新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題選擇性必修一24圓的方程

第二章直線和圓的方程2.4圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．分析：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系，只要判斷一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程，就可以得到這個(gè)點(diǎn)是否在圖上．解：圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上（圖）．圖例2的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．顯然已知的三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上．只要確定了a，b，r，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了．解：設(shè)所求的方程是．①因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①．于是即觀察上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，三式兩兩相減，可以消去，，，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組解此方程組，得代入，得．所以，的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．例3已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為．由已知條件可知，，且．由此可求出圓心坐標(biāo)和半徑．另外，因?yàn)榫€段是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識(shí)，的中點(diǎn)與圓心C的連線垂直于，由此可得到另一種解法．解法1：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為．因?yàn)閳A心C在直線上，所以．①因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②由①②可得，．所以圓心C的坐標(biāo)是．圓的半徑．所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．解法2：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為D．由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，直線的斜率為．因此，線段垂直平分線的方程是，即．由垂徑定理可知，圓心C也在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解．解這個(gè)方程組，得所以圓心C的坐標(biāo)是．圓的半徑．所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．圖24-3練習(xí)1.寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）圓心為，半徑是；（2）圓心為，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】（1）（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）（x+8）2+（y﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心和半徑，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）先求出圓的半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：（1）∵圓心在C（﹣3，4），半徑長是，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）∵圓心在C（﹣8，3），且經(jīng)過點(diǎn)M（﹣5，﹣1），故半徑為MC5，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+8）2+（y﹣3）2＝25．2.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，借助計(jì)算工具計(jì)算，判斷下列各點(diǎn)在圓上、圓外，還是在圓內(nèi)．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）在圓內(nèi)；（2）在圓外；（3）在圓上.【解析】【分析】分別將三個(gè)點(diǎn)代入方程，和等號(hào)右邊比較即可判斷.【詳解】（1），在圓內(nèi)；（2），在圓外；（3），在圓上.3.已知，兩點(diǎn)，求以為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)，，與圓的位置關(guān)系．【答案】點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)【解析】【分析】先求出圓心和半徑，得到圓方程，再計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離，與半徑作比較得到答案.【詳解】由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得圓心．直徑．故所求圓的方程為．，點(diǎn)M在圓上；，點(diǎn)N在圓外；，點(diǎn)Q在圓內(nèi)．綜上：點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)，，，求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【解析】【分析】由題意可確定圓的直徑為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式求出半徑即可.【詳解】由題意知，為圓的直徑，設(shè)圓心為，則中點(diǎn)即為，所以半徑為，故外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.圓的一般方程例4求過三點(diǎn)，，的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．分析：將點(diǎn)O，，的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個(gè)三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程．解：設(shè)圓的方程是．①因?yàn)镺，，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解．把它們的坐標(biāo)依次代入方程①，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組，得所以，所求圓的方程是．由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．例5已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．分析：如圖，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程．建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)A的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點(diǎn)M的軌跡方程．圖解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是，且M是線段的中點(diǎn)，所以，．于是有，．①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②，得，整理，得這就是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓．練習(xí)5.求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑.（1）；（2）；（3）．【答案】(1)圓心為，半徑為；(2)圓心為，半徑為;(3)圓心為，半徑為.【解析】【分析】結(jié)合配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再求出圓心和半徑即可.【詳解】(1)方程，所以圓心為，半徑為；(2方程，所以圓心為，半徑為；(3)方程，所以圓心為，半徑為；6.判斷下列方程分別表示什么圖形，并說明理由.（1）；（2）；（3）．【答案】答案見解析【解析】【分析】（1）由方程可得；（2）化簡可得可判斷；（3）化簡可得，分和或時(shí)討論可得.【詳解】（1），，故表示點(diǎn)；（2）可化為，所以方程表示以為圓心，為半徑的圓；（3）可化為，當(dāng)時(shí)，方程表示點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓.7.如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．【答案】圓心坐標(biāo)為,半徑長為.【解析】【分析】設(shè)所求圓的方程為,將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.【詳解】由題意可知A(-3,0),B(3,0),C設(shè)所求圓的方程為,則.解得，故所求圓的方程為,其圓心坐標(biāo)為,半徑長為.習(xí)題復(fù)習(xí)鞏固8.求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并畫出它們的圖形.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1)圓心，半徑，圖見解析；(2)圓心，半徑，圖見解析；(3)圓心，半徑，圖見解析；(4)圓心，半徑，圖見解析；【解析】【分析】結(jié)合配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再求出圓心和半徑，進(jìn)而畫出圖形即可.【詳解】(1)方程，所以圓心為，半徑為，如圖；(2方程，所以圓心為，半徑為，如圖；(3)方程，所以圓心為，半徑為；不妨設(shè)，如圖；(4)方程，所以圓心為，半徑為；不妨設(shè)，如圖；9.求下列各圓的方程，并面出圖形.（1）圓心為點(diǎn)，且過點(diǎn)；（2）過，，三點(diǎn)．【答案】（1）（圖見解析）（2）（圖見解析）【解析】【分析】（1）求出半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出即可.（2）設(shè)出圓的一般方程，將三點(diǎn)代入解出即可.【詳解】（1）由題意知半徑,所以圓的方程為：.（2）設(shè)圓的一般方程為：.將，，代入得：所以圓的方程為：.10.已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在直線上，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到不等式組，解之即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此.11.圓C的圓心在x軸上，并且過和兩點(diǎn)，求圓C的方程．【答案】【解析】【分析】由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)和半徑表示圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合待定系數(shù)法即可.【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，有，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：綜合運(yùn)用12.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．【答案】證明見解析【解析】【分析】由題意求得圓心和半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡即可．【詳解】∵圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），∴圓心為C（，），半徑為，∴此圓的方程是+，即x2–（x1+x2）x++y2–（y1+y2）y+，即x2–（x1+x2）x+x1?x2+y2–（y1+y2）y+y1?y2=0，即（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，屬于基礎(chǔ)題．13.平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點(diǎn)，這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？為什么？【答案】四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（證明見解析）【解析】【分析】以三點(diǎn)，求出圓的方程，再將點(diǎn)代入即可得出答案.【詳解】設(shè)過三點(diǎn)的圓的一般方程為.將三點(diǎn)代入得：.所以圓的一般方程為.將點(diǎn)代入得：，滿足方程.所以四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.14.已知等腰三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，求底邊的另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它是什么圖形．【答案】（去掉（3,5），（5,-1）兩點(diǎn)）；表示是以為圓心，以半徑，且去掉（3,5），（5,-1）兩點(diǎn)的圓【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形和已知頂點(diǎn)A(4,2)，一個(gè)端點(diǎn)B(3,5)，利用腰相等且能構(gòu)成三角形即可求端點(diǎn)C的軌跡方程；【詳解】由題意知：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)，腰長為，∴C的軌跡方程：，又由A、B、C構(gòu)成三角形，即三點(diǎn)不可共線，∴需要去掉重合點(diǎn)（3,5），反向共線點(diǎn)（5,-1），即表示是以為圓心，以半徑，且去掉（3,5），（5,-1）兩點(diǎn)的圓.15.長為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．【答案】軌跡方程為：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓.【解析】【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)A、B均不與原點(diǎn)重合時(shí)，由直角三角形虛部的中線等于斜邊的一半可得AB中點(diǎn)軌跡，驗(yàn)證A、B有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)成立得答案．【詳解】解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)P（x，y），若A、B不與原點(diǎn)重合時(shí)，則△AOB是直角三角形，且∠O為直角，則OPAB，而AB＝2a，∴OP＝a，即P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓，方程為x2+y2＝a2（a＞0）；若A、B有一個(gè)是原點(diǎn)，同樣滿足x2+y2＝a2（a＞0）．故線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓.拓廣探索16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M