工程數(shù)學級數(shù)42

是定義在區(qū)域D上的復變函數(shù)序列，則稱表達式4.2復變函數(shù)項級數(shù)定義4.2.1復變函數(shù)項級數(shù)設(shè)為復變函數(shù)項級數(shù)（簡稱復函數(shù)項級數(shù)）.該級數(shù)前n稱為級數(shù)的部分和.1定義4.2.2如果對于D內(nèi)某點，數(shù)項級數(shù)收斂，則稱點為的一個收斂點，若級數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都收斂，則稱該級數(shù)在D內(nèi)收斂;收斂點的集合稱為的收斂域.若級數(shù)發(fā)散，則稱點為級數(shù)的發(fā)散點，發(fā)散點的集合稱為的發(fā)散域.23冪級數(shù)概念4如果令，那么(4.3.1)成為，這即為(4.3.2)的形式.為了方便，今后就以(4.3.2)函數(shù)項級數(shù)來進行討論.56因而存在正數(shù)M，使對所有的n有如果，那么，而7從而根據(jù)正項級數(shù)的比較法知

收斂，故級數(shù)是絕對收斂的.8另一部分命題用反證法證明.910(2)對所有的正實數(shù)除外都是發(fā)散的.這時，級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散；對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時，根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂；11(3)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù).設(shè)(正實數(shù))時級數(shù)收斂，(正實數(shù))時級數(shù)發(fā)散，那么在以原點為中心，為半徑的圓周內(nèi)，級數(shù)絕對收斂；為半徑的圓周外，級數(shù)發(fā)散.顯然只能，否則級數(shù)必發(fā)散，如圖4.1所示。在以原點為中心,1213定義4.3.2收斂圓收斂半徑144.3.3收斂半徑的求法對于冪級數(shù)，我們主要關(guān)心的是它的收斂問題，即收斂域是怎樣的以及如何求收斂域.下面我們借助正項級數(shù)的比值法來討論這個問題.15證明:1617181920在收斂圓上，由于收斂，所以原級數(shù)在收斂圓上處處收斂.21當時，級數(shù)為，它是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂；當時，級數(shù)為，它是調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散.22定理4.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)：23更為重要的是代換(復合)運算這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有著廣泛的應(yīng)用.24收斂半徑為R=|b-a|[解]把函數(shù)寫成如下形式:25Oxyab當|z-a|<|b-a|=R時級數(shù)收斂2627但級數(shù)的收斂半徑28但應(yīng)注意，使等式成立的收斂圓域仍應(yīng)為，不能擴大.29(ii)冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可逐項求導或逐項積分，即