上海市浦東實驗2024屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市浦東實驗2024屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.2．幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.1103．下列說法中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題是真命題；B.若為真命題，則為真命題；C.“”是“”的充分條件；D.若命題：“，”，則：“，”4．若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.215．已知等差數(shù)列前項和為，且，，則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項6．設(shè)滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.167．已知為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B.C. D.8．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.9．如圖，若斜邊長為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.2 B.C. D.810．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.11．如圖，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點為圓上的一個動點，則點到直線距離的最大值為________14．若數(shù)列滿足，，則__________15．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________16．“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項的和18．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當(dāng)時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍20．（12分）證明：是無理數(shù)．（我們知道任意一個有理數(shù)都可以寫成形如（m，n互質(zhì)，）的形式）21．（12分）某快餐配送平臺針對外賣員送餐準(zhǔn)點情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評定為四個等級，各等級依次獎勵3元、獎勵0元、罰款3元、罰款6元.假定評定為等級的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為3元的概率.22．（10分）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，設(shè)，，（1）用，，表示，并求；（2）求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【題目詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.2、A【解題分析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.Ⅱ卷3、C【解題分析】A.寫出原命題的否命題，即可判斷其正誤；B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況，由此判斷的真假；C.看命題“”能否推出“”，即可判斷；D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.【題目詳解】A.命題“若x=y，則sinx=siny”，其否命題為若“，則”為假命題，因此A不正確；B.命題“”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，當(dāng)二者為一真一假時，為假命題，故B不正確C.命題“若，則”為真命題，故C正確；D.命題：“，”，為特稱命題，其命題的否定：“，”，故D錯誤，故選：C4、B【解題分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.5、C【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項為正，第7項及后面的項為負(fù)，又，則，則在數(shù)列中絕對值最小的項為，選C.6、C【解題分析】可行域如圖,則直線過點A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.7、C【解題分析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點和定點連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【題目詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時，有，可得，，的最小值為：，故選：8、C【解題分析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，進而根據(jù)題意得所求直線過點，，進而得直線方程.【題目詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點為設(shè)直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C9、C【解題分析】由斜二測還原圖形計算即可求得結(jié)果.【題目詳解】在斜二測直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.還原原圖形如圖：則，則.故選：C10、B【解題分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值，進而可求得的值.【題目詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，則.故選：B.11、A【解題分析】分別由矩形面積公式與微積分幾何意義計算陰影部分和矩形部分的面積，最后由幾何概型概率計算公式計算即可.【題目詳解】由已知，矩形的面積為4，陰影部分的面積為，由幾何概型公式可得此點取自陰影部分的概率等于，故選：A12、A【解題分析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項，推導(dǎo)出數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【題目詳解】解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解題分析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計算作答.【題目詳解】圓的圓心，半徑，點C到直線的距離，所以圓C上點P到直線l距離的最大值為.故答案為：714、7【解題分析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【題目詳解】依題意，由，可知，故答案為：715、【解題分析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別表示出點的坐標(biāo)，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【題目詳解】以AB的中點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.16、（1）平均時長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解題分析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個數(shù)，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的時長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可計算得出，利用并項求和法可求得數(shù)列的前項的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得：，，對任意的，，因此，.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關(guān)系求解即可.【題目詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當(dāng)時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【題目點撥】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.19、（1）（2）【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉(zhuǎn)化為：存在，使得不等式成立，構(gòu)造新函數(shù)，對m進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求，解不等式，即可求出m的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，,定義域為R，.所以，.所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：，即.【小問2詳解】不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構(gòu)造函數(shù)，則.①當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，解得：，故；②當(dāng)時，令，解得：令，解得：故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不符合題意，應(yīng)舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.20、詳見解析【解題分析】利用反證法，即可推得矛盾.【題目詳解】假設(shè)有理數(shù)，則，則，為整數(shù)，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數(shù)是0,2,8，由得，尾數(shù)為0，則的尾數(shù)是0，而的尾數(shù)為0或5，這與為最簡分?jǐn)?shù)，的最大公約數(shù)是1，相矛盾，所以假設(shè)不正確，是無理數(shù).21、（1）（2）【解題分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎勵為