高中數(shù)學北師大版必修函數(shù)4函數(shù)的奇偶性與簡單的冪函數(shù)函數(shù)的奇偶性【全國一等獎】

第2課時函數(shù)奇偶性的應用已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，你能結合奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質將下圖補充完整嗎？1.掌握函數(shù)奇偶性的簡單應用.2.了解函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件.通過函數(shù)奇偶性的應用，熟悉掌握轉化、對稱等思想方法（邏輯推理）會求函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心，解決求值問題（直觀想象）探究一

根據(jù)函數(shù)奇偶性畫函數(shù)圖象

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，如果能夠畫出偶函數(shù)在y軸一側的圖象，則根據(jù)對稱性就可補全該函數(shù)在y軸另一側的圖象.

奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，如果能夠畫出函數(shù)在坐標原點一側的圖象，則根據(jù)對稱性可以補全該函數(shù)在原點另一側的圖象.例1.畫出下列函數(shù)的圖象（1）（2）提示：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，不難知道函數(shù)是偶函數(shù)，這樣只要畫出了在x≥0時的函數(shù)圖象就可以根據(jù)對稱性畫出函數(shù)在x<0時的圖象.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，同樣根據(jù)對稱性解決.【解析】（1）當時，其圖象是以點(1,-1)為頂點，開口向上的拋物線，與x軸的交點坐標是(0,0)(2,0).此時函數(shù)圖象在y軸右半部分如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性得到整個函數(shù)的圖象，如圖.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，可以證明這個函數(shù)在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，且在（0，+∞）上函數(shù)值都是正值，函數(shù)在（0，+∞）上的最小值為2.（這些都可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明）根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的性質，作出函數(shù)的圖象，如圖第一象限內(nèi)部分.根據(jù)奇函數(shù)圖象關于坐標原點對稱畫出這整個函數(shù)的圖象，如圖。設奇函數(shù)f(x)的定義域為［-5,5]，當x∈［0,5]時，函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，（1）作出函數(shù)在［-5,0]上的圖象.（2）求使函數(shù)y＜0的x的取值范圍.【變式練習】利用奇函數(shù)圖象的性質，畫出函數(shù)在[－5,0]上的圖象，直接從圖象中讀出信息．由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于坐標原點對稱，由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值范圍為(－2,0)∪(2,5)．【解析】探究二

根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式例2.已知函數(shù)f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根據(jù)下列條件求函數(shù)在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)是奇函數(shù).分析：求函數(shù)f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求當時，如何用含x的表達式表示f(x).能夠利用的已知條件是函數(shù)在（0，+∞）上的函數(shù)解析式，這樣就要把（-∞，0）上的自變量轉化到（0，+∞）上的自變量.根據(jù)偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，具備奇偶性的函數(shù)在定義域的對稱區(qū)間上的函數(shù)值是符合奇偶性定義的，對偶函數(shù)就是f(x)=f(-x)，這樣當時，，而在（0，+∞）上的函數(shù)解析式是已知的.對奇函數(shù)同樣處理.（1）當函數(shù)f(x)是偶函數(shù)時，滿足f(x)=f(-x)，當時，，所以，當時，(2)當函數(shù)f(x)是奇函數(shù)時，滿足f(x)=-f(-x).當時，，所以，當時，【解析】探究三

利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性回顧例1中兩個函數(shù)的圖象從第（1）個函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性恰好相反，這也是偶函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.從第（2）個函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，這也是奇函數(shù)的單調(diào)性的一般規(guī)律.例3.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，證明函數(shù)在（-∞，0）上也是減函數(shù).分析：根據(jù)證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通過函數(shù)是奇函數(shù)，把函數(shù)在(-∞，0)上的函數(shù)值轉化到（0，+∞）上的函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，確定所作的差的符號，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到證明的結論.所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.證明：在（-∞，0）上任取x1<x2，則-x1>-x2>0因為函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以根據(jù)減函數(shù)的定義，函數(shù)f(x)在（-∞，0）上是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關系(1)若f(x)是奇函數(shù),則f(x)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致;若f(x)是偶函數(shù),則f(x)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.(2)奇函數(shù)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上的最值相反,且互為相反數(shù);偶函數(shù)在定義域關于原點對稱的區(qū)間上的最值相等.【規(guī)律方法】例4：若f(x)是偶函數(shù)，其定義域為(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是減函數(shù)，則與的大小關系是________________.提示：要比較各函數(shù)值的大小，需將要比較的自變量的值化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后再根據(jù)單調(diào)性比較大小.

因為又因為f(x)在［0,+∞)上是減函數(shù),所以又因為f(x)是偶函數(shù)，所以所以【解析】函數(shù)奇偶性的應用核心知識方法總結易錯提醒核心素養(yǎng)利用奇偶性求分段函數(shù)求解析式，求誰令誰比大小時注意利用奇偶性將變量轉化到同一區(qū)間繪制補全函數(shù)圖像培養(yǎng)直觀想象，比大小解不等式培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)利用定義法證明函數(shù)奇偶性一定要注意先求定義域利用奇偶性求分段函數(shù)解析式，注意靈活運用定義利用奇偶性求函數(shù)解析式奇偶性的運算性質利用奇偶性求參數(shù)值比大小、解不等式奇偶性與單調(diào)性的關系1.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值為_____.因為f(x)為奇函數(shù)，f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.-2【解析】2.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0]上為增函數(shù)，試比較f(－2)與f(1)的大小．【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1),又因為f(x)在(－∞，0]上為增函數(shù)，－2＜－1，所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，即f(－2)＜f(1).3.已知函數(shù)f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且在[-4，4]上單調(diào)遞增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】因為函數(shù)f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且在[-4，4]上單調(diào)遞增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，則f（a+1）＜f（3-a），解得-1＜a＜1.4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則(

) A.f(3)<f(－4)<f(－π) B.f(－π)<f(－4)<f(3) C.f(3)<f(－π)<f(－4) D.f(4)<f(－π)<f(3)C【解析】選C.因為f(x)是定義在R上的偶