高中數(shù)學蘇教版2推理與證明2．2直接證明與間接證明蘇教版選修綜合法（40張）

主題：綜合法【自主認知】1.觀察不等式證明，思考此證明過程是從什么入手證明結(jié)論成立的？在銳角三角形ABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【證明】因為△ABC為銳角三角形，所以A+B>

所以A>-B，因為y=sinx在上是增函數(shù)，所以sinA>sin=cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.提示：是利用函數(shù)y=sinx在上是增函數(shù)這一性質(zhì)入手證明結(jié)論成立的.2.問題1中的證明過程是否為“順推法”？提示：證明過程是以已知入手，借助不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論的.?根據(jù)以上探究過程，試著寫出綜合法的定義及證明流程：1.綜合法的定義一般地，利用_________和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的_________，最后推導出所要證明的_____成立，這種證明方法叫做綜合法.已知條件推理論證結(jié)論2.綜合法的流程其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的_____，Q1，Q2，…，Qn表示中間結(jié)論.結(jié)論【合作探究】1.綜合法又叫由因?qū)Ч?，其推理過程是合情推理還是演繹推理？提示：因為綜合法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，因此所得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”，所以綜合法是演繹推理.2.綜合法邏輯推理的依據(jù)是什么？提示：綜合法邏輯推理的依據(jù)是演繹推理中的三段論.【過關(guān)小練】1.若實數(shù)a，b滿足0<a<b，且a+b=1，則下列四個數(shù)中最大的是(

)A. B.2abC.a2+b2 D.a【解析】選C.因為a+b=1，a+b>所以2ab<由a2+b2>又因為0<a<b，且a+b=1，所以a<，所以a2+b2最大.2.在△ABC中，若a>b，則比較大?。簊inA

sinB.【解析】在△ABC中，由正弦定理可知可知又因為a>b，所以sinA>sinB.答案：>【歸納總結(jié)】對綜合法的四點說明(1)思維特點：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理過程實際上是尋找結(jié)論成立的必要條件的過程.(2)優(yōu)點：條理清晰，易于表述.(3)缺點：探路艱難，易生枝節(jié).(4)思維過程，原因→結(jié)果.綜合法的兩個特點(1)用綜合法證明不等式，證明步驟嚴謹，逐層遞進，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡.(2)因用綜合法證明命題“若A到D”的思考過程可表示為：故要從A推理到D，由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2進一步推演出的中間結(jié)論則可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等.所以如何找到“切入點”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問題的“瓶頸”.類型一：用綜合法證明不等式問題【典例1】已知a，b，c>0，且a+b+c=1，求證：(1)a2+b2+c2≥(2)【解題指南】(1)構(gòu)造再分別利用基本不等式.(2)構(gòu)造再利用(a≥0，b≥0)求解.【解析】(1)因為所以(當且僅當a=b=c=時取“=”)所以a2+b2+c2≥(2)因為三式相加得(當且僅當a=b=c=時取“=”)，所以【規(guī)律總結(jié)】綜合法證明不等式的主要依據(jù)(1)a2≥0(a∈R).(2)(a-b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2+b2≥2ab，≥ab，a2+b2≥(3)若a，b∈(0，+∞)，則特別地，(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a，b，c∈R).由基本不等式a2+b2≥2ab，易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，而此結(jié)論是一個很重要的不等式，許多不等式的證明都可以用該結(jié)論.(5)a+b+c，a2+b2+c2，ab+bc+ca這三個式子之間的關(guān)系由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)給出，三個式子中知道兩個式子，第三個式子可以由該等式用另外兩個式子表示出來.【鞏固訓練】設(shè)a，b，c為不全相等的正數(shù)，且abc=1，求證：【證明】因為a>0，b>0，c>0，且abc=1，所以又bc+ca≥同理因為a，b，c不全相等，所以上述三個不等式中的“=”號不能同時成立.所以2(bc+ca+ab)>2()，即bc+ca+ab>故【拓展延伸】證明不等式的注意點在用綜合法證明不等式時，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運用這些性質(zhì)時，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件.【補償訓練】已知x>0，y>0且x+y=1，求證：【證明】方法一：因為x>0，y>0，1=x+y≥所以xy≤所以方法二：因為1=x+y，所以又因為x＞0，y＞0，所以≥2，所以≥5+2×2=9.類型二：利用綜合法證明數(shù)列問題【典例2】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*)，其中m為常數(shù)，且m≠-3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列.(2)若數(shù)列{an}的公比q=f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn=f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求證：為等差數(shù)列.【解題指南】(1)中利用an+1與Sn和Sn+1之間的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義證明.(2)中利用定義證明，即=常數(shù)(n≥2).【證明】(1)由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3，兩式相減得(3+m)an+1=2man(m≠-3)，所以所以{an}是等比數(shù)列.(2)b1=a1=1，q=f(m)=所以n∈N*，n≥2時，bn=f(bn-1)=·

?bnbn-1+3bn=3bn-1所以數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列.【規(guī)律總結(jié)】綜合法證明數(shù)列問題的依據(jù)【鞏固訓練】數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3…)，證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列.(2)Sn+1=4an.【證明】(1)因為an+1=Sn+1-Sn，an+1=Sn(n∈N*)，所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理，得nSn+1=2(n+1)Sn，所以(n∈N*).故數(shù)列是公比為2，首項為1的等比數(shù)列.(2)由(1)知(n≥2).因為an+1=Sn，所以an=Sn-1(n≥2)，所以Sn+1=4(n+1)·=4an(n≥2).又a2=3S1=3，故S2=a1+a2=4=4a1.因此對于任意正整數(shù)n≥1，都有Sn+1=4an.【補償訓練】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)設(shè)bn=，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【解析】(1)因為an+1=2an+2n，所以因為bn=，所以bn+1==bn+1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，(2)由(1)得bn=n，an=n·2n-1.因為Sn=1×20+2×21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1，所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n，兩式相減得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.類型三：綜合法證明其他問題【典例3】證明：sin(2α+β)=sinβ+2sinαcos(α+β).【解題指南】利用所證等式兩邊角的關(guān)系，借助三角公式證明等式成立.【證明】因為sin(2α+β)-2sinαcos(α+β)=sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.所以原命題成立.【延伸探究】1.(變換條件)在例題中令α=β，求證：sin3α=3sinα-4sin3α.【證明】左邊=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α=2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α=右邊.所以sin3α=3sinα-4sin3α.2.(變換條件)把延伸探究1改為“cos3α=4cos3α-3cosα”，如何證明？【證明】左邊=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα=2cos3α-cosα-2cosα(1-cos2α)=4cos3α-3cosα=右邊.所以cos3α=4cos3α-3cosα.【規(guī)律總結(jié)】綜合法證明的關(guān)鍵(1)明確條件：充分尋找題目的條件，可在圖形上標注(如立體幾何的證明)，并盡力對知識點進行拓展、聯(lián)想、挖掘題目的隱含條件.(2)關(guān)注目標：綜合法證明問題一定要結(jié)合題目結(jié)論，明確證明方向，這樣可少走彎路.(3)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【鞏固訓練】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點.(1)證明：CD⊥AE.(2)證明：PD⊥平面ABE.【證明】(1)在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD.因為