2021年廣東省東莞市市常平中學高一數學文期末試題含解析

2021年廣東省東莞市市常平中學高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知冪函數f（x）=xα的圖象過點，則函數g（x）=（x﹣2）f（x）在區(qū)間上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4參考答案：C【考點】冪函數的概念、解析式、定義域、值域．【分析】求出冪函數f（x）的解析式，從而求出g（x）的解析式，根據函數的單調性求出g（x）在閉區(qū)間上的最小值即可．【解答】解：∵冪函數f（x）=xα的圖象過點，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]遞增，故g（x）min=g（）=﹣3，故選：C．【點評】本題考查了冪函數的定義，考查函數的單調性、最值問題，是一道基礎題．2.已知函數，那么f[f（）]的值為（）A．9 B． C．﹣9 D．﹣參考答案：B【考點】函數的值．【分析】首先判斷自變量是屬于哪個區(qū)間，再代入相應的解析式，進而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故選B．【點評】正確理解分段函數在定義域的不同區(qū)間的解析式不同是解題的關鍵．3.設集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，則韋恩圖中陰影部分表示的集合(

)A．{2} B．{3，5} C．{1，4，6} D．{3，5，7，8}參考答案：B【考點】Venn圖表達集合的關系及運算．【分析】根據題意，分析可得，陰影部分的元素為屬于B但不屬于A的元素，根據已知的A、B，分析可得答案．【解答】解：根據題意，分析可得，陰影部分的元素為屬于B但不屬于A的元素，即陰影部分表示（CUA）∩B，又有A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，則（CUA）∩B={3，5}，故選B．【點評】本題考查集合的圖示表示法，一般采取數形結合的標數法或集合關系分析法．4.若函數f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函數，又是減函數，則g（x）=loga（x+k）的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】奇偶性與單調性的綜合；對數函數的圖象與性質．【專題】數形結合．【分析】根據函數是一個奇函數，函數在原點出有定義，得到函數的圖象一定過原點，求出k的值，根據函數是一個減函數，看出底數的范圍，得到結果．【解答】解：∵函數f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函數，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=ax﹣a﹣x為減函數，所以1＞a＞0，所以g（x）=loga（x+2）定義域為x＞﹣2，且遞減，故選：A【點評】本題考查函數奇偶性和單調性，即對數函數的性質，本題解題的關鍵是看出題目中所出現的兩個函數性質的應用．5.某產品的廣告費用（萬元）與銷售額（萬元）的統計數據如下表：x2345y26394954

已知數據對應的回歸直線方程中的為9.4，據此模型預計廣告費用為6萬元時的銷售額為（

）A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元參考答案：B【分析】根據表格中給的數據，廣告費用x與銷售額y的平均數，得到樣本中心點，代入樣本中心點求出a的值，寫出線性回歸方程，將x=6代入回歸直線方程，得到y，可以預測廣告費用為6時的銷售額.【詳解】由表格中的數據得：又回歸方程：中的為9.4，故，，將x=6代入回歸直線方程，得（萬元）故選：B【點睛】本題考查了線性回歸方程得求解及應用，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于基礎題.6.在△ABC中的內角A、B、C所對的邊a、b、c根據下列條件解三角形，其中有兩個解的是（

）．A.b=10，A=45°，C=70° B.a=60，c=48，B=60°C.a=7，b=5，A=80° D.a=14，b=16，A=45°參考答案：D【分析】對每一個選項逐一分析得解.【詳解】對于選項A,B=65°,所以所以a只有一解，所以三角形只有一解；對于選項B,由余弦定理得，b只有一解，所以三角形只有一解；對于選項C,由正弦定理得，因為b＜a,所以B只有一解，所以三角形只有一解；對于選項D,由正弦定理得．因為，所以,所以三角形有兩個解．故選:D．7.如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任一點在斜坐標系中的斜坐標是這樣定義的：若=xe1+ye2（其中e1、e2分別為與x軸、y軸方向相同的單位向量），則P點的斜坐標為（x，y）.若P點的斜坐標為（3，－4），則點P到原點O的距離|PO|=(---)A.

B.3

C.

5

D.

參考答案：A略8.已知f（x）=，則f（f（x））≤3的解集為（）A．（﹣∞，﹣3] B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，] D．[，+∞）參考答案：C【考點】7E：其他不等式的解法；5B：分段函數的應用．【分析】由已知條件根據分段函數的表達式進行求解即可求出f（f（x））≤3的解集．【解答】解：設t=f（x），則不等式f（f（x））≤3等價為f（t）≤3，作出f（x）=的圖象，如右圖，由圖象知t≥﹣3時，f（t）≤3，即f（x）≥﹣3時，f（f（x））≤3．若x≥0，由f（x）=﹣x2≥﹣3得x2≤3，解得0≤x≤，若x＜0，由f（x）=2x+x2≥﹣3，得x2+2x+3≥0，解得x＜0，綜上x≤，即不等式的解集為（﹣∞，]，故選：C．9.函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，﹣參考答案：B【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】根據圖象的兩個點A、B的橫坐標，得到四分之三個周期的值，得到周期的值，做出ω的值，把圖象所過的一個點的坐標代入方程做出初相，寫出解析式，代入數值得到結果．【解答】解：由圖象可得：=﹣（﹣）=，∴T==π，∴ω=2，又由函數f（x）的圖象經過（，2），∴2=2sin（2×+φ），∴+φ=2kπ+，（k∈Z），即φ=2kπ﹣，k∈Z，又由﹣＜φ＜，則φ=﹣．故選：B．【點評】本題考查有部分圖象確定函數的解析式，本題解題的關鍵是確定初相的值，這里利用代入點的坐標求出初相，屬于基礎題．10.集合的子集有

（

）A．2個

B．3個

C．4個

D．5個參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，三個內角的對邊分別為,且,則=____.參考答案：12.如圖是正方體的平面展開圖，那么在這個正方體中，異面直線與所成的角的大小是

．參考答案：

13.函數在上的最大值比最小值大，則的值為

。參考答案：略14.函數f（x）=x2﹣x﹣2的零點是

．參考答案：2或﹣1【考點】函數零點的判定定理．【分析】由零點的定義，令f（x）=0，由二次方程的解法，運用因式分解解方程即可得到所求函數的零點．【解答】解：令f（x）=0，即x2﹣x﹣2=0，即有（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1．即函數f（x）的零點為2或﹣1．故答案為：2或﹣1．15.1海里約合1852m，根據這一關系，米數y關于海里數x的函數解析式為

參考答案：y=1852x(x>0)16.映射：，在的作用下，A中元素與B中元素對應，則與B中元素對應的A中元素是_______.參考答案：(1,2)17.函數y=的定義域為A，值域為B，則A∩B=．參考答案：[0，2]【考點】函數的值域；交集及其運算；函數的定義域及其求法．【分析】分別求出函數的定義域，和值域，然后利用集合的基本運算求解即可．【解答】解：要使函數有意義，則﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函數的定義域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函數的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案為：[0，2]．【點評】本題主要考查函數的定義域和值域的求法，以及集合的基本運算，利用二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設，是兩個相互垂直的單位向量，且，.（1）若，求的值；

（2）若，求的值.參考答案：解法一：（1）由，且，故存在唯一的實數，使得，即

（2），，即，，

解法二：∵，是兩個相互垂直的單位向量，

∴、，

⑴∵，∴，解得；

⑵，，即，解得。略19.函數f（x）=k?a﹣x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）（1）求函數f（x）的解析式；（2）若函數是奇函數，求b的值；（3）在（2）的條件下判斷函數g（x）的單調性，并用定義證明你的結論．參考答案：【考點】函數單調性的判斷與證明；函數解析式的求解及常用方法；函數奇偶性的判斷．【專題】綜合題；待定系數法．【分析】（1）根據A（0，1），B（3，8）在函數圖象，把點的坐標代入解析式列出方程組，求出k、a的值；（2）由（1）求出g（x）的解析式和定義域，再根據奇函數的定義g（x）=﹣g（﹣x）列出關于b的等式，由函數的定義域求出b的值；（3）利用分離常數法化簡函數解析式，先判斷出在定義域上的單調性，再利用取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結論，證明函數的單調性．【解答】解：（1）∵函數的圖象過點A（0，1），B（3，8）∴，解得，∴f（x）=2x（2）由（1）得，，則2x﹣1≠0，解得x≠0，∴函數g（x）定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）∵函數g（x）是奇函數∴，∴，即，∴1+b?2x=2x+b，即（b﹣1）?（2x﹣1）=0對于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，，且x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）當x＞0時，g（x）為單調遞減的函數；當x＜0時，g（x）也為單調遞減的函數，證明如下：設0＜x1＜x2，則∵0＜x1＜x2，∴，∴g（x1）＞g（x2），即g（x）為單調遞減的函數同理可證，當x＜0時，g（x）也為單調遞減的函數．【點評】本題是函數性質的綜合題，考查了用待定系數法求函數解析式，利用奇函數的定義求值，用定義法證明函數的單調性；注意函數的定義域優(yōu)先，并且函數的單調區(qū)間不能并在一起，這是易錯的地方．20.(1)(2)參考答案：（1）

(2)

21.已知圓C1的方程為x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0．（1）求當圓的面積最大時圓C1的標準方程；（2）求（1）中求得的圓C1關于直線l：x﹣y+1=0對稱的圓C2的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系；圓的標準方程．【分析】（1）根據圓的面積最大時半徑最大，寫出圓C1半徑r的解析式，求出半徑最大值以及對應的圓C1的方程，再化為標準方程；（2）求出圓C1的圓心坐標關于直線l的對稱點，即可寫出對稱圓圓C2的方程．【解答】解：（1）圓C1的面積最大，即圓的半徑最大，則圓C1的半徑為，即，因此當m=1時圓C1的半徑最大，最大值為2，…此