第七章 諧振子

第七章諧振子第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Manycomplicatedpotentialcanbeapproximatedinthevicinityoftheirequilibriumpointsbyaharmonicoscillator.TheTaylorexpansionofV(x)atequilibriumpointx=aisHamitonnianfunctionofanoscillatorwithmassmandoscillatingfrequencyω0canbewrittenStationarySchrodingerequation第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Referencingthebookeditedby曾謹(jǐn)言，wesolvetheSchrodingerequation.Introducetheno-dimensionparameters(無量綱參數(shù))Weget(boundarycondition),(1)(2)Wegetanasymptoticsolution(試探解)第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Insert(2)to(1),getThisisHermite(厄米)differentialequationAtthevicinityof=0,u()isexpandedtheTaylorseries.Onlywillsatisfiestheboundarycondition()(4)Thereforethecondition(4)issatisfied,wecangetthesolutionwhichisallowedinphysicsfield.Accordingto(3)第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四EnergyeigenvalueofharmonicoscillatorEnergylevelisdiscrete.Theenergygapisidentical.Theenergylevelofgroundstate(zeropointenergy)isnotzero.第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Thesolutionofequation(3)isHermitepolynomials(厄米多項(xiàng)式).TheeigenfuctionandenergyofharmonicoscillatorareNormalizedconstant第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四SomemostsimpleHermitepolynomialsH0=1,H1=2,H2=422,H3=8312,……ThebasicpropertiesofHermitepolynomials(Thedefinition)Twoimportantandusefulrelations第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四n=0:n=1:n=2:Thefirstthreeeigenfunctionsofharmonicoscillator第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四ThesymmetrypropertyWhenniseven,positiveparity(n為偶數(shù)，偶宇稱)Whennisodd,negativeparityIngeneral第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Groundstate

Theenergyandwavefunctionofgroundstate(n=0)Theprobabilityfindingaparticleatx=0ismaximum,whichiscontrarytoclassicalparticle.Foraclassicalharmonicoscillator,whenx=0,itspotentialisminimumandkineticenergyismaximum,hencetheintervalwhichitdelaysatx=0isshortest.第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Inclassicalmechanics,aparticlewithgroundstateenergyE0motionsintherangeAccordingtoquantummechanics,theprobabilityfindingaparticleoutsidetheclassicalallowedrangeisn＝15xW(x)wclwqu第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四ZeropointenergyisadirectconsequenceoftheuncertaintyrelationSincetheintegrand（被積函數(shù)）isanoddfunction,第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四WecanwriteuncertaintyrelationagainThemeanenergyTheminimumenergyiszeropointenergy,whichiscompatiblewithuncertaintyprinciple.第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四ThenormalizationeigenfunctionofharmonicoscillatorAccordingtotheserelations,wegetThedescriptionoftheHarmonicOscillatorbyCreationandAnnihilationoperators（產(chǎn)生算符和湮滅算符）第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Hence(1)(2)第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Byadditionorsubtractionof(1)and(2),wegetWedefinetheoperatorsHenceaiscalledtheloweringoperator(降冪算符),a+theraisingoperator(升冪算符).第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Thenumberoperator(數(shù)算符)第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Bysuccessivelyoperatora+on,wecancalculatealltheeigenfunctions,staringfromthegroundstate.Forn=0TheeigenfunctionofgroundstateThenormalizedeigenfunction第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四One-dimensionHamiltonianharmonicoscillatorWeintroduceHence3.RepresentationoftheOscillatorHamiltonianinTermsofaanda+第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Accordingtothedefinitionsofaanda+,getWeobtainasimpleHamiltonianrepresentationEigenvalue第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四基態(tài)ψ0所具有的零點(diǎn)能量為?ω/2,而且我們知道諧振子的能量是等間隔的,ψn所具有的能量大于n?ω,我們將該能量以能量量子?ω分成n份(諧振子場中的量子),稱為聲子(phonons),那么將ψn稱為n聲子態(tài)(n-phononstate),在Dirac’s表象中表示為表示聲子數(shù)，零聲子態(tài)(zero-phononstate)。稱為真空。應(yīng)用上面的表述,算符a和a+作用于波函數(shù)可表示成解釋:如果a

作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個聲子,a+產(chǎn)生算符.4.Interpretationofaanda+第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四由于稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),n為相應(yīng)態(tài)的子數(shù).聲子表象的引入被稱為二次量子化,而諧振子波場中的量子正是聲子.如果與光子相類比的話,就更清楚了.a|3>annihilationofaphonona

+2|1>creationoftwopohonons諧振子的能級和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖En/?ω7/25/23/21/2x第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Example1UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,prove第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Solution:

n(x)istheeigenfunctionofharmonicoscillator,andcanbewritten第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四HamitonnianofthecouplingharmonicoscillatorcanbewrittenExample2wherex1,p1andx2,p2belongtodifferentfreedomdegree,andsetProblem:theenergylevelofthiscouplingharmonicoscillator.第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Solution:ifthecouplingtermx1x2isnotexists,thecouplingharmonicoscillatorbecomestwo-dimensionoscillator,andthenitsHamitanianisgivenbyUsingseparatingvariable,wecantransformtheabovequestionintothequestionoftwoindependentone-dimensionharmonicoscillator,thenitsenergylevelandeigenfunctionarewhereisenergyeigenfunctionofone-dimensionoscillator第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四Forthecouplingharmonicoscillator,wecansimplifyittwoindependentharmonicoscillatorusingcoordinatetransformation,sowesetWecaneasilyprovethefollowingexpressions第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四ThereforeHamitanianbecomes

WhereHence第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四1.UsingtherecursionofHermitepolynomialsProvethefollowingexpressions,Andaccordingtothese,proveExercisewhere第二十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四2.Aparticleisinthegroundstateofone-dimensionharmonic