高中數(shù)學第二章推理與證明2.3.1數(shù)學歸納法講義新人教B版選修

第二章2.3數(shù)學歸納法（第1課時）課題引入不完全歸納法對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結論的推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法由特殊

一般

特點:思考：由歸納法得到的結論一定可靠嗎？

舉例說明：一個數(shù)列的通項公式是：an=(n2－5n+5)2請算出a1=，a2=，a3=，a4=猜測an＝?由于a5＝25≠1，所以猜測是不正確的所以由歸納法得到的結論不一定可靠

1111猜測是否正確呢？思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產(chǎn)生連鎖反應，依次倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。多米諾是種文化。它起源于中國，有著上千年的歷史。

只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。（依據(jù)）

條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。（1）第一塊骨牌倒下；（基礎）

只要保證(1)(2)同時成立，所有的骨牌一定可以全部倒下。二、數(shù)學歸納法的概念：（課本93頁）證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設當n=k(kN*

，kn0)時命題成立,

證明當n=k+1時命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學歸納法。驗證n=n0時命題成立若當n=k(kn0)時命題成立,

證明當n=k+1時命題也成立命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。所以n=k+1時結論也成立那么求證時時（課本94頁）例1:用數(shù)學歸納法證明注意

1.用數(shù)學歸納法進行證明時,要分兩個步驟,兩個步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推的基礎.找準n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)n＝k時命題成立．作為必用的條件運用，而n＝k+1時情況則有待利用假設及已知的定義、公式、定理等加以證明課本96頁1.（2）

用數(shù)學歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N

）.證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

②假設n=k(k∈N,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當n=k+1時：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以當n=k+1時等式也成立。

由①和②可知，對n∈N

，原等式都成立。課本96頁1.（2）用數(shù)學歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N

）.請問：第②步中“當n=k+1時”的證明可否改換為：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?為什么？變式：求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…

?(2n-1)證明：①n=1時：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設當n=k((k∈N

）時有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當n=k+1時：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2