第二章固體物理

第二章固體物理第一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性2.晶體的結(jié)合類型3.結(jié)合力及結(jié)合能4.分子力結(jié)合5.共價結(jié)合6.離子結(jié)合本章主要內(nèi)容第二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.1原子的電子分布

原子的電子組態(tài)，通常用字母s、p、d來表征角量子數(shù)，字母的左邊的數(shù)字是軌道主量子數(shù)，右上標(biāo)表示該軌道的電子數(shù)目。例：氧原子的電子組態(tài)為1s22s22p4第三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.1原子的電子分布核外電子分布遵從

泡利不相容原理、能量最低原理和洪特規(guī)則。泡利不相容原理：包括自旋在內(nèi)，不可能存在量子態(tài)全同的兩個電子；能量最低原理：任何穩(wěn)定體系，其能量最低；洪特規(guī)則：最低能量原理的一個細(xì)則，即電子依能量由低到高依次進(jìn)入軌道并先單一自旋平行地占據(jù)盡量多的等價(n、l相同)軌道。第四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.2電離能元素NaMgAlSiPSClAr電離能5.1397.6445.9848.14910.5510.35713.0115.755元素KCaGaGeAsSeBrKr電離能4.3396.1116.007.889.879.75011.8413.996單位：eVNa+5.14eVNa++e第五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.3電子親和能元素HHeLiBeBCNOFNe理論值72.766-2159.824029113-58120312-315-29實驗值72.9＜059.8＜0231220±20141322＜0元素NaMgAlSiPSClArKCa理論值52-2304813475205343-3545-156實驗值52.9＜04412074200.43487＜048.4＜0單位：kJ/molCl+eCl-+3.61eV第六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.4結(jié)合能Cl+Cl-+7.9eVNaNa+定義：孤立的中性原子結(jié)合釋放的能量稱為結(jié)合能，或者說把晶體分解成一個個孤立的中性原子需要的能量。結(jié)合能越大，原子結(jié)合越穩(wěn)定，熔點越高。第七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.5電負(fù)性

為統(tǒng)一地衡量不同原子得失電子的難易程度，選定某原子的電負(fù)性為參考值，把其他原子電負(fù)性與此參考值相比較。穆力肯定義泡利定義原子的電負(fù)性=0.18（電離能+親和能）單位：eVE(A-B)=[E(A-A)*E(B-B)]1/2+96.5(xA-xB)單位：kJ/mol規(guī)定氟的電負(fù)性為4.0。規(guī)定Li的電負(fù)性為1.0。結(jié)合能第八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1.原子的電負(fù)性1.5電負(fù)性通常把元素易于失去電子的傾向稱為元素的金屬性，把元素易于獲得電子的傾向稱為元素的非金屬性。第九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四2.晶體的結(jié)合類型

2.1共價結(jié)合

由電負(fù)性較大的同種原子結(jié)合成晶體時，最外層的電子都不會脫離原來的原子，稱這類晶體為原子晶體。

兩個原子接近時,只有自旋方向相反的單電子可以相互配對(兩原子軌道重疊),使電子云密集于兩核間,系統(tǒng)能量降低,形成穩(wěn)定的共價鍵。聯(lián)結(jié)兩個原子的一對電子稱為配對電子，電子配對的方式稱為共價鍵。第十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四2.晶體的結(jié)合類型

共價鍵的飽和性

當(dāng)一個原子與其它原子結(jié)合時，能夠形成共價鍵的數(shù)目有一個最大值，這個最大值決定于它所含的未配對的電子數(shù)，這個特性稱為共價鍵的飽和性。共價鍵的方向性兩個原子在以共價鍵結(jié)合時，必定選取盡可能使其電子云密度為最大的方位，電子云交迭得越厲害，共價鍵越穩(wěn)固。

共價晶體的硬度高，熔點高，熱膨脹系數(shù)小，導(dǎo)電性差。第十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四2.晶體的結(jié)合類型

2.2離子結(jié)合

一種容易失去電子的元素和一種容易俘獲電子的元素結(jié)合在一起，其中一個變成正離子，另一個變成負(fù)離子，最終形成離子晶體。離子晶體的硬度高，熔點高，熱膨脹系數(shù)小，導(dǎo)電性差。離子晶體結(jié)合過程中的動力顯然是正負(fù)離子之間的庫侖力。一種離子的最近鄰只能為異號離子。氯化鈉結(jié)構(gòu)、氯化銫結(jié)構(gòu)是典型的離子晶體結(jié)構(gòu)第十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四共價鍵與離子鍵的區(qū)別2.晶體的結(jié)合類型

第十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四2.晶體的結(jié)合類型

2.3金屬結(jié)合第一、二主族及過渡元素，由于電負(fù)性小，在構(gòu)成元素晶體時，晶格上既有金屬原子，又有失去了電子的金屬離子，二者隨時在變化。模型：金屬中所有的原子都失掉了最外層的價電子而成為原子實，原子實浸沒在共有電子的電子云中。金屬晶體結(jié)合過程中的動力是原子實和共有化電子之間的靜電庫侖力。原子越緊湊，電子云與原子實就越緊密，庫侖能就越低。金屬晶體有良好的導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性和延展性。第十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四Nature,354(1991),56:報道碳納米管現(xiàn)象特點：軟，而且熔點低。

倫敦力（色散力）2.4分子結(jié)合葛生力德拜力（誘導(dǎo)力）范德瓦爾斯力沒有方向性和飽和性，一般這種晶體都盡可能采用密堆積方式。單原子分子或共價分子由范德瓦爾斯力凝聚而成的晶體

+-極性分子+_非極性++--+-+-2.晶體的結(jié)合類型

+-+-第十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四

分子中與電負(fù)性大的原子X以共價鍵相連的氫原子，還可以和另一個電負(fù)性大的原子Y之間形成一種弱的鍵稱為氫鍵。

氫鍵2.5氫鍵結(jié)合氫鍵有方向性和飽和性冰是典型的氫鍵晶體，主要靠氫鍵結(jié)合，氫原子不但與一個氧原子形成共價鍵，還和另一水分子中氧原子相吸引，后者結(jié)合較弱。氫鍵和范德瓦爾斯鍵都是弱鍵，前者較后者略強(qiáng)一些.2.晶體的結(jié)合類型

XY第十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.1結(jié)合力的共性

各種不同的晶體，其結(jié)合力的類型和大小是不同的。在任何晶體中，兩個粒子間的相互作用力或相互作用勢能與它們的間距離的關(guān)系在定性上是相同的。吸引作用：異性電荷之間的庫侖引力；排斥作用：來源有兩個，一、同性電荷之間的庫侖力，二、泡利原理所引起的排斥。晶體中粒子互作用分為兩大類：第十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.1結(jié)合力的共性兩個原子間的相互作用勢能(近似)表達(dá)式：r為兩個原子間的距離,a、b、m、n為大于零的常數(shù)，排斥勢能吸引勢能（1）相互作用勢短程效應(yīng)（2）原子間的相互作用力第十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

n>m（2）原子間的相互作用力平衡時第十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

有效引力最大時，原子間距rm

。

（2）原子間的相互作用力表示晶格所能容耐的在一個方向上的最大張力。第二十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.2結(jié)合能：原子結(jié)合成晶體后釋放的能量。E0：晶體的總能量（內(nèi)能）EN：是組成該晶體的N個原子在自由狀態(tài)時的總能量結(jié)合能的一般形式

在絕對零度下，除各原子的零點振動能外，結(jié)合能就是各原子間的互作用勢能之和。第二十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.2結(jié)合能12345678910111213原子1與其它原子的相互作用能：原子2與其它原子的相互作用能：兩原子i、j的互作用勢能為u(rij)，這里rij是原子i和原子j之間距離。第二十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.2結(jié)合能由N個原子組成的晶體總的互作用勢能可以視為是原子對間的互作用勢能之和。假定二：晶體表面原子數(shù)與總原子數(shù)相比可忽略。（晶體無限大）假定一：晶體中兩個最近鄰原子間作用為主要部分i≠j，表示不同的原子間的相互作用，系數(shù)1/2的出現(xiàn)是為了消除一種相互作用兩個表示形式的問題。第二十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

3.2結(jié)合能在平衡態(tài)下，晶體勢能最低由組成晶體的原子（離子）的總相互作用能對距離r求微商得到平衡時的原子（離子）的最近鄰距離r0

再代回到晶體的總能量中，就可以求得晶體的結(jié)合能?？梢郧蟪雠c體積相關(guān)的有關(guān)常數(shù)：晶體的壓縮系數(shù)和體積彈性模量。原子相互作用勢能是晶體體積的函數(shù)。如果已知原子相互作用勢能，結(jié)合能的計算方法：原子相互作用勢能的大小由兩個因素決定：原子的數(shù)目原子的間距第二十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四3.結(jié)合力及結(jié)合能

根據(jù)熱力學(xué)，晶體體積彈性模量的定義為體積壓縮系數(shù)：絕熱近似下，壓力與晶體內(nèi)能的關(guān)系：晶體平衡時體積彈性模量第二十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四晶體體積：晶體平衡時體積彈性模量：簡立方：面心立方：3.結(jié)合力及結(jié)合能

平衡時=0體心立方？第二十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四極性分子相互作用示意圖

兩個相互平行的極性分子，其電偶極矩間的庫侖勢能4.分子晶體結(jié)合能

4.1極性分子晶體第二十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

4.1極性分子晶體

第二十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

4.1極性分子晶體

注：在溫度很高時，由于熱運動，極性分子的平均相互作用勢與r6成反比，與溫度T成反比。第二十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.2極性分子與非極性分子4.分子晶體結(jié)合能

p1為電偶極子的電偶極矩，其在延長線上的電場為p2為感生偶極矩，

極性分子與非極性分子間的吸引勢與距離的六次方成正比。相互作用時相當(dāng)于兩個極性分子相互作用第三十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

4.3非極性分子的結(jié)合

惰性氣體分子不存在永久偶極矩：最外層電子殼層已經(jīng)飽和，它不會產(chǎn)生金屬結(jié)合和共價結(jié)合。而且惰性氣體分子的正負(fù)電荷中心重合。(a)瞬時狀態(tài)，兩個完全沒有吸引作用的惰性分子，相互作用能為零。相鄰氦原子的兩種瞬時偶極矩(a)(b)(b)瞬時狀態(tài)等效于兩個偶極子處于吸引狀態(tài)，相互作用能小于零。++第三十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

系統(tǒng)在低溫下應(yīng)選擇(b)狀態(tài)結(jié)合。?證明：單位體積內(nèi)，(a)狀態(tài)的個數(shù)為0，能量為0；(b)狀態(tài)的個數(shù)為，能量u=u(u>0)。由玻耳茲曼分布率得在低溫下非極性分子間瞬時偶極矩的吸引作用是非極性分子結(jié)合成晶體的動力。溫度很低時第三十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

(b)的狀態(tài)是如何產(chǎn)生的？說明：對時間平均來說，惰性氣體分子的偶極矩為0；就瞬時而言，惰性氣體分子會呈現(xiàn)瞬時偶極矩。瞬時偶極矩誘導(dǎo)偶極矩鄰近分子極性分子與非極性分子的作用第三十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四著名的雷納德-瓊斯勢A,B與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。

或4.3非極性分子晶體4.分子晶體結(jié)合能

類似于極性分子與非極性分子的吸引勢，兩惰性氣體分子間的吸引勢可表示為排斥勢可由實驗求得。分子間的相互作用勢能為第三十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四NeArKrXeε(eV)σ(?)0.00312.740.01043.400.0143.560.0203.98惰性氣體的雷納德-瓊斯勢參數(shù)4.分子晶體結(jié)合能

具有長度的量綱，1.12σ為兩分子的平衡間距。ε具有能量的量綱，-ε為平衡點的雷納德-瓊斯勢。平衡時的原子間距：

平衡時的相互作用勢能：

第三十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四有N個原子組成分子晶體，相互作用勢能：

4.分子晶體結(jié)合能

非極性分子的結(jié)合能第三十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四A6和A12均是只與結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。平衡時的原子間距：

平衡時晶體的結(jié)合能：

面心立方體彈性模量：

4.分子晶體結(jié)合能

第三十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四解:(1)面心立方,最近鄰原子有12個,(1)只計及最近鄰原子；(2)計及最近鄰和次近鄰原子。是參考原子i與其它任一原子j的距離rij同最近鄰原子間距R的比值()。試計算面心立方的A6和A12。由N個惰性氣體原子構(gòu)成的分子晶體，其總互作用勢能表示為'',4.分子晶體結(jié)合能

第三十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四(2)計及最近鄰和次近鄰,次近鄰有6個。4.分子晶體結(jié)合能

第三十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

第四十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四4.分子晶體結(jié)合能

由平衡時晶格常數(shù)確定σ利用XRD測得晶格常數(shù)R0，得σ。例：面心立方簡單格子的分子晶體例：對于面心立方晶體通過實驗確定出晶體的體積彈性模量，可求出能量。由平衡時體彈性模量求第四十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四5.共價（原子）晶體結(jié)合能

晶體共價結(jié)合的基礎(chǔ)：只有當(dāng)電子自旋相反時兩個氫原子才結(jié)合成穩(wěn)定分子，這是晶體共價結(jié)合的理論基礎(chǔ)（1927，HeitlerandLondon）。

氫分子結(jié)合的價鍵理論：5.1氫分子的結(jié)合兩氫原子的相互作用12ⅠⅡ電子氫核

忽略自旋與軌道、自旋與自旋相互作用。兩氫原子哈密頓量為：第四十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四5.共價（原子）晶體結(jié)合能

考慮了電子的全同性和泡利原理（費米子）；C1和C2為歸一化常數(shù)選取兩個反對稱波函數(shù)構(gòu)成分子軌道：（自旋平行）（自旋相反）孤立原子時，電子的基態(tài)波函數(shù)為：分子波函數(shù)第四十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四5.共價（原子）晶體結(jié)合能

44可得1和2態(tài)的能量分別為：、K、J是一些積分，rIII為定值它們也為定值。將1和2代入：第四十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四5.共價（原子）晶體結(jié)合能

討論：（1）E1是排斥勢。電子自旋平行兩氫原子相互排斥，不能結(jié)合成氫分子；（2）E2在rIII=1.518a0處有一極小值。rIII大于此值兩原子相吸，小于此值相斥。E2為相互作用能。氫分子的能量與氫原子的間距的關(guān)系自旋相反的價電子（配對電子）可為兩原子共享，使得體系的能量最低。第四十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四

雜化軌道：？金剛石中四個等同共價鍵，兩鍵之間夾角為109?28。spxpypz碳原子基態(tài)sp3雜化1

2

34

碳原子sp3雜化軌道雜化過程示意圖5.共價（原子）晶體結(jié)合能

第四十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四5.共價（原子）晶體結(jié)合能

C1s22s22p21=(2s+2px+2py+2pz)/22=(2s+2px2py2pz)/23=(2s2px+2py2pz)/24=(2s2px2py+2pz)/2sp3雜化sp3雜化軌道？為什么可以形成雜化軌道？雜化引起兩方面的作用：（1）2s電子激發(fā)到2p軌道，需要能量；（2）可以多形成兩個共價鍵，放出能量。放出能量大于需要能量，使系統(tǒng)勢能最小，晶體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。第四十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四6.離子晶體的結(jié)合能

晶體中第i和第j離子間相互作用能：

總的相互作用能：

若令最近鄰離子間距離。馬德隆常數(shù)M，僅與晶體幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)。B第四十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四NaCI晶胞的馬德龍常數(shù)M計算中心Na+離子為參考離子，它到其它離子的距離:

對于CsCl結(jié)構(gòu)的離子晶體，其M=1.7627，閃鋅礦結(jié)構(gòu)M=1.6381。

6.離子晶體的結(jié)合能

第四十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四離子晶體平衡時的相互作用勢能：

平衡態(tài)時：dU/dR=0R0通過X射線衍射實驗確定，K力學(xué)實驗測定。6.離子晶體的結(jié)合能

第五十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四6.離子晶體的結(jié)合能

第五十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四基本思想：為了使級數(shù)迅速收斂，把晶體看成是由埃夫琴晶胞（晶胞內(nèi)所有離子的電荷代數(shù)和為零）構(gòu)成。做法：把這些中性晶胞對參考離子的庫侖能量貢獻(xiàn)份額加起來就得到馬德隆常數(shù)。埃夫琴計算方法：馬德龍常數(shù)M計算第五十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四馬德龍常數(shù)M計算ONaCl結(jié)構(gòu)的埃夫琴晶胞負(fù)離子正離子

面心上的負(fù)離子對晶胞的貢獻(xiàn)：

對庫侖能的貢獻(xiàn)：

棱中點的正離子對晶胞的貢獻(xiàn)：舉例1：

NaCl結(jié)構(gòu)的一個中性埃夫琴晶胞選取晶胞中心離子O為參考離子（設(shè)其為正離子）。第五十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四馬德龍常數(shù)M計算

對庫侖能的貢獻(xiàn)：

8個角頂上參考離子庫侖能的貢獻(xiàn)為：由一個中性埃夫琴晶胞得到NaCl結(jié)構(gòu)晶體的馬德隆常數(shù)：問題：準(zhǔn)確否？（

1.747558

）第五十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四馬德龍常數(shù)M計算舉例2：NaCl結(jié)構(gòu)的8個中性埃夫琴晶胞選取參考點O周圍的8個埃夫琴晶胞作為考慮的范圍晶胞內(nèi)部：最近鄰（A）6、次近鄰（B）12、次次近鄰（C）8。8個埃夫琴晶胞中的一個OAAABBBC

對庫侖能的貢獻(xiàn)：BAC第五十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四馬德龍常數(shù)M計算ONaCl結(jié)構(gòu)的埃夫琴晶胞負(fù)離子正離子

面心上的負(fù)離子對晶胞的貢獻(xiàn)：

對庫侖能的貢獻(xiàn)：

棱中點的正離子對晶胞的貢獻(xiàn)：舉例1：

NaCl結(jié)構(gòu)的一個中性埃夫琴晶胞選取晶胞中心離子O為參考離子（設(shè)其為正離子）。第五十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四面上（共54個）

：面上離子對中性立方體的貢獻(xiàn)為1/2。

對庫侖能的貢獻(xiàn)：棱上（共36個）：DEF棱上離子對庫侖能的貢獻(xiàn)：GH(上)面上的離子分布ODEEEEFFFFGGGGHHHHHHHH馬德龍常數(shù)M計算第五十七頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四頂角（共8個）：頂角上離子對庫侖能的貢獻(xiàn)：

NaCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)：接近1.747558馬德龍常數(shù)M計算第五十八頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四7原子和離子半徑晶體生長、半導(dǎo)體材料制備、陶瓷材料的改性等過程中通常摻雜替代原子

摻雜替代原子不但需要考慮原子的價數(shù)還需要考慮原子的尺寸，即原子半徑。

引言第五十九頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四原子或離子半徑因結(jié)構(gòu)不同而異：原子的尺寸主要由核外電子云來決定，當(dāng)原子構(gòu)成晶體時，原子的電子云已不同于孤立原子的電子云。因此，不可能給出一個精確不變的原子和離子半徑。

金屬半徑：金屬結(jié)合的原子半徑。

共價半徑：共價結(jié)合的原子半徑。

范德瓦爾斯半徑：分子晶體中的原子半徑。7.1半徑定義7原子和離子半徑第六十頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四

半徑的定義：（1）金屬原子半徑：密堆積金屬，用X光衍射測出兩核的間距，核間距的一半為金屬原子半徑；（2）原子的共價半徑：共價晶體，核間距的一半定義為原子的共價半徑；（3）范德瓦爾斯半徑：分子晶體中相鄰分子間兩個鄰近的非成鍵原子之間核間距的一半。7原子和離子半徑第六十一頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四

問題：對于離子晶體，正負(fù)離子半徑一般不會相等。如何確定離子半徑？離子晶體中正負(fù)離子半徑確定

方法：采用高希米特半徑和泡林半徑。R(KF)-R(NaF)0.35?R(KCl)-R(NaCl)0.33?R(KBr)-R(NaBr)0.32?(1)差值很接近(2)應(yīng)該是Na和K離子的半徑之差，離子有確定的半徑7原子和離子半徑第六十二頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四7.2泡林半徑離子的大小主要取決于最外層電子的分布，對于等電子離子，離子半徑與有效電荷Z-成反比，即為什么要引入屏蔽常數(shù)？核外的一個電子除受核電荷的吸引外，還受到核外其他電子的排斥作用。一個電子受到的合力相當(dāng)于Z-個核電荷的吸引作用。離子半徑由外層電子主量子數(shù)決定的常數(shù)原子序數(shù)屏蔽常數(shù)等電子離子的屏蔽常數(shù)相等第六十三頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四用X射線衍射法測出最近兩離子（等電子）的核間距r0，利用以下聯(lián)立方程可定出等電子離子晶體中正負(fù)離子的半徑R＋和R－7.3離子半徑的測定：7原子和離子半徑第六十四頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四7原子和離子半徑例如：泡林利用上式，計算了NaF型離子的單價半徑。NaF的離子間距由X射線衍射測得為2.31埃，Na+與F-屬Ne的等電子離子，對于這種結(jié)構(gòu)的屏蔽常數(shù)S=4.52。解得：第六十五頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四66利用公式可求出價離子的晶體半徑R，n是玻恩常數(shù)。多價離子的晶體半徑7原子和離子半徑第六十六頁，共七十一頁，編輯于2023年，星期四1H0.37---(-1)2.08部分原子和離子半徑（?）

---共價半徑---金屬半徑---離子半徑2He---------3Li1.23