高中數(shù)學北師大版必修平面向量及其應用2從位移的合成到向量的加減法向量的加法向量的加法

2.1向量的加法課標闡釋

1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義.(數(shù)學抽象、直觀想象)2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,會進行向量的加法運算.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律,會用它們進行計算.(數(shù)學運算、邏輯推理)思維脈絡

激趣誘思知識點撥以前臺胞春節(jié)期間來大陸探親,乘飛機先從臺北到香港,再從香港到上海.如今,兩岸直航包機啟航.若臺北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,臺北到上海的位移用向量c表示.想一想,向量a、b、c有何關系?激趣誘思知識點撥一、向量的加法及其運算法則1.向量加法的概念求兩個向量和的運算,稱為向量的加法.2.向量加法的平行四邊形法則激趣誘思知識點撥3.向量加法的三角形法則

激趣誘思知識點撥名師點析1.三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義.2.規(guī)定:a+0=0+a=a.3.非零向量a,b與向量a+b的模及方向的關系(1)當向量a與b不共線時,a+b的方向與a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|.(2)當a與b同向時,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.(3)當a與b反向時,若|a|≥|b|,則a+b與a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.激趣誘思知識點撥微思考向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系?提示區(qū)別:①三角形法則中強調(diào)“首尾相連”,平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”;②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和,而平行四邊形僅適用于不共線的向量求和.聯(lián)系:當兩個向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.微探究任意兩個非零向量相加,是否都可以用向量的平行四邊形法則進行?答案不一定,當兩向量共線時不能用平行四邊形法則,只能用三角形法則.激趣誘思知識點撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)任何兩個向量的和仍然是一個向量.(

)(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.(

)(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×激趣誘思知識點撥答案C激趣誘思知識點撥二、向量加法的運算律1.向量加法滿足結(jié)合律和交換律,即(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a.2.向量加法的多邊形法則:由于向量的加法滿足結(jié)合律與交換律,因此求n個向量α1,α2,…,αn的和可以按以下步驟進行:任取一點O,依次作有向線段激趣誘思知識點撥名師點析向量加法與實數(shù)加法的異同(1)運算結(jié)果:向量的和還是向量,實數(shù)的和還是實數(shù).(2)運算律:向量的加法與實數(shù)的加法都滿足交換律與結(jié)合律.(3)運算的意義:向量加法的幾何意義是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;實數(shù)加法的意義是實數(shù)的加法法則.由此可見,向量的加法與實數(shù)的加法不相同,其根本原因是向量不僅有大小而且還有方向,而實數(shù)僅有大小,是數(shù)量,所以向量的運算不能按實數(shù)的運算法則來進行.激趣誘思知識點撥微思考你能驗證向量加法也滿足結(jié)合律嗎?提示如圖,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).激趣誘思知識點撥微探究向量加法的交換律與結(jié)合律是否只對兩個和三個向量成立?它們的作用是什么?答案向量加法的交換律與結(jié)合律對多個向量仍然成立,它們的作用是對向量加法進行化簡.探究一探究二探究三探究四當堂檢測已知向量作和向量例1如圖,已知向量a,b,c不共線,作向量a+b+c.探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

求和向量的方法(1)利用三角形法則.在平面內(nèi)任取一點,以該點為始點,將其中一向量的起點平移至該點,之后再將其他向量平移并首尾相接,從一個向量的始點到另外一個向量的終點的向量就是這兩個向量的和.(2)利用平行四邊形法則.在平面內(nèi)任取一點,從此點出發(fā)分別作兩個向量等于已知向量,以這兩個向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,以所取的點為始點的對角線所對應的向量就是這兩個向量的和.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測向量的加法運算例2如圖,已知O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡下列向量:探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

進行向量的加法運算一般有兩種方法:(1)利用幾何方法通過作圖實現(xiàn)化簡;(2)利用代數(shù)方法,先通過向量加法的交換律,使各向量首尾相接,再用向量加法的結(jié)合律求和,有時還需將一個向量拆分成兩個或多個向量.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練2在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯誤的是(

)答案C探究一探究二探究三探究四當堂檢測向量的加法運算律及應用例3化簡下列各式:探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

1.向量的加法運算律的意義.向量的加法運算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.2.應用原則.利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練3下列等式錯誤的是(

)答案B探究一探究二探究三探究四當堂檢測向量加法的實際應用例4在某地抗震救災中,一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院,求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

向量加法應用的關鍵及技巧(1)三個關鍵:一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關系;二是熟練找出圖形中的相等向量;三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出兩個向量的和.(2)應用技巧:準確畫出幾何圖形,將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量;將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運算,進而利用向量加法的幾何意義進行求解.探究一探究二探究三探究四當堂檢測延伸探究本例中,這架飛機到達C地醫(yī)院后,往正南方向飛行多大距離即可由此按正西方向飛回A地?解如圖,由點C作垂線,垂足為D,因為∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,即可由此按正西方向飛回A地.探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案C探究一探究二探究三探究四當堂檢測2.設a表示“向東走5k