黑龍江省哈爾濱市第八十一中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市第八十一中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果集合中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）為減函數(shù)，若f（2）=0，則不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集為（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣3，0）∪（1，3） D．（﹣1，1）∪（1，3）參考答案：D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性做出函數(shù)圖象，然后按x﹣1得符號(hào)進(jìn)行分類討論．【解答】解：由做出函數(shù)的大致圖象如圖：（1）當(dāng)x﹣1＞0時(shí)，即x＞1時(shí)，f（x﹣1）＞0，∴0＜x﹣1＜2或x﹣1＜﹣2，解得1＜x＜3．（2）當(dāng)x﹣1＜0時(shí)，即x＜1時(shí)，f（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x﹣1＜0或x﹣1＞2，解得﹣1＜x＜1．綜上所述：x的取值范圍是（﹣1，1）∪（1，3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，是基礎(chǔ)題．3.函數(shù)y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】函數(shù)y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），由于點(diǎn)A在直線mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：函數(shù)y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），∵點(diǎn)A在直線mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．則=（m+n）=2+=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)取等號(hào)．故選：B．4.，，，的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是

（

）Ａ．和

Ｂ．和

Ｃ．和

Ｄ．和參考答案：C5.如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)幾何體的三視圖，甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)正確的是(

）①長(zhǎng)方體

②圓錐

③三棱錐

④圓柱A．④③②

B．①③②

C．①②③

D．④②③參考答案：A6.角α終邊上有一點(diǎn)（﹣a，2a）（a＜0），則sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα的值．【解答】解：根據(jù)角α終邊上有一點(diǎn)（﹣a，2a）（a＜0），可得x=﹣a，y=2a，r=﹣a，故sinα===﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．7.若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形參考答案：B【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】對(duì)（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化簡(jiǎn)整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，進(jìn)而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，則=2cosC，即=2?，化簡(jiǎn)可得b=c，結(jié)合A=60°，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，則=2cosC，即=2?，化簡(jiǎn)可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等邊三角形．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式．8.若圓x2+y2﹣2x﹣2y=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[15°，45°] B．[15°，75°] C．[30°，60°] D．[0°，90°]參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r的值，由圓A上有且僅有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為，則圓心A到直線l的距離等于r﹣，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的取值范圍，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出直線l的傾斜角．【解答】解：由圓x2+y2﹣2x﹣2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，則圓心為（1，1），半徑為，圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)不大于等于，∴≤，整理得：k2﹣4k+1≤0，解得：2﹣≤k≤2+，由tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣，tan75°=tan（45°+30°）==2+，k=tnaα，則直線l的傾斜角的取值范圍[15°，75°]，故選B．9.已知函數(shù)對(duì)于滿足的任意，，給出下列結(jié)論：①；

②；③．

④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A．

①③

B．②④

C．②③

D．①④參考答案：C10.若，，，，則等于（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點(diǎn)：①利用同角三角平方關(guān)系求值時(shí)，要求對(duì)象角的范圍，確定所求值的正負(fù)；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是

.參考答案：12.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則________參考答案：3略13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值是

．參考答案：27

14.已知a>0，f(x)=，則f()+f()+…+f()=_________。參考答案：15.如下圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f()的值等于________．參考答案：略16.已知，且，那么

▲

.參考答案：-18

略17.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開______.參考答案：，得的定義域?yàn)?三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇logaa（n﹣1），logaa（m﹣1）]，且f（x）在[m，n]上為減函數(shù)．（常數(shù)a＞0，且a≠1）（1）求證m＞2.（2）求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】（1）由已知中f（x）在[m，n]上為減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)式中底數(shù)及真數(shù)的限制條件，可得m＞2，（2）關(guān)于x的方程loga=logaa（x﹣1）在（2，+∞）內(nèi)有二不等實(shí)根m、n，令Φ（x）=ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a），我們易得Φ（2）?Φ（4）＜0，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得到答案即可．【解答】解：（1）按題意，得loga=f（x）max=logaa（m﹣1）．∴，即m＞2．（2）由題意，loga=fmin（x）=logaa（n﹣1）∴關(guān)于x的方程loga=logaa（x﹣1），在（2，+∞）內(nèi)有二不等實(shí)根x=m、n，?關(guān)于x的二次方程ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0在（2，+∞）內(nèi)有二異根m、n，??0＜a＜．故0＜a＜．19.已知等比數(shù)列{an}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分別是某個(gè)等差數(shù)列的第7項(xiàng)，第3項(xiàng)，第1項(xiàng)．（1）求an；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公比的方程，求得q，進(jìn)而得到an；（2）求得bn=log227﹣n=7﹣n，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得Sn，討論當(dāng)1≤n≤7時(shí)，前n項(xiàng)和Tn=Sn；當(dāng)n≥8時(shí)，an＜0，則前n項(xiàng)和Tn=﹣（Sn﹣S7）+S7=2S7﹣Sn，計(jì)算即可得到所求和．【解答】解：（1）等比數(shù)列{an}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分別是某個(gè)等差數(shù)列的第7項(xiàng)，第3項(xiàng)，第1項(xiàng)，可得a2﹣a3=4d，a3﹣a4=2d，（d為某個(gè)等差數(shù)列的公差），即有a2﹣a3=2（a3﹣a4），即a2﹣3a3+2a4=0，即為a1q﹣3a1q2+2a1q3=0，即有1﹣3q+2q2=0，解得q=（1舍去），則an=a1qn﹣1=64?（）n﹣1=27﹣n；（2）bn=log2an=log227﹣n=7﹣n，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Sn=（6+7﹣n）n=n（13﹣n），當(dāng)1≤n≤7時(shí)，前n項(xiàng)和Tn=Sn=n（13﹣n）；當(dāng)n≥8時(shí)，an＜0，則前n項(xiàng)和Tn=﹣（Sn﹣S7）+S7=2S7﹣Sn=2××7×6﹣n（13﹣n）=（n2﹣13n+84），則前n項(xiàng)和Tn=．20.本小題滿分8分）已知為第二象限角，且，求的值.

參考答案：解：當(dāng)為第二象限角，且時(shí)，，所以.

略21.如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1.(1)求證：BC1⊥AB1；(2)求證：BC1∥平面CA1D.參考答案：如圖，以C1點(diǎn)為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,