江蘇省揚(yáng)州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測試題高一數(shù)學(xué)（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）．1.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）．A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，即可確定的虛部【詳解】，則的虛部為故選：B3.甲、乙兩人參加學(xué)校組織的“勞動(dòng)技能通關(guān)”比賽，已知甲通關(guān)的概率為，乙通關(guān)的概率為，且甲和乙通關(guān)與否互不影響，則甲、乙兩人都不通關(guān)的概率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】甲、乙通關(guān)的事件分別記為A，B，事件A，B相互獨(dú)立，，所以甲、乙兩人都不通關(guān)的概率為.故選：D4.某學(xué)習(xí)小組6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)小測驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：82，84，86，90，97，97，則該組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)是（）A.82 B.83 C.84 D.97【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，所以該組數(shù)據(jù)的30百分位數(shù)是.故選：C5.若向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的坐標(biāo)公式求解即可【詳解】設(shè)向量夾角為，則在上的投影向量為故選：A6.下列選項(xiàng)正確的是（）A.空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等C.如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行D.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)定理逐項(xiàng)分析即可【詳解】空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,A錯(cuò)如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),B錯(cuò)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行,無數(shù)并不代表所有,C錯(cuò)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直,D對故選：D7.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中，使得恰有一個(gè)解的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理逐項(xiàng)判斷.【詳解】A.因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，無解；B.因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫瑒t，又，則，有兩解，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋瑒t，所以無解，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，由正弦定理得，則，又，且，所以，故有一解，故正確.故選：D8.已知，函數(shù)，若，則（）．A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，從而利用即可求解.【詳解】解：令，，則或，令，，則，又，，所以，，，，因，，所以，，所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.所謂“民以食為天”，糧食問題就是人類生存的底線問題，是國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展的底線問題，是社會(huì)維持穩(wěn)定的底線問題.2021年，我國全國糧食總產(chǎn)量13657億斤，連續(xù)7年保持在萬億斤以上，我國2020-2021年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法正確的是（）．A.2021年的糧食總產(chǎn)量比2020年的糧食總產(chǎn)量高 B.2021年的稻谷產(chǎn)量比2020年的稻谷產(chǎn)量低C.2020年和2021年的薯類所占比例保持穩(wěn)定 D.2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是小麥【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)判定可得答案.【詳解】2020年的糧食總產(chǎn)量為億斤，2021年的糧食總產(chǎn)量高億斤，因?yàn)椋蔄正確；因?yàn)?，所?021年的稻谷產(chǎn)量比2020年的稻谷產(chǎn)量高，故B錯(cuò)誤；2020年和2021年的薯類所占比例都為，故C正確；由統(tǒng)計(jì)圖可得2021年的各類糧食產(chǎn)量中，增長量最大的是玉米，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.從裝有個(gè)紅球和個(gè)白球的袋中任意取出個(gè)球，有如下幾對事件：①“取出個(gè)球，恰好有個(gè)白球”與“取出個(gè)球，恰好有個(gè)紅球”；②“取出個(gè)球，恰好有個(gè)白球”與“取出個(gè)球，都是紅球”；③“取出個(gè)球，至少有個(gè)白球”與“取出個(gè)球，都是紅球”；④“取出個(gè)球，至少有個(gè)白球”與“取出個(gè)球，至少有個(gè)紅球”．其中是互斥事件的有（）A.① B.② C.③ D.④【答案】BC【解析】【分析】寫出每個(gè)事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定義判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于①，“取出個(gè)球，恰好有個(gè)白球”即為紅白，“取出個(gè)球，恰好有個(gè)紅球”即為紅白，①中兩個(gè)事件為相等事件；對于②，“取出個(gè)球，都是紅球”即為紅，②中的兩個(gè)事件為互斥事件；對于③，“取出個(gè)球，至少有個(gè)白球”包含：紅白、白，③中的兩個(gè)事件為互斥事件；對于④，“取出個(gè)球，至少有個(gè)紅球”包含：紅白、紅，④中的兩個(gè)事件不是互斥事件.故選：BC.11.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）．A.三棱錐的外接球的表面積為 B.異面直線和所成的角為C.直線CP和平面所成的角為定值 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對A，三棱錐的外接球即正方體的外接球，再求解外接球表面積即可；對B，根據(jù)異面直線夾角的定義可得直線和所成的角為，進(jìn)而根據(jù)為正三角形求解即可；對C，舉反例，當(dāng)在和時(shí)直線CP和平面所成的角不相等判斷即可；對D，以為頂點(diǎn)，為圓錐的高，為母線作圓錐，由圓錐底面圓上任意一點(diǎn)滿足，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短求解即可【詳解】對A，三棱錐的外接球即正方體的外接球，且即為外接球的直徑，又，故外接球的表面積，故A正確；對B，連接，，易得異面直線和所成的角即與所成的，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得為正三角形，故，故異面直線和所成的角為，故B正確；對C，當(dāng)在時(shí)，直線CP和平面平行，所成的角為；當(dāng)在時(shí)，直線和平面不平行，所成的角不為，故C錯(cuò)誤；對D，由題意，，以為頂點(diǎn)，為圓錐的高，為母線作圓錐如圖所示.則易得圓錐底面圓上任意一點(diǎn)滿足，故.不妨設(shè)與四點(diǎn)共面，則易得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.此時(shí)，故D正確；故選：ABD12.如圖所示，中，，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，P為線段CM的中點(diǎn)，延長AP交邊BC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的有（）．A. B.C. D.與夾角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】對A，根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量共線的線性表示求解即可；對B，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合可得，進(jìn)而得到判斷即可；對C，根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)B中兩邊平方化簡求解即可；對D，在中根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】對A，，故A正確；對B，設(shè)，則由A，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，故，故，所以，即，故B錯(cuò)誤；對C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正確；對D，在中，，，故，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足：，則復(fù)數(shù)z的模為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解即可【詳解】，則，故故答案為：14.的值為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合兩角和的正切公式求解即可【詳解】故答案為：15.已知平面四邊形ABCD中，，，，且是正三角形，則的值為_____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)圖形由數(shù)量積的運(yùn)算律直接求解即可.【詳解】由已知可得故答案為：216.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為77和123，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為m和n，全部70個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為74和138，則_____________，_____________．【答案】①70②.130【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的公式列式求解即可【詳解】由題意，，，故，故.又，即，，即，故，故故答案為：70；130四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復(fù)數(shù)．（1）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍；（2）若z是純虛數(shù)，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)第四象限的復(fù)數(shù)實(shí)部為正，虛部為負(fù)求解即可；（2）根據(jù)純虛數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0求解即可【小問1詳解】由題意可得，解得；的取值范圍為；【小問2詳解】由題意可得，解得．的值為．18.如圖，三棱柱中，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．（1）求證：平面ABC；（2）若平面，求證：平面ABC．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)M，連接AM，EM，證明四邊形EFAM為平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）易得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證.【小問1詳解】證明：取BC中點(diǎn)M，連接AM，EM，因?yàn)橹?，E為中點(diǎn)，M為BC中點(diǎn)，所以且，三棱柱中，且，因?yàn)镕為中點(diǎn)，所以且，所以四邊形EFAM為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面ABC；【小問2詳解】證明：因?yàn)?，由?）知，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，平面ABC，所以平面ABC．19.某校高二年級學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為：、、、、、．（1）求這名學(xué)生成績的平均值；（2）若采用分層抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取人，查看他們的答題情況來分析知識(shí)點(diǎn)上的缺漏，再從中隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查分析，求這人中恰好有人成績在內(nèi)的概率．【答案】（1）分（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值，再將矩形直方圖中每個(gè)矩形的底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，相加可得出這名學(xué)生成績的平均值；（2）分析可知抽取的人中，成績在內(nèi)的有人，成績在內(nèi)的有人，記成績在內(nèi)位同學(xué)為、、、，成績在的位同學(xué)位、、，列舉出所有基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：，．這名學(xué)生的成績的平均值為，因此，這名學(xué)生成績的平均值為分.【小問2詳解】解：設(shè)“抽取人中恰好有人成績在內(nèi)”為事件．由題設(shè)可知，成績在和內(nèi)的頻率分別為和，則抽取的人中，成績在內(nèi)的有人，成績在內(nèi)的有人．記成績在內(nèi)位同學(xué)分別為、、、，成績在的位同學(xué)分別為、、．則從人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，故.20.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知_____________．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】對于條件①：兩邊邊的條件為齊次，化邊為角結(jié)合三角恒等變換可解得；對于條件②：邊的條件為齊二次，整理?xiàng)l件到余弦定理的結(jié)構(gòu)可解得；對于條件③：由正弦定理化角為邊，整理?xiàng)l件到余弦定理的結(jié)構(gòu)可解得.【小問1詳解】（1）若選①：因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得，所以，所以．則，因?yàn)?，所以，又，所以．若選②化簡得：，則，又，所以．若選③：因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得，所以．即，因?yàn)?，所以．【小?詳解】（2）因?yàn)?，由，則，，又，所以，則取值范圍為．21.如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，平面平面ABCD，平面平面．（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作，垂足為M，顯然PM，PA不重合，作，垂足為N，由平面平面ABCD，得到平面ABCD，再由平行四邊形ABCD為矩形，且面積為48，利用錐體的體積公式求解；（2）由平面PCD，平面平面，得到，結(jié)合（1）得到平面PAD，則二面角的平面角求解．【小問1詳解】解：如圖所示：作，垂足為M，顯然PM，PA不重合，作，垂足為N．在中，，所以N為PD中點(diǎn)，且，所以，解得：；因?yàn)?，所以，則；因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又平面PAD，則平面PAD，又平面PAD，所以，則平行四邊形ABCD為矩形，且面積為48；所以四棱錐的體積為；【小問2詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD，位平面PCD，所以平面PCD．又因?yàn)槠矫鍼AB，平面平面，所以．由（1）知平面PAD，所以平面PAD，又因?yàn)槠矫鍼AD，所以且，所以二面角的平面角即．在中，，由余弦定理得．所以二面角的余弦值為．22.已知函數(shù)．（1）求方程在上的解集；（2）求證：函