初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)下冊(cè)二次根式本章復(fù)習(xí)與測(cè)試【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第16章二次根式單元小結(jié)二次根式概念性質(zhì)運(yùn)算二次根式同類二次根式最簡(jiǎn)二次根式加、減乘、除混合運(yùn)算=a性質(zhì)1(a≥0)=性質(zhì)2=a-a(a≥0)(a<0)性質(zhì)3(a≥0，b≥0)性質(zhì)4(a≥0，b＞0)知識(shí)點(diǎn)1

其中a叫我們把形式如叫做(a≥0)二次根式.被開方數(shù)，符號(hào)二次根號(hào).的式子叫做②

被開方數(shù)a≥0二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①形式上含有二次根號(hào)(二次根式

具有

)≥0a≥0，

雙重非負(fù)性二次根定義1、找出下列各根式中的二次根式.②

被開方數(shù)a≥0二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①形式上含有二次根號(hào)對(duì)應(yīng)練習(xí)：√××√√×

只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，不能稱之為二次根式.思考：是二次根式嗎？不是，像這類代數(shù)式②

被開方數(shù)a≥0二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①形式上含有二次根號(hào)2、x為何值時(shí)，下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？求二次根式中字母的取值范圍的方法：①被開方數(shù)≥0；②分母中有字母時(shí)，解:(1)由題意，得x+3≥0，∴x≥-3(2)由題意，得x2≥0，∴x為全體實(shí)數(shù)要保證分母不為零。(3)由題意，得∴x>3≥0x-3＞03、

x為何值時(shí)，下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？x≤3，且x≠-52≤x≤5x≥-4，且x≠±2x≥2或

x＜-44、已知與互為相反數(shù)，求x、y的值.解：∵與互為相反數(shù)∴+=0又∵≥0，≥0∴x-2y+9=0x+y-3=0解得x=-1，y=45、已知，求的值.解：由題意可得2x-1≥01-2x≥0即x≥x≤∴x=.把x=代入已知等式，得y=.∴

=2+3=56、已知x、y是實(shí)數(shù)，且求3x+4y的值。平方，=a即:性質(zhì)1：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的等于它本身.（a≥0）知識(shí)點(diǎn)2算術(shù)平方根，=即:性質(zhì)2：一個(gè)數(shù)的平方的等于它的絕對(duì)值.=a-a(a≥0)(a<0)二次根的性質(zhì)1和性質(zhì)2比較分析和先開方,后平方先平方,后開方a≥0a取全體實(shí)數(shù)a∣a∣根號(hào)a的平方根號(hào)下a平方讀法運(yùn)算順序a的取值范圍運(yùn)算結(jié)果大家搶答對(duì)應(yīng)練習(xí)1、(1)(2)當(dāng)x＞1時(shí)，(3)若

，則Ｘ的取值范圍是

.(4)若，則Ｘ的取值范圍是

.(5)若１＜Ｘ＜４，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是

.3π-3=

.x≤2x-1x＜72、已知△ABC的三邊分別為a、b，c，請(qǐng)化簡(jiǎn):解：由三角形三邊關(guān)系可得a+b-c＞0，b-a-c＜0，b+c-a＞0∴原式=--=a+b-c-(-b+a+c)-(b+c-a)=a+b-c+b-a-c-b-c+a=a+b-3c解：原式=3、將下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.解：原式=3、將下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.解：原式=3、將下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.兩個(gè)二次根式把被開方數(shù)相乘，相乘，根指數(shù)不變.即性質(zhì)3（二次根式的乘法法則)（a≥0，b≥0）由等式的對(duì)稱性，性質(zhì)3也可以寫成（a≥0，b≥0）即：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：算術(shù)平方根的積.積的算術(shù)平方根等于積中各因式的利用它可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).從根號(hào)里開出來(lái)?；?jiǎn)二次根式，就是把被開方數(shù)中含有的平方數(shù)（或平方式）,知識(shí)點(diǎn)3變式練習(xí)11、計(jì)算：解：注意：性質(zhì)3可以推廣到多個(gè)二次根式的乘法運(yùn)算中，即（a≥0，b≥0，c≥0）原式=1、計(jì)算：解：注意：被開方數(shù)之積含有系數(shù)的二次根式相乘，將系數(shù)之積作為積的系數(shù)，作為積的被開方數(shù).原式=如：（b≥0，d≥0）解：原式=1、計(jì)算1、計(jì)算解：原式=解：原式=解：原式=2、化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)二次根式的步驟：①先將被開方數(shù)②把積的算術(shù)平方根化為各因式的算術(shù)平方根的積.即應(yīng)用（a≥0，b≥0）=(a≥0)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù)

③

如果因式中有平方數(shù)(或平方式)，應(yīng)用關(guān)系式從而將二次根式化簡(jiǎn).把這個(gè)因數(shù)(或因式)開出來(lái)，歸納總結(jié)2、化簡(jiǎn)：解：原式=解：原式=2、化簡(jiǎn)：由等式的對(duì)稱性，性質(zhì)4也可以寫成（a≥0，b＞0）即：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：除以商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根兩個(gè)二次根式把被開方數(shù)相除，相除，根指數(shù)不變.即性質(zhì)4（二次根式的除法法則)（a≥0，b＞0）除式的算術(shù)平方根利用它可以對(duì)二次根式進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).知識(shí)點(diǎn)3將系數(shù)與系數(shù)對(duì)應(yīng)相除，1、計(jì)算：解：原式=注意：被開方數(shù)與被開方數(shù)對(duì)應(yīng)相除，含有系數(shù)的兩個(gè)二次根式相除，再把所除的結(jié)果相乘.即：（a≥0，）b＞0，n≠01、計(jì)算：解：原式=注意：如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)。2、化簡(jiǎn):解：原式=解：原式=解：原式=2、化簡(jiǎn):解：原式=解：原式=3、計(jì)算:解：原式=3、計(jì)算:解：原式=3、計(jì)算:

這個(gè)過程就叫做1、

去掉分母中的根號(hào)：解：原式=使分母變成有理數(shù)的概念學(xué)習(xí)分母有理化.把分母中的根號(hào)化去,探究分母有理化的概念及方法知識(shí)點(diǎn)51、

去掉下列分母中的根號(hào)：方法技巧解:(2)原式=解:(3)原式=當(dāng)分母是或的形式時(shí)，分子與分母同乘.分母有理化（去掉分母中的根號(hào)）的一般步驟：“一開”“二乘”“三化”

將分子、分母中含有的平方數(shù)，從根號(hào)里面開出去.分子、分母同乘以一個(gè)式子化去分母中的根號(hào).化簡(jiǎn)計(jì)算.探究新知1、

去掉下列分母中的根號(hào)：方法技巧解:(4)原式=

當(dāng)分母是的形式時(shí)，分子與分母同乘,利用平方差公式將分母中的根號(hào)去掉.探究新知1、去掉下列分母中的根號(hào)：方法技巧解:(5)原式=

當(dāng)分母是的形式時(shí)，分子與分母同乘,利用平方差公式將分母中的根號(hào)去掉.(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．①根號(hào)無(wú)分母，分母無(wú)根號(hào)；并且分母中不含二次根式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．

簡(jiǎn)記為：②不能再開方.

在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式，最簡(jiǎn)二次根式的定義：知識(shí)點(diǎn)61、在下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？若不是請(qǐng)說明理由．對(duì)應(yīng)練習(xí)解：只有(2)和（6）是最簡(jiǎn)二次根式；

判斷最簡(jiǎn)二次根式主要看被開方數(shù)中是否含有分母(或小數(shù)),方法技巧另外，要看被開方數(shù)中是否含有可能開得盡方的因數(shù)或因式.2、把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式解:(1)原式=解:(2)原式=2、

把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式解:(3)原式=解:(4)原式=2、

把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式解:(5)原式=

如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類二次根式.幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，同類二次根式知識(shí)點(diǎn)7

如果相同就是同類二次根式，對(duì)應(yīng)練習(xí)1、下列各組二次根式是否為同類二次根式？√×√×判斷二次根式是否為同類二次根式分兩步：①把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②看最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)是否相同，

與根號(hào)外的系數(shù)和符號(hào)無(wú)關(guān).如果不相同就不是同類二次根式，2、如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求m、n的值.對(duì)應(yīng)練習(xí)解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式∴m+n-2=2m-n=2解得m=3n=1∴m、n的值分別為3和1.二次根式的加減法則知識(shí)點(diǎn)8

二次根式相加減，再把同類二次根式進(jìn)行合并.先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，

所得結(jié)果作為系數(shù)，1、計(jì)算：解：原式=+-根號(hào)和被開方數(shù)不變.與合并同類項(xiàng)類似，把同類二次根式的系數(shù)相加減，如何合并同類二次根式?=（3+4-5）（乘法分配律）解：原式=1、計(jì)算：注意：交換律、進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時(shí)，以前學(xué)過的整式的加減運(yùn)算中的仍然適用.結(jié)合律、及去括號(hào)、添括號(hào)法則解：原式=1、計(jì)算：二次根式加減運(yùn)算的一般步驟：①“化”：將每個(gè)二次根式都化成最簡(jiǎn)二次根式；②“找”：找出其中的同類二次根式；③“并”：合并同類二次根式.

所得結(jié)果作為系數(shù)，根號(hào)和被開方數(shù)不變.與合并同類項(xiàng)類似，把同類二次根式的系數(shù)相加減，如何合并同類二次根式?歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)8二次根式混合運(yùn)算的法則：二次根式的運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.先乘方，再乘除，后加減，1、計(jì)算：對(duì)應(yīng)練習(xí)解：原式=1、計(jì)算：解：原式=運(yùn)算法則對(duì)于二次根式的混合運(yùn)算，

原來(lái)學(xué)過的所有運(yùn)算律、及乘法公式仍然適用.注意：變式練習(xí)計(jì)算：解：原式=變式練習(xí)計(jì)算：解：原式=變式練習(xí)計(jì)算：解：原式=拓展提升1、已知，求下列各式的值.拓展提升2、已知，則代數(shù)式的值為

.33、已知和的小數(shù)部分分別為a，b，拓展提升ab-a+4b-3的值.解：∵9<<10，4<<5∴a=b=∴ab