第七節(jié)二重積分

第七節(jié)二重積分第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四1播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四2步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積分割求和極限第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四32、二重積分的定義第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四4積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素即第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四5在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四63、二重積分的性質(zhì)下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積.

性質(zhì)2線性性質(zhì)

這里A為D的面積.

性質(zhì)1第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四7性質(zhì)4性質(zhì)3區(qū)域可加性

推論1推論2第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四8性質(zhì)5估值性質(zhì)證所以于是第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四9性質(zhì)6(二重積分的中值定理)證由性質(zhì)5知,

即得證。第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四10abxyo如果積分區(qū)域為D：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1、在直角坐標(biāo)系下計算二重積分二、二重積分的計算第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四11應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四12積分區(qū)域為：一般地，——先對y積分，后對x積分的二次積分記為abxyo第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四13dxyoc如果積分區(qū)域為：——先對x

積分，后對y積分的二次積分第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四14將化為二次積分,其中

D

由直線圍成。解法1先畫出積分區(qū)域D，將D

向y

軸投影，先x后y,例1xyo第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四15xyo解法2先y后x,

將D

向x

軸投影,第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四16計算其中

D

由直線解

先畫出積分區(qū)域D，先y后x,將D

向x

軸投影，例2圍成。第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四17解例3先求兩曲線的交點先對

y

積分，第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四18解例4第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四19解例5先x后y,兩曲線的交點第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四20解例5兩曲線的交點選擇積分次序的原則：

若選擇先y后x,(1)積分容易；

(2)盡量少分塊或不分塊.

麻煩。第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四21解例6第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四22解積分區(qū)域為將D

向y

軸投影,

改變積分的次序.例7第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四23解設(shè)則例8交換下面積分的次序:第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四24設(shè)將D

向y

軸投影,第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四25例9交換下面積分的次序:第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四26利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y

軸對稱，yxox-x(1)若f(x,y)關(guān)于

x是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D的右半?yún)^(qū)域。第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四27利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，(1)若f(x,y)關(guān)于

y

是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D的上半?yún)^(qū)域。yxo第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四28例10設(shè)有平面區(qū)域解oxy第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四29解oxy選(A).第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四30例11求二重積分解oxy區(qū)域D分別對稱于x軸和y軸，第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四312、在極坐標(biāo)系下計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來計算二重積分：

1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時,D的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單；

2)被積函數(shù)具有等形式時,用極坐標(biāo)積分較為容易.

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四32所以面積元素為第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四33二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分的公式區(qū)域特征如圖第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四34解例12在極坐標(biāo)系下,xyo第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四35例13解區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，用極坐標(biāo)，xyo第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四36xyo第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四37例14解直接做麻煩,化為極坐標(biāo),第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四38例15解所以在極坐標(biāo)系下,圓方程為直線方程為第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四39解計算二重積分例16由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，可只考慮第一象限部分，xyo第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四40解法1例17xyo第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四41所以第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四42xyo解法2例17用直角坐標(biāo)系，先對

x積分，第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四43所以第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四44例18解第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四45練習(xí)：P324習(xí)題七第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四46求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四47求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．第四十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四48求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．第四十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期四49求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的