第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，3，10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指數(shù)函數(shù)的圖象；4.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來研究.3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()(2)分數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)可以理解為eq\f(m,n)個a相乘.()(3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).()(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)錯誤.(2)當(dāng)eq\f(m,n)<1時，不可以，故(2)錯誤.(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯誤.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)錯誤.2.(易錯題)若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.答案2解析∵f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，∴a2－3＝1且a>0，a≠1，∴a＝2.3.(易錯題)函數(shù)y＝2eq\f(1,x－1)的值域是________.答案(0，1)∪(1，＋∞)解析∵eq\f(1,x－1)≠0，∴y＝2eq\f(1,x－1)≠1，而y＝2eq\f(1,x－1)恒大于0，則函數(shù)y＝2eq\f(1,x－1)的值域為(0，1)∪(1，＋∞).4.函數(shù)f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點________.答案(1，3)5.(2021·貴陽一中月考)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))eq\s\up12(0)＋8eq\s\up6(\f(1,4))×eq\r(4,2)－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up6(\f(2,3)))________.答案2解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))×1＋2eq\s\up6(\f(3,4))×2eq\s\up6(\f(1,4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))＝2.6.已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(3,4))，則a，b，c的大小關(guān)系是________.答案c<b<a解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)是R上的減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,4))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)，即a>b>1，又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(0)＝1，∴c<b<a.考點一指數(shù)冪的運算1.計算：8eq\f(2,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))eq\s\up12(0)＋eq\r(4,（3－π）4)＋[(－2)6]eq\f(1,2)＝________.答案π＋8解析原式＝(23)eq\f(2,3)－1＋|3－π|＋(26)eq\f(1,2)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.2.[(0.064eq\s\up6(\f(1,5)))－2.5]eq\s\up6(\f(2,3))－eq\r(3,3\f(3,8))－π0＝________.答案0解析原式＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000)))\s\up6(\f(1,5))))\s\up12(－\f(5,2))))eq\s\up6(\f(2,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,10)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(1,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×\f(2,3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.3.(2021·滄州七校聯(lián)考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r(（4ab－1）3),（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________.答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4\s\up6(\f(3,2))a\s\up6(\f(3,2))b－\f(3,2),10a\s\up6(\f(3,2))b－\f(3,2))＝eq\f(8,5).4.已知f(x)＝3x＋3－x，f(b)＝4，則f(2b)＝________.答案14解析∵f(b)＝3b＋3－b＝4，∴f(2b)＝32b＋3－2b＝(3b＋3－b)2－2＝42－2＝14.感悟提升1.指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)已知實數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，下列等式一定不成立的是()A.a＝b＝0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________.答案(1)C(2)(0，2)解析(1)如圖，觀察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點.∴b的取值范圍是(0，2).感悟提升1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.a>1，b<0 B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0(2)如果函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________.答案(1)D(2)(－∞，－1]解析(1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|3x－1|與y＝－m的圖象，如圖所示.由函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則y＝|3x－1|與y＝－m在第二象限沒有交點，由圖象知－m≥1，即m≤－1.考點三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題角度1比較指數(shù)式的大小例2(1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結(jié)論一定成立的是()A.a＋b≤0 B.a－b≥0C.a－b≤0 D.a＋b≥0答案(1)C(2)D解析(1)∵函數(shù)y＝0.6x是減函數(shù)，0<0.6<1.5，∴1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.∵函數(shù)y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，0.6>0，∴1.50.6>1.50＝1，即c>1.綜上，b<a<c.(2)∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，則f(x)是R上的增函數(shù)，①式即為f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式例3(1)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________.(2)若2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，則函數(shù)y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D.[2，＋∞)答案(1)eq\f(1,2)(2)B解析(1)當(dāng)a<1時，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；當(dāng)a>1時，代入不成立，故a的值為eq\f(1,2).(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，∴2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此時y＝2x的值域為[2－3，21]，即為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，對?x∈R都成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，則關(guān)于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集為________.答案(1)(1，＋∞)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)解析(1)由題意得a>－4x＋2x＋1對x∈R恒成立，令t＝2x，則t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1.∴a>1.(2)由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，則f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2).所以t2－2t>1－2t2，解得t>1或t<－eq\f(1,3).感悟提升1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.訓(xùn)練2(1)(2021·鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x－1,2x)，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c<b<a B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.(3)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在區(qū)間[－3，2]上的值域是________.答案(1)A(2)(－∞，－1](3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))解析(1)因為f(x)＝eq\f(4x－1,2x)＝2x－2－x，定義域為R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又y＝2x在定義域上單調(diào)遞增，y＝2－x在定義域上單調(diào)遞減，所以f(x)＝2x－2－x在定義域上單調(diào)遞增，由20.3>1，0<0.20.3<1，log0.32<0，可得f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，則a>b>c.(2)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是減函數(shù)，且f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，則a>0且eq\f(12a－22,4a)＝2，解之得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].(3)因為x∈[－3，2]，所以若令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8))，故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4).當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(3,4)；當(dāng)t＝8時，ymax＝57.故所求函數(shù)值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).1.若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，則f(－1)＝()A.1 B.2 C.eq\r(3) D.3答案C解析依題意可知a2＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(\r(3),3)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(x)，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(－1)＝eq\r(3).2.(2021·成都診斷)不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))答案C解析y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0，依題意，對a∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0恒成立，則2x－eq\f(1,2)＝0，且2x＋y＝0，∴x＝－1且y＝－eq\f(1,2)，即恒過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).3.(2022·哈爾濱質(zhì)檢)函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()答案D解析當(dāng)a>1時，y＝ax－eq\f(1,a)為增函數(shù)，且在y軸上的截距為0<1－eq\f(1,a)<1，此時四個選項均不對；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)是減函數(shù)，且其圖象可視為是由函數(shù)y＝ax的圖象向下平移eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>1))個單位長度得到，選項D適合.4.(2020·天津卷)設(shè)a＝30.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－0.8)，c＝log0.70.8，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b答案D解析因為a＝30.7＞30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－0.8)＝30.8＞30.7，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以b＞a＞c.5.(2021·衡水中學(xué)檢測)當(dāng)x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(－2，1) B.(－4，3)C.(－3，4) D.(－1，2)答案D解析原不等式變形為m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2，當(dāng)x∈(－∞，－1]時，m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)恒成立等價于m2－m<2，解得－1<m<2.6.(2020·新高考山東卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由題意，累計感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，∴t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8.7.化簡：eq\f(（a\f(2,3)·b－1）－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))(a>0，b>0)＝________.答案eq\f(1,a)解析原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).8.設(shè)偶函數(shù)g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g(a)與g(b－1)的大小關(guān)系是____________.答案g(a)>g(b－1)解析由于g(x)＝a|x＋b|是偶函數(shù)，知b＝0，又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a>1.則g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1).9.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案[－3，0)解析當(dāng)0≤x≤4時，f(x)∈[－8，1]，當(dāng)a≤x<0時，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))，所以eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))[－8，1]，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0.所以實數(shù)a的取值范圍是[－3，0).10.已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋2)為奇函數(shù).(1)求b的值；(2)?t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍.解(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，則b＝1(經(jīng)檢驗，b＝1時f(x)為奇函數(shù)，滿足題意).(2)由(1)知f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).易知f(x)是R上的減函數(shù)，所以t2－2t>－2t2＋k.即對任意的t∈R有3t2－2t－k>0恒成立，從而對應(yīng)方程的根的判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq\f(1,3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).11.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(4x＋m,2x)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)設(shè)g(x)＝2x＋1－a，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，得m＝－1，經(jīng)檢驗當(dāng)m＝－1時，f(x)為奇函數(shù)，∴m＝－1.(2)令eq\f(4x－1,2x)＝2x＋1－a，