第二章極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)

第二章極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)第一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)函數(shù)yn=f(n),其中n為正整數(shù),

那么按自變量n增大的順序排列的一串?dāng)?shù)f(1),f(2),f(3),,f(n),,稱(chēng)之為數(shù)列,記作{yn

}或數(shù)列yn.

…

…簡(jiǎn)單地說(shuō)：數(shù)列就是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)一、數(shù)列的極限數(shù)列第一張幻燈片第二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四------單調(diào)減少------單調(diào)增加------有界但不單調(diào)例第三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四前面三個(gè)數(shù)列當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的極限可分別表示為第四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四顯然，數(shù)列yn

無(wú)限地接近于1，可用數(shù)列yn與1之差的絕對(duì)值可以任意地小來(lái)描述.如果用符號(hào)e

表示任意小的正數(shù)，那么就可用|yn-1|<e表示.于是數(shù)列yn的極限現(xiàn)象可表述為：當(dāng)n無(wú)限變大時(shí)，就有|yn-1|<e.一般地，當(dāng)n無(wú)限變大時(shí)，數(shù)列yn無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)A的極限現(xiàn)象可定義如下：

第五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)任意給定的正數(shù)

e，總存在正數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，恒有

|yn

A|<e

成立，則稱(chēng)數(shù)列{yn}當(dāng)n→∞時(shí)以A為極限。定義如果數(shù)列有極限，則稱(chēng)該數(shù)列是收斂的第六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四存在一充分大正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，點(diǎn)yn都落在點(diǎn)A的

e

鄰域內(nèi)，而不管

e有多么小(如圖)，形象一點(diǎn)講，數(shù)列yn會(huì)密集在點(diǎn)A的周?chē)?AA-

eA+eyN+1yN+2Ox如果把數(shù)列yn中每一項(xiàng)都用數(shù)軸Ox上一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，那么數(shù)列yn趨向于A(yíng)可解釋為:數(shù)列極限的幾何意義第七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四發(fā)散數(shù)列：當(dāng)n→∞時(shí),數(shù)列不趨于某個(gè)固定常數(shù)A，稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列

.第八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四A∞發(fā)散不確定------收斂收斂的數(shù)列一定有界返回本章目錄第九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四函數(shù)極限第一張幻燈片第十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存一個(gè)正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，恒有

成立，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)以為極限，記作或當(dāng)時(shí)，的極限第十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四yx0(1)∵第十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)(3)0xyxy0第十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四作直線(xiàn)y=A+e和y=A-e

A+eAA-eNyOx不管它們之間的距離有多么小，當(dāng)x>N時(shí)，曲線(xiàn)y=f(x)一定落在這兩條直線(xiàn)之間.的幾何意義第十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)x→1時(shí)，趨向于什么？當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限顯然有0xy1f(x)在當(dāng)x→1時(shí)是否有極限與在X=1點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)和第十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義：如果當(dāng)x無(wú)限接近于x0時(shí)，恒有|f(x)-

A|<e

(e是任意小的正數(shù))

則稱(chēng)當(dāng)自變量x趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)趨于A(yíng)，記作

x無(wú)限接近x0即為0<|x-x0|<d.（d充分小的正數(shù)）第十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四A

-e

<

f(x)<A+e．AA+eA-ey=f(x)x0-dx0+dx0yxO

不論它們之間的距離有多么小.只要x進(jìn)入

是指：當(dāng)0<|x-

x0|<d時(shí)，

恒有|f(x)-

A|<e.即作兩條直線(xiàn)：y=A-e

y=A+e

的d鄰域內(nèi)，曲線(xiàn)y=f(x)就會(huì)落在這兩條直線(xiàn)之間.幾何意義第十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)自變量x從不同方向趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)趨向于A(yíng)的極限，此時(shí)稱(chēng)A是函數(shù)f(x)的單側(cè)限。-----------右極限-----------左極限極限存在定理左右極限第十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1試求函數(shù)≤≤解:

函數(shù)f(x)在x=0

處左、右極限存在但不相等，所以不存在.第二十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

函數(shù)f(x)在x=1

處左、右極限存在而且相等，所以有第二十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2解例

3解第二十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四解例

4設(shè)函數(shù)求第二十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2,3和4說(shuō)明了下列幾種重要現(xiàn)象：

(1)函數(shù)f(x)在x0處極限存在，但函數(shù)f(x)在x0處可以沒(méi)有定義(如例2).

(2)函數(shù)f(x)在x0處雖然有定義，且在x0處有極限，但兩者不等，

(3)函數(shù)f(x)在x0處有定義，也有極限且兩者相等.第二十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

若

x→x0(或

x→∞

)時(shí)，函數(shù)f(

x

)的極限存在,則函數(shù)

f(

x

)在

x0的一個(gè)空心小鄰域內(nèi)(或|x|充分大范圍內(nèi))有界.定理第二十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)變量在變化過(guò)程中無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，就稱(chēng)該變量以A為極限，記作三、變量的極限變量y若為具體函數(shù)，則不能使用通用記號(hào)，必須在極限符號(hào)下面要寫(xiě)明所研究的變量的自變量的變化過(guò)程.

第一張幻燈片第二十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四①②

③

④

返回本章目錄第二十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四四、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量第一張幻燈片第二十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四無(wú)窮大量如果，則稱(chēng)變量是在該變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大。第三十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四無(wú)窮小量以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮?。?，常用等表示。零是唯一可以作為無(wú)窮小量的常數(shù)第三十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

如果變量以A為極限的充分必要條件是變量可以表示為A與無(wú)窮小量之和，即

定理第三十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四在相同的變化趨勢(shì)下有界變量與無(wú)窮小量之積仍是無(wú)窮小量（常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍是無(wú)窮小量）。②兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量（可推廣）。③兩個(gè)無(wú)窮小量之積仍是無(wú)窮小量（可推廣）定理第三十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第三十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

為有界函數(shù)，證例第三十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系在變量的變化過(guò)程中，如果是無(wú)窮大量，則是無(wú)窮小量；是無(wú)窮小量，則是無(wú)窮大量。①②第三十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四無(wú)窮小量階的比較定義：第三十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第三十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四極限的運(yùn)算法則

定理:在某一變化過(guò)程中，若幻燈片1第三十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四故由無(wú)窮小量的定理可推得

lim(x

y

)=A

B=limx

limy

證第四十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)因?yàn)閤

y=(A

a

)(B

b)

=AB(Ab

Ba

a

b)因?yàn)锳b,Ba，a

b

均為無(wú)窮小量，所以商的極限運(yùn)算法則的證明從略.lim(x

y

)=AB=limx

limy第四十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四推論1

limcy

=climy推論2

第四十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四求極限

例第四十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四m、n為正整數(shù)。為常數(shù)第四十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

證

第五十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四求極限

第五十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

第五十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

第五十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例分別討論當(dāng)時(shí)，的極限是否存在，并求第五十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

第五十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)第五十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第六十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：

練習(xí)即所以當(dāng)x

1時(shí)為無(wú)窮大量，第六十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四解練習(xí)第六十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

解

練習(xí)第六十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)求極限第六十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

（無(wú)窮小量與有界變量之積仍為無(wú)窮小量）第六十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第六十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四極限存在準(zhǔn)則第六十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四在某個(gè)變化過(guò)程中，三個(gè)變量總有關(guān)系，且準(zhǔn)則1：夾值定理第六十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明證明：第六十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四準(zhǔn)則2：?jiǎn)握{(diào)有界定理單調(diào)有界數(shù)列一定有極限定義第七十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四(1)是單調(diào)增加數(shù)列，且，所以有(2)是單調(diào)減少數(shù)列，且，所以有例幻燈片1第七十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩個(gè)重要極限幻燈片1第七十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

AOB面積<扇形AOB面積<AOD面積證明：因?yàn)?，所以?dāng)改變符號(hào)時(shí)，的值不變，故只討論當(dāng)?shù)那樾渭纯?。作單位圓OxABDC設(shè)圓心角∠則第七十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四所以即同除得即由于所以第七十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第七十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第七十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片1第八十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例第八十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第八十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第八十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第八十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例幻燈片1第八十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四利用無(wú)窮小量等價(jià)代換求極限等價(jià)無(wú)窮小量代換只能用于乘除運(yùn)算，對(duì)于加減項(xiàng)的無(wú)窮小量不能隨意代換。

幻燈片1第八十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四常用的等價(jià)無(wú)窮銷(xiāo)量第八十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四利用無(wú)窮小量等價(jià)代換法求極限例幻燈片89幻燈片90幻燈片91幻燈片92幻燈片93幻燈片94幻燈片87第八十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第八十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第九十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第九十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第九十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第九十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四幻燈片87第九十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四函數(shù)的連續(xù)性幻燈片1第九十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四函數(shù)的改變量（函數(shù)的增量）

0xy改變量：終值與初始值之差。第九十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，若邊長(zhǎng)由變到時(shí)，面積改變了多少。例解：（1）若邊長(zhǎng)由2米變到2.05米時(shí)，（2）若邊長(zhǎng)由2米變到1.95米時(shí)，第九十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四函數(shù)連續(xù)的概念第九十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)及其的某鄰域內(nèi)有定義，若則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0

處連續(xù).第九十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)及其某鄰域內(nèi)有定義，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x0

點(diǎn)處連續(xù)。若第一百頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四總結(jié)：第一百零一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.定義(1)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱(chēng)在區(qū)間上連續(xù)。在開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)處都連續(xù)，且有

則稱(chēng)在閉區(qū)間上連續(xù)。(2)如果函數(shù)第一百零二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例證明函數(shù)在處連續(xù)。在處有定義，且又即

所以在處連續(xù)。證明：因?yàn)榈谝话倭闳?yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

證明函數(shù)y=sinx在其定義域內(nèi)連續(xù).證：任取x0(-

,

+

)，則因y=

f(x0

+

x)-

f(x0)=sin(x0

+

x)-sinx0這表明y=sinx在x0處連續(xù)，由于

x0的任意性可知它在定義域內(nèi)連續(xù).≤≤≤第一百零四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四解因?yàn)樗詅(x)在x=0處連續(xù).第一百零五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

證：因?yàn)榧磃(x)在x=0點(diǎn)處連續(xù)。第一百零六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果在點(diǎn)處連續(xù)，則即連續(xù)函數(shù)極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可以交換。因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以注意第一百零七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類(lèi)間斷點(diǎn)：使函數(shù)y=f(x)不連續(xù)的點(diǎn)稱(chēng)為y=f(x)的間斷點(diǎn)。判斷間斷點(diǎn)的方法第一百零八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四討論函數(shù)在處是否連續(xù)。例解：幻燈片113第一百零九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

討論函數(shù)在處的連續(xù)性。

例

因?yàn)楣庶c(diǎn)不連續(xù)，也稱(chēng)函數(shù)的間斷點(diǎn)。但所以在在1-10xy幻燈片112第一百一十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四討論函數(shù)在處的連續(xù)性。例解：幻燈片112第一百一十一頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第一類(lèi)間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)或跳躍間斷點(diǎn)）

間斷點(diǎn)的分類(lèi)幻燈片111幻燈片110幻燈片114幻燈片115第一百一十二頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二類(lèi)間斷點(diǎn)（若在點(diǎn)處至少有一側(cè)是的第二類(lèi)間斷點(diǎn)）的極限值不存在，則稱(chēng)幻燈片109第一百一十三頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

例

證明x=0為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).

證:因?yàn)樵摵瘮?shù)在x=0處沒(méi)有定義,所以x=0是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)樗詘=0為該函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).yxO幻燈片112第一百一十四頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

證明函數(shù)在x=0處是第一類(lèi)間斷點(diǎn).因此x=0是該函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)

.也為可去間斷點(diǎn).證:即該函數(shù)在x=0處的左、右極限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p幻燈片112第一百一十五頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四因?yàn)?，如果修改定義f(0)=1，所以，左、右極限存在且相等的間斷點(diǎn)稱(chēng)為可去間斷點(diǎn).在x=0連續(xù).則函數(shù)1xyOp2p-p-2p第一百一十六頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

證明x=1是的第二類(lèi)間斷點(diǎn).

證：所給函數(shù)在x=1處沒(méi)有定義，因此x=1是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)橐虼?，x=1為所給函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)

．幻燈片113第一百一十七頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例

設(shè)討論f(x)的連續(xù)性.解：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為初等函數(shù)所以f(x)在x0處是連續(xù)的。因此f(x)在x=0處連續(xù).故函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)是連續(xù)的.第一百一十八頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例解：第一百一十九頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（2）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（3）初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的。第一百二十頁(yè)，共一百三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四故由極限的運(yùn)算法則可得因此f(x)·

g(x)在x0處連續(xù)

.證：僅證明f(x)·

g(x)的情形.因?yàn)閒(x)，g(x)在