時(shí)環(huán)節(jié)的幅相頻率特性第四十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五時(shí)，

而

然而，當(dāng)

時(shí)，與之間存在著本質(zhì)的不同，這一點(diǎn)從圖4.19也可以看出。延遲環(huán)節(jié)的頻率特性也可表示為由于其幅值總是等于1，所以，延遲環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅值總等于零分貝。其相角

圖4.19延時(shí)環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性（弧度）（度）

（4.62）

第四十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此，相角與頻率是成線性變化的。圖4.20所示為延遲環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性。圖4.20延遲環(huán)節(jié)的相頻特性

第四十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.1

設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)

試畫出這個(gè)傳遞函數(shù)的幅相頻率特性。解系統(tǒng)的頻率特性可以寫成

將不同的值代入表達(dá)式，根據(jù)求出的各值下的和值就可以畫出的幅相頻特性如圖4.21所示。圖4.21例4.1的幅相頻率特性第四十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.2試畫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)頻率特性（博德圖）。解為了畫出頻率特性曲線，必須先求出和。根據(jù)給定的振蕩環(huán)節(jié)，則有

得

得圖4.22為求出的對(duì)數(shù)頻率特性。該曲線首先是用漸近線作出，其轉(zhuǎn)折頻率為無(wú)阻尼自然頻率。然后對(duì)于可由圖4.14進(jìn)行修正，得精確的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。

第四十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4.22

例4.2的對(duì)數(shù)頻率特性曲線第四十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖

4.3.1最小相位系統(tǒng)

為了說(shuō)明幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系，在此提出最小相位系統(tǒng)概念。在復(fù)平面[s]右半平面上沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍是最小的。例如兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：這兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性，如圖4.23所示。對(duì)最小相位系統(tǒng)而言，幅頻特性和相頻特性之間具有確定的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是說(shuō)，如果系統(tǒng)的幅頻特第四十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五性曲線規(guī)定從0變化到無(wú)窮大整個(gè)頻率范圍內(nèi)，那么相頻特性曲線就唯一確定，反之亦然。然而對(duì)非最小相位系統(tǒng)來(lái)說(shuō)卻是不成立的。以后無(wú)特殊說(shuō)明，一般是指最小相位系統(tǒng)。

圖4.23

和

系統(tǒng)的相頻特性

第四十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3.2系統(tǒng)開環(huán)尼氏圖的繪制

1.繪制尼氏圖的一般方法為了繪制尼氏圖大致形狀，一般方法是描點(diǎn)法。作圖基本步驟為：(1)將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)寫成若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式即

(2)根據(jù)傳遞函數(shù)寫出系統(tǒng)頻率特性，并表示為幅頻和相頻特性的形式，即

(3)分別求出起始點(diǎn)（）和終點(diǎn)（），并表示于極坐標(biāo)上；(4)找出必要的特征點(diǎn)；(5)根據(jù)已知點(diǎn)和、的變化規(guī)律，繪制尼氏圖的大致形狀。第五十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

2.尼氏圖的一般形狀

線性定常系統(tǒng)的頻率特性為

相應(yīng)的幅相頻率特性曲線為（1）0型系統(tǒng)：尼氏圖始于正實(shí)軸，且起點(diǎn)處尼氏圖的切線和正實(shí)軸垂直。尼氏圖趨于原點(diǎn)。（2）Ⅰ型系統(tǒng)：，低頻段漸近線為與負(fù)虛軸平行的直線；尼氏圖趨于原點(diǎn)。（3）Ⅱ型系統(tǒng)：，低頻段尼氏圖趨于負(fù)實(shí)軸；尼氏圖趨于原點(diǎn)。（4）當(dāng)有振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，上述結(jié)論不變。

第五十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（5）當(dāng)有一階微分環(huán)節(jié)時(shí)，相位非單調(diào)下降，尼氏圖發(fā)生彎曲。例4.3已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，繪制系統(tǒng)尼氏圖。解系統(tǒng)的頻率特性為分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)幅頻特性和相頻特性

實(shí)頻特性和虛頻特性

第五十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五曲線的起始點(diǎn)和終點(diǎn)為

第五十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)，其頻率特性的尼氏圖在低頻段將沿一條漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。這條漸近線是經(jīng)過(KT,j0)點(diǎn)，平行于虛軸的直線,如圖4.24所示。

圖4.24

例4.3的幅相頻率特性曲線

第五十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.4已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：繪制系統(tǒng)的尼氏圖。解系統(tǒng)的頻率特性為：分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)幅頻特性和相頻特性

實(shí)頻特性和虛頻特性第五十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

曲線的起始點(diǎn)和終點(diǎn)為

曲線的特征點(diǎn)：第五十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)，

含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)，其頻率特性的尼氏圖在低頻段將沿負(fù)實(shí)軸趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，如圖4.25所示。圖4.25

例4.4的幅相頻率特性曲線第五十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3.3系統(tǒng)開環(huán)博德圖的繪制

控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式是故它的對(duì)數(shù)幅頻特性可表示為

（4.63）

由式（4.63）可以看出,單回路系統(tǒng)開環(huán)的對(duì)數(shù)幅頻特性，可以用各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)值相加的辦法得到。第五十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五與對(duì)數(shù)幅頻特性式（4.63）相對(duì)應(yīng)的相頻特性的表達(dá)式是

(4.64)

上式說(shuō)明，系統(tǒng)開環(huán)的相頻特性和幅頻特性一樣，可以用各典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加的辦法來(lái)得到。綜上所述，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的步驟可歸納如下：

（1）把系統(tǒng)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即化為典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)乘積。

（2）根據(jù)傳遞函數(shù)獲得頻率特性，并分析其組成環(huán)節(jié)。

（3）求出轉(zhuǎn)折頻率等，并把它們按照由小到大順序在選定的坐標(biāo)圖上沿頻率軸標(biāo)出。（4）畫出對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。這條漸近線在

第五十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五時(shí)是一條斜率為每十倍頻程dB的直線。其中為系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。在處，漸近線縱坐標(biāo)為（為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)）。

（5）在每個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處改變漸近線的斜率。如果是慣性環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)閐B/dec；如果是振蕩環(huán)節(jié)，則改變?yōu)閐B/dec；如果是一階微分環(huán)節(jié)，則為dB/dec；而二階微分環(huán)節(jié)為dB/dec。

（6）對(duì)漸近線進(jìn)行修正，畫出精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。

（7）畫出每一個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，然后把所有的相頻特性在相同的頻率下相加，即得到開環(huán)的相頻特性曲線。例4.5

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制該系統(tǒng)的博德圖。

第六十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解首先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)求得頻率特性

由式（4.65）可知該系統(tǒng)由下列典型環(huán)節(jié)組成:放大環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率

第六十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五慣性環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)折頻率

一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)折頻率將轉(zhuǎn)折頻率在橫坐標(biāo)上按照順序標(biāo)出，見圖4.25。并按式（4.63）求出系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性

當(dāng)而接近于零時(shí)，令，則這樣，在橫坐標(biāo)軸處垂直向上取得到一點(diǎn)，第六十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五它就是近似曲線要穿過的點(diǎn)。由前述知道積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率是20dB/dec。所以可以經(jīng)過上述這一點(diǎn)，繪制很小時(shí)的系統(tǒng)開環(huán)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，即低頻漸近線。將低頻漸近線延長(zhǎng)至處，在這以后由于振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線的斜率是40dB/dec，因此在處，系統(tǒng)的漸近線的斜率經(jīng)疊加后變?yōu)?0dB/dec，該線一直延長(zhǎng)到下一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處。此后，由于慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線斜率為20dB/dec，所以在處，系統(tǒng)的漸近線的斜率應(yīng)為80dB/dec，一直延長(zhǎng)到轉(zhuǎn)折頻率處。由于微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線的斜率為+20dB/dec，故從處起系統(tǒng)的漸近線斜率又變?yōu)?0dB/dec。如此，就得到了系統(tǒng)開環(huán)近似的對(duì)數(shù)幅頻特性，表示在圖4.26。為了得到精確曲線，對(duì)上述近似曲線加以修正，即在每一轉(zhuǎn)折頻率處，以及低于和高于轉(zhuǎn)折頻率的一倍頻程處加以修正就可以得到精確曲線了。圖4.26中以虛線表示的是的精確對(duì)數(shù)幅頻曲線。

第六十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

繪制系統(tǒng)的相頻特性曲線必須先畫出所有環(huán)節(jié)的相頻特性，見圖4.26。，分別為放大環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的相頻特性，為振蕩環(huán)節(jié)的相頻性特，和各為慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性。然后將它們的相角在相同的頻率下代數(shù)相加，這樣就畫出了完整的相頻特性曲線，如圖4.26所示。圖

4.26

例4.5所示系統(tǒng)的博德圖

第六十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3.4傳遞函數(shù)實(shí)驗(yàn)確定法

頻率特性反映了系統(tǒng)或元件本身內(nèi)在的固有的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而為實(shí)驗(yàn)分析提供了理論依據(jù)。從頻率特性基本概念可知，對(duì)于線性系統(tǒng)或元件，在正弦信號(hào)作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入信號(hào)頻率相同、幅值和相位不同的正弦信號(hào)。如果在可能涉及到的頻率范圍內(nèi)，測(cè)量出系統(tǒng)或元件在足夠多的頻率點(diǎn)上的幅值比和相位移，那么由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)可畫出系統(tǒng)或元件的博德圖。進(jìn)而獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于其對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性有確定的對(duì)應(yīng)性，所以，只要獲得對(duì)數(shù)幅頻特性就可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。具體方法如下：

（1）根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)博德圖的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，用斜率為0dB/dec、dB/dec和dB/dec的直線逼近實(shí)驗(yàn)曲線，獲得系統(tǒng)或元件的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線。

（2）根據(jù)漸近線低頻段的斜率確定系統(tǒng)或元件包含積分環(huán)節(jié)第六十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（或微分環(huán)節(jié)）的個(gè)數(shù)。

（3）從漸近線低頻段開始，隨著頻率的增加，每遇轉(zhuǎn)折頻率，依據(jù)漸近線頻率的變化，寫出對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)。如果實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性在時(shí)，是由-20dB/dec變化到-40dB/dec，即斜率變化了-20dB/dec，那么傳遞函數(shù)中應(yīng)包含有一個(gè)的慣性環(huán)節(jié)；如果在處，斜率又變化了-

40dB/dec，那么在傳遞函數(shù)中必含有振蕩環(huán)節(jié)

。振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼固有頻率就等于轉(zhuǎn)折頻率，其阻尼比

可通過測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近的諧振峰值，

并與圖4.13所示曲線比較后確定。

（4）當(dāng)傳遞函數(shù)中的各個(gè)環(huán)節(jié)確定以后，由對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線低頻段或其延長(zhǎng)線確定增益。由于趨于零時(shí)，和

趨近于1。

第六十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以頻率特性可以寫成在實(shí)際工程系統(tǒng)中等于0、1或2。對(duì)于0型系統(tǒng)，由可知，低頻漸近線是一條分貝的水平線，故K值可由該水平漸近線求得。對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，由可知，低頻漸近線的斜率為-

20dB/dec。低頻漸近線（或它的延長(zhǎng)線）與0分貝直線交點(diǎn)處的頻率在數(shù)值上等于K。對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，由可知，當(dāng)時(shí)，

。因此，低頻漸近線的斜率為-40dB/dec，漸近線（或它的延長(zhǎng)線）與0分貝直線相交處的頻率在數(shù)值上等于。圖4.27所示為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值曲線，同時(shí)也表示了頻率與增益K的關(guān)系。第六十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

（5）根據(jù)上述結(jié)果可初步寫出系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。按照該傳遞函數(shù)可獲得相應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。對(duì)于最小相位系圖4.27

0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線第六十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)所得的相頻特性曲線應(yīng)與用上述方法確定的傳遞函數(shù)所畫出的相頻特性曲線在一定程度上相符，且在很低和很高的頻率范圍上，應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格相符。如果實(shí)驗(yàn)所得的相角在高頻時(shí)不等于，其中分別表示傳遞函數(shù)分母和分子的階次，那么系統(tǒng)必定是一個(gè)非最小相位系統(tǒng)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線，可估算非最小相位的傳遞函數(shù)。頻率特性實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)注意以下問題：

（1）在作頻率特性實(shí)驗(yàn)時(shí)，必須采用合適的正弦信號(hào)發(fā)生器。它可以是機(jī)械、電氣和氣動(dòng)的型式。對(duì)于時(shí)間常數(shù)比較大的系統(tǒng)，作實(shí)驗(yàn)時(shí)所取的頻率范圍可為0.001～1000Hz。正弦信號(hào)必須沒有諧波和波形畸變。

第六十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

（2）必須合理的選擇正弦信號(hào)的幅值。由于物理系統(tǒng)具有某些非線性因素，如果輸入信號(hào)幅值太大，就要引起系統(tǒng)飽和，得不到頻率特性精確的結(jié)果，如果輸入信號(hào)太小，也會(huì)因死區(qū)引起誤差。因此，必須合理選擇輸入正弦信號(hào)幅值的大小。為了保證輸入波形確實(shí)是正弦波，并使系統(tǒng)工作在線性段上，要求在測(cè)試過程中對(duì)系統(tǒng)的輸出波形進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

（3）用以測(cè)量系統(tǒng)輸出的測(cè)量裝置必須有足夠的頻寬，在其工作范圍內(nèi)應(yīng)該具有接近平直的幅頻特性。第七十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.6試確定具有圖4.28所示實(shí)驗(yàn)頻率特性曲線的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解

首先,以dB/dec及其倍數(shù)的線段來(lái)逼近實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)幅頻特性以獲得對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線,如圖4.28中虛線所示。

然后找出相應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率，，。根據(jù)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線在各轉(zhuǎn)折頻率處的斜率變化，獲得具有如下形式的頻率特性：第七十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五阻尼比可由接近于弧度/秒處的諧振峰值來(lái)求得。參照?qǐng)D4.13，得到。增益在數(shù)值上等于低頻漸近線的延長(zhǎng)線與0dB線交點(diǎn)處的頻率值。于是可得

。

圖4.28

系統(tǒng)的博德圖(a)第七十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

依據(jù)初步確定的頻率特性，可獲得對(duì)數(shù)相頻特性曲線，如圖4.28中虛線所示。由圖可以看出，由初步確定的傳遞函數(shù)畫出的對(duì)數(shù)相頻特性和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相頻特性是一致的，且該系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

圖4.28

系統(tǒng)的博德圖(b)

第七十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)

4.4.1尼奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

第3章已經(jīng)得到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有的閉環(huán)極點(diǎn)位于[

s]平面的左半平面或者說(shuō)特征方程的根都必須具有負(fù)實(shí)部。尼奎斯特判據(jù)仍是根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件導(dǎo)出的一種方法。尼奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也稱頻域法判據(jù)，簡(jiǎn)稱尼氏判據(jù)。應(yīng)用尼氏判據(jù)不必求解閉環(huán)特征根，同時(shí)還可以得知系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性以及改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性的途徑。因此該判據(jù)在控制工程中得到廣泛應(yīng)用。1.幅角定理

尼奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是以復(fù)變函數(shù)中的幅角定理為基礎(chǔ)的。因此，需要了解幅角定理的基本內(nèi)容。幅角定理（Cauchy定理）：設(shè)函數(shù)為多項(xiàng)式的分式，它在[]平面上（除有限第七十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五個(gè)奇點(diǎn)外）為單值的連續(xù)正則函數(shù)。并設(shè)[]平面上解析點(diǎn)映射到[]平面上為點(diǎn)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量。若在[]平面上任意選定一條封閉曲線，只要此曲線不經(jīng)過的奇點(diǎn)，就可將[]平面的封閉曲線映射到[]平面上，其結(jié)果也是一條封閉曲線，記為。在[]平面上，當(dāng)解析點(diǎn)順時(shí)針方向沿變化一周時(shí)，在[]平面上對(duì)應(yīng)映射點(diǎn)的軌跡順時(shí)針包圍原點(diǎn)的總次數(shù)為次。即以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)周。其中，為包圍于內(nèi)的函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)；為包圍于內(nèi)的函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。幅角定理有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。這里只作一些簡(jiǎn)單說(shuō)明。將寫成如下多項(xiàng)式的分式形式式中

（4.66）第七十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

如圖4.29所示，在上選擇點(diǎn)A，使從這點(diǎn)開始沿移動(dòng)，繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，所有位于封閉曲線域外的零、極點(diǎn)指向變點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)過的角度凈變化均為零；而位于封閉曲線域內(nèi)的零、極點(diǎn)指向變點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)過（這里定義逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)）。當(dāng)這樣變化時(shí)，在平面上也相應(yīng)地發(fā)生變化，它是從點(diǎn)B出發(fā)沿順時(shí)針回到點(diǎn)B的閉曲線。這個(gè)變化造成了的相位角的變化。如果[]平面上只包圍的一個(gè)零點(diǎn)，不包圍極點(diǎn)和其他零點(diǎn)，則根據(jù)式

（4.67）

(4.68)

第七十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五(4.68)可知，當(dāng)從A點(diǎn)開始沿繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，除了等于之外，,,…,

,

,

,…,的值均分別為零，所以

式(4.69)表示，[]平面上的軌跡從B點(diǎn)開始，繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周。同樣，當(dāng)從[]平面上的A點(diǎn)開始，繞著的一個(gè)極點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈（即此圓內(nèi)只含有極點(diǎn)而不含有零點(diǎn)和其他極點(diǎn)）時(shí)，[]平面上的對(duì)應(yīng)軌跡繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周。若包圍的是的個(gè)零點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)時(shí)，則有

（4.70）即映射到[]平面上的對(duì)應(yīng)軌跡將順時(shí)針包圍原點(diǎn)圈。

需要指出的是，應(yīng)用幅角定理只能確定包圍于內(nèi)函數(shù)的

(4.69)

第七十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五零點(diǎn)數(shù)或其極點(diǎn)數(shù)之間的差值，即確定，并且與的形狀無(wú)關(guān)。

圖4.29幅角原理說(shuō)明圖第七十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.基于開環(huán)頻率特性的線性系統(tǒng)尼奎斯特穩(wěn)定分析

(1)系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的特征方程式閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為

式中，，令，即以頻率特性表示式（4.71）

具有單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為

（4.73）式中,和分別為開環(huán)傳遞函數(shù)中分子和分母的多項(xiàng)式，階數(shù)比的階數(shù)高，而和是同次冪。令

（4.71）

（4.72）

第七十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)于具有非單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，可以得到與式（4.74）相同的表達(dá)形式。(2)尼奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令平面上的封閉曲線包圍平面的全部右半平面。這時(shí)封閉曲線由整個(gè)軸（從到）和右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓軌跡構(gòu)成，并且封閉曲線的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。因?yàn)榉忾]曲線包圍平面的全部右半平面，所以它包圍了的所有具有正實(shí)部的零點(diǎn)和極點(diǎn)。下面分三種情況來(lái)討論：1)開環(huán)穩(wěn)定情況如果系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，那么，系統(tǒng)開環(huán)特征方程向量

（4.74）

第八十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五的根全部具有負(fù)實(shí)部。則的極點(diǎn)數(shù)為零，即

（4.76）由式（4.70）可知，

（4.77）由式（4.74）可知，的零點(diǎn)即為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，當(dāng)且僅當(dāng)，即在復(fù)平面的右半部分無(wú)零點(diǎn)，那么，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于左半平面時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由式（4.77）可知，

(4.78)

(4.79)因此，當(dāng)頻率從變到時(shí)，若系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)也要穩(wěn)定，就要求