西南大學(xué)《概率論》作業(yè)及答案

2013年秋西南大學(xué)《概率論》作業(yè)及答案(共6次,已整理)第一次作業(yè)一、主觀題、論述題、判斷題：1.“A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生.【√】2.設(shè)A、B為二事件，則A—B=A—AB.【√】3.已知：P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.1,則P(A∪B)=0.6.【√】4.一批產(chǎn)品有10件正品，3件次品，現(xiàn)有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品為止，假定每件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)相同，用隨機(jī)變量表示取到正品時(shí)的抽取次數(shù)，則服從幾何分布.【√】5．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有聯(lián)合概率密度，則X與Y相互獨(dú)立.【×】6．特征函數(shù)具有性質(zhì)：.【√】7．設(shè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，且它有n階矩存在，則當(dāng)時(shí)，有.【×】8．從一堆產(chǎn)品中任意抽出三件進(jìn)行檢查，事件A表示“抽到的三個(gè)產(chǎn)品中合格品不少于2個(gè)”，事件B表示“抽到的三個(gè)產(chǎn)品中廢品不多于2個(gè)”，則事件A與B是互為對(duì)立的事件.【×】9．對(duì)二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)，概率值達(dá)到最大.【×】10．設(shè)一口袋中有a只白球,b只黑球,從中取出三只球(不放回),則三只球依次為黑白黑的概率為.【√】11.設(shè)，若A與B互不相容，則A與B必不相互獨(dú)立.【√】12.n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的特征函數(shù)等于它們特征函數(shù)的乘積.【×】.13．設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，則.【×】14．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，的方差分別是4和2，則＝44.【√】15.設(shè)服從的均勻分布，，則的密度函數(shù)為.【√】16.任意隨機(jī)變量均存在數(shù)學(xué)期望.【×】17.X為隨機(jī)變量，a,b是不為零的常數(shù)，則E(aX+b)=aEX+b.【√】18.X～N(3,4),則P(X<3)=P(X>3).【√】19.隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=DX+DY.【√】20.設(shè)為兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，，且存在常數(shù)C，使得，則服從大數(shù)定律.【√】二、主觀題：在某城市中，共發(fā)行三種報(bào)紙A、B、C。在這城市的居民中，訂閱A報(bào)的占45%,訂閱B報(bào)的占35%,訂閱C報(bào)的占30%,同時(shí)訂閱A報(bào)及B報(bào)的占10%,同時(shí)訂閱A報(bào)及C報(bào)的占8%,同時(shí)訂閱B報(bào)及C報(bào)的占5%,同時(shí)訂閱A、B、C三種報(bào)紙的占3%，則"至少訂閱一種報(bào)紙的”概率為0.9三、主觀題：三人獨(dú)立的破譯一份密碼,已知每個(gè)人能譯出的概率分別為0.25,0.5,0.6.則這密碼被譯出的概率為0.85四、客觀題：1.隨機(jī)變量X的方差DX也稱為X的二階原點(diǎn)矩?！?.擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為P,

擲了n次，則至少出現(xiàn)一次正面的概率為1-(1-p)n.√3.隨機(jī)變量X的取值為不可列無(wú)窮多，則X必為連續(xù)型隨機(jī)變量?！?.設(shè)事件為A、B，已知P(AB)=0，則A與B必相互獨(dú)立.×5.“ABC”表示三事件A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生。×6.設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，X與Y不相關(guān)的充分必要條件是X與Y的協(xié)方差等于0。√7.設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，若X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=EX?Ey.√8.連續(xù)型隨機(jī)變量均有方差存在?！?.A、B為任意二隨機(jī)事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B).×10.設(shè)A、B、C為三事件，若滿足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則三事件A、B、C必然相互獨(dú)立?！?1.設(shè)X是隨機(jī)變量，且EX=DX,則X服從（B）分布。

A：二項(xiàng)B：泊松C：正態(tài)D：指數(shù)12.（D）是離散型隨機(jī)變量的分布。A：正態(tài)分布B：指數(shù)分布C：均勻分布D：二項(xiàng)分布第二次作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)A、B為二事件，事件可化簡(jiǎn)為（D）.（A）A(B)B(C)A-B(D)B-A2.對(duì)事件A、B，下列說(shuō)法正確的是（D）.(A)若A與B互不相容，則與也互不相容(B)若A與B相容，則與也相容(C)若A與B互不相容，則A與B相互獨(dú)立(D)A與B相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立3.設(shè)事件、的概率均大于零，且與互為逆事件（或?qū)α⑹录瑒t有（B）(A)與相互獨(dú)立(B)與互不相容(C)與相等(D)包含或包含4.，，，(A)(A)(B)(C)(D)5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則其中常數(shù)為（A）.(A)A=-1,B=1(B)A=1,B=-1(C)A=1,B=1(D)A=-1,B=-16.下列函數(shù)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是（D）.(A)(B)(C)(D)7.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量的概率密度為（C）.（A）(B)(C)(D)8.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,由切比雪夫不等式有(B).(A)(B)(C).(D)9．袋中裝有1，2，…，N號(hào)球各一只，現(xiàn)從中不放回的摸球，則第k次摸球時(shí)首次摸到1號(hào)球的概率為（A）.(A)(B)(C)(D)10.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量與，下面（A）說(shuō)法與協(xié)方差不等價(jià).(A)與相互獨(dú)立(B)(C)(D)相關(guān)系數(shù)11.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，則E2=（D）.(A)(B)2(C)2－(D)2＋12．下列函數(shù)中，（A)可以作為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù).(A).(B)(C)(D)13.已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為-2-112000100則(B).(A)與相互獨(dú)立、不相關(guān)(B)與不相互獨(dú)立、不相關(guān)(C)與相互獨(dú)立且相關(guān)(D)與不相互獨(dú)立且相關(guān)14．已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為-10100010則(D).(A)與相互獨(dú)立、不相關(guān)(B)與不相互獨(dú)立且相關(guān)(C)與相互獨(dú)立且相關(guān)(D)與不相互獨(dú)立、不相關(guān)15．設(shè)服從二維正態(tài)分布，是獨(dú)立的（C）.(A)充分但不必要條件.(B)必要但不充分條件.(C)充分且必要條件.(D).既不充分也不必要條件.16．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量、，，,則（D）.(A)(B)(C)(D)17．兩人約定7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，則一人要等另一人半小時(shí)以上的概率為（C）.(A)0(B)(C)(D)118.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),且E(X+1)=6,D(X+1)=4,則n=(B).(A)20；(B)25；(C)10；(D)50.19.設(shè)X、Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且,,則E(X-Y),D(X-Y)分別為（B）.(A)-1，7；(B)-1，25；(C)1，7；(D)1，25。20.設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布律為X01Pqp其中則的特征函數(shù)為（A）.(A)(B)(C)(D)二、填空題：設(shè)10件產(chǎn)品中含有4件次品，今從中任取2件，發(fā)現(xiàn)其中一件是次品，則另一件也是次品的概率為0.2三、填空題：投擲五個(gè)硬幣，每個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的概率為1/2.已知正面數(shù)不超過(guò)3，則正面數(shù)剛好為3的概率為5/13四、判斷題：1.設(shè)事件為A、B，已知P(AB)=0,則A與B互不相容.×2.隨機(jī)向量（X,Y）服從二元正態(tài)分布，則X的邊際分布為正態(tài)分布，Y的邊際分布也為正態(tài)分布.√3若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X與Y相互獨(dú)立，則X+Y～B(8,0.2).√4.X為隨機(jī)變量，a,b是不為零的常數(shù)，則D(aX+b)=aDX+b.×5.設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，X與Y不相關(guān)的充分必要條件是D(X+Y)=DX+DY.√五、單選題：1.C為常數(shù)，則E(C)=(C).A：0B：1C：CD：不存在2.若X服從泊松分布P(10),則EX=(A).A：10

B：1C：100D：1/103.已知X在[1，3]上服從均勻分布，則X的方差DX=(D).A：2B：1C：3D：1/3第三次作業(yè)一、填空題（主觀題）1.一袋中有編號(hào)為0，1，2，…，9的球共10只，某人從中任取3只球，則（1）取到的球最小號(hào)碼為5的概率為；（2）取到的球最大號(hào)碼為5的概率為.2.一部五卷的文集，按任意次序放到書(shū)架上，則（1）“第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊”的概率為0.2；（2）“第一卷出現(xiàn)在旁邊”的概率為0.4.3．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則（1）A=1；（2）=0.5；（3）的密度函數(shù)為=。4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為（1）常數(shù)C＝4.（2）=不存在.5．設(shè)則.6.若A、B為二事件，，則0.7.7．已知隨機(jī)變量的概率密度為其中、為常數(shù)，則=m.8.設(shè)服從正態(tài)分布，即~N(,2)，則的密度函數(shù)p(x)在x=m.時(shí)達(dá)到最大值.9.設(shè)隨機(jī)事件A的概率為P(A)=0.5,隨機(jī)事件B的概率為P(B)=0.4，條件概率，則=0.8.10.設(shè)隨機(jī)變量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,則（1）E(X+Y+Z)=6；(2)D(X+Y+Z)=19.11.在某城市中，共發(fā)行三種報(bào)紙A、B、C。在這城市的居民中，訂閱A報(bào)的占45%,訂閱B報(bào)的占35%,訂閱C報(bào)的占30%,同時(shí)訂閱A報(bào)及B報(bào)的占10%,同時(shí)訂閱A報(bào)及C報(bào)的占8%,同時(shí)訂閱B報(bào)及C報(bào)的占5%,同時(shí)訂閱A、B、C三種報(bào)紙的占3%，則（1）“只訂A報(bào)及B報(bào)的”概率為0.07；（2）“只訂A報(bào)的”概率為0.3.12.將n個(gè)不同的球等可能地放入N(N>n)個(gè)盒子中，則（1）某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球的概率p1=；（2）任意n個(gè)盒子中各有一個(gè)球的概率p2=.13.設(shè)的概率密度為，則____;_____。14.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則(1)＝;(2)=;(3)＝.15.設(shè)在（0，5）服從均勻分布，則的方程有實(shí)根的概率為0.6.16.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為且，則k=2，b=1.17.設(shè).18.418.設(shè)X與Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,,Y的密度函數(shù)為,則（1）E(X+Y)=5/8；（2）D(X-Y)=49/192.19.設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布。則X的特征函數(shù).20.隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，則（1）的特征函數(shù)為_(kāi)____；（2）的特征函數(shù)為_(kāi)_____.二、判斷題（客觀題）1、設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，若E(XY)=EX?EY,則X與Y相互獨(dú)立.（×）2、X、Y相互獨(dú)立，則X、Y必不相關(guān).（√）3、A.B為任意二隨機(jī)事件，則P(A-B)=P(A)-P(B).（×）4、C為常數(shù)，則D(C)=0.（√）5、若X服從二項(xiàng)分布B(5,0.2),則EX=2.（×）6、若X服從泊松分布P(10),Y服從泊松分布P(10),且X與Y相互獨(dú)立，則X+Y服從泊松分布P(20).（√）7、cov(X,Y)=0等價(jià)于D(X+Y)=DX+DY.（√）8、隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)相互唯一確定。（√）9、兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于他們的特征函數(shù)之和.（×）10、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，如果具有有限的數(shù)學(xué)期望，則該序列服從大數(shù)定律。×11、隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布b(n,p),當(dāng)n充分大時(shí)，由中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p)).√第四次作業(yè)計(jì)算題1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：確定常數(shù)A及P(-1<x<1/2)；(2)求Y=2X的分布函數(shù)及密度函數(shù).；(3)求DY.解：(1)因是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，所以在1處連續(xù)故F（1）=F（1+0）=F（1－0）可得A=1(2)分布函數(shù)為密度函數(shù)為(3)2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)；（2）概率；（3）的密度函數(shù)。解：（1）由性質(zhì)得得：，，（2）.（3）故。3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）常數(shù)；（2）；（3）；（4）。解：（1）（2）（3）（4）當(dāng)，故。4.設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求（1）的邊際密度函數(shù)，的邊際密度函數(shù)，并說(shuō)明與是否獨(dú)立？（2）條件密度函數(shù).解：（1）可求得，；因?yàn)椋逝c不獨(dú)立。（2）當(dāng)時(shí)，。5.設(shè)的密度函數(shù)為求：（1）常數(shù)A；（2）求的邊際密度；（3）是否相互獨(dú)立？（4）求概率P(<1)；（5）.解：(2)(4)(5)6.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則常數(shù)分別為多少？并求其密度函數(shù).解：由分布函數(shù)的性質(zhì)有，，得，因，，所以，，。，故所求密度函數(shù)為。7.設(shè)在平面上以原點(diǎn)為心1為半徑的圓內(nèi)服從均勻分布，（1）求的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）是否相互獨(dú)立？為什么？(3)求的協(xié)方差.解：（1）由已知可得：的概率密度為（2）同理當(dāng)且時(shí)，，說(shuō)明與不是獨(dú)立的。（3）因?yàn)橥碛校核裕骸５谖宕巫鳂I(yè)1、甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江的下游，根據(jù)上百年來(lái)的氣象記錄知，一年中甲市雨天的概率為0.2，乙市雨天的概率為0.14，兩地同時(shí)下雨的概率為0.12，求：（1）兩市至少有一市下雨的概率；（2）兩市都不下雨的概率。（3）已知甲市下雨的情況下，乙市下雨的概率；（4）僅有乙市下雨的概率。解：設(shè)A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”（1）（2）（3）（4）2、為防止意外，在某礦內(nèi)同時(shí)設(shè)有兩種報(bào)警系統(tǒng)A及B，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，其有效的概率系統(tǒng)A為0.9，系統(tǒng)B為0.92，在A失靈的條件下，B有效的概率為0.8，求（1）發(fā)生意外時(shí)，這兩種報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；（2）B失靈的條件下，A有效的概率。解：設(shè)A表示“A有效”，B表示“B有效”，則（1）（2）。3、假設(shè)某地區(qū)位于甲、乙兩河流交處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即遭受水災(zāi)，設(shè)某時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當(dāng)甲河流泛濫時(shí)，乙河流泛濫的概率為0.3，求：(1)該時(shí)期內(nèi)這個(gè)地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；(2)當(dāng)乙河流泛濫時(shí)，甲河流泛濫的概率;(3)該時(shí)期內(nèi)只有甲河流泛濫的概率。解：設(shè)A:表示“甲河泛濫”，B:表示“乙河泛濫”，（1）（2）（3）4．發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)0和1，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)0時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以0.8和0.2的概率收到信號(hào)0和1；又當(dāng)發(fā)出信號(hào)1時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以0.9及0.1的概率收到信號(hào)1和0。求收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)0，此時(shí)原發(fā)信號(hào)也是0的概率.解：,所求概率為。5．炮戰(zhàn)中，在距目標(biāo)250米，200米，150米處射擊的概率分別為0.1、0.7、0.2,而在各處射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率分別為0.05、0.1、0.2,（1）求目標(biāo)被擊毀的概率；（2）現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀，求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250米處射出的概率。解：設(shè)A表示“目標(biāo)被擊中”，表示“炮彈距目標(biāo)250米射出”，表示“炮彈距目標(biāo)200米射出”，表示“炮彈距目標(biāo)150米射出”，（1）（2）=0.043。6.已知產(chǎn)品中96％是合格品，現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢驗(yàn)方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98，而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05，求：(1)產(chǎn)品以簡(jiǎn)化法檢驗(yàn)為合格品的概率；（2）以簡(jiǎn)化方法檢驗(yàn)為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)為合格品的概率。解：設(shè)A=“產(chǎn)品為合格品”，B=“簡(jiǎn)化方法檢驗(yàn)為合格品”（1）（2）。7.一個(gè)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件B，加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率為0.3,加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率為0.4,求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率。解：設(shè)C表示“機(jī)床停機(jī)”,A表示“加工A零件”,B表示“加工B零件”則