高中數(shù)學-3.11兩角和與差的余弦教學設計學情分析教材分析課后反思

PAGE4Anidleyouth,aneedyage.少壯不努力，老大徒傷悲PAGE高中數(shù)學必修4第三章三角恒等變換【課題】第1節(jié)兩角和與差的余弦【教學目標】 通過安排特殊角15。的余弦值的推導自學，讓學生了解任意兩角和與差的余弦公式的推導過程.掌握兩角和與差的余弦公式，并會運用公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.掌握公式的正用、逆用和變形應用，體會角與角，角與三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)換思想.【學習重難點】重點：應用兩角和與差的余弦公式的求值與證明.難點：兩角和與差的余弦公式的推導過程.【預習自學】思考1：為什么？如何求出的值？一種方法是通過預習運用兩角差的余弦公式求出的值與進行對比，另一種方法是通關(guān)過特殊角的三角函數(shù)值得出與大于0矛盾，提倡第二種方法.通過此例引導學生說出預習得到的兩角和與差的余弦公式，并舉例說明該公式可以求一些特殊角的余弦值（）.例1：練習1：求下列各式的值.（2）練習1涉及弧度制與誘導公式，讓學生初步感受角的代換思想.【新知探究】yxoαβ探究1：以坐標原點為中心作單位圓，以Ox為始邊作角yxoαβ則，所以=.通過特殊角15。的余弦值的推導過程，讓學生認識向量和單位圓在公式推導中的作用.思考2：若為任意角，應當如何求的值？由特殊到一般，學生合作討論嘗試寫出任意角和與差的余弦的推導過程，注意的關(guān)系.兩角差的余弦公式（）：思考3：利用的值.能從兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。兩角和的余弦公式（）：探究2：1、利用與證明下列誘導公式.（1）（2）（3）；（4）一方面熟悉公式，另一方面認識到誘導公式與和角公式的聯(lián)系.2、利用與，展開下列式子.（1）（2）認識到.例2：認識到要求兩角和與差的余弦，需要這兩個角的正弦值和余弦值，加深對公式的理解.練習1：練習2：通過練習，進一步熟悉公式，熟練應用公式完成通過已知角三角函數(shù)值求角的余弦值的運算，注意角的范圍.探究3：1、求值：（1）（2）2、化簡：【新知拓展】例3：練習1;練習2：通過練習，進一步體會三角恒等變換的基本思想方法和化歸的思想.【總結(jié)提升】1、本節(jié)課需要掌握的知識點=，=，注意符號。2、本節(jié)課涉及的思想方法（1）給角求值，給值求值.（2）保角変換如：（3）通過向量方法推導兩角差的余弦公式.本節(jié)內(nèi)容涉及多個已經(jīng)學習的知識點，有單位圓和任意角、平面向量的數(shù)量積和坐標運算、誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，主要的思想方法有數(shù)形結(jié)合、代入和替換、轉(zhuǎn)化等。新接觸的知識是兩角和與差的余弦公式與三角恒等變化。通過課前預習以及課上表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)以下問題：1、對向量的認識不足，不能理解兩個角的差可以用兩個向量的夾角表示，不能認識到向量與有向線段間的聯(lián)系，體現(xiàn)出單位圓與三角函數(shù)線這一節(jié)學習的不夠扎實。2、本節(jié)涉及許多無理數(shù)的運算，許多學生在無理數(shù)的加法、乘法運算方面出現(xiàn)混淆。對特殊角的符號和大小記憶不清。3、分不清角度制和弧度制，運算中混在一起。對誘導公式的化簡作用認識不足。對于公式的推導過程還不是太熟悉，在老師的引導下能認識到向量證明問題的作用。在運用公式求和角的余弦值時，能知道分別求出兩個角的正弦值和余弦值，但很多時候沒有注意到角的范圍，導致結(jié)果出錯。初次接觸簡單的恒等變換，能夠找出角與角之間的關(guān)系，用已知三角函數(shù)值的角表示未知角，忽略角的范圍仍是易出錯的地方。本小節(jié)是在學生學過任意角的三角函數(shù)和平面向量的有關(guān)知識的基礎上，進一步研究兩角和與差的三角函數(shù)與單角三角函數(shù)關(guān)系，借助三角函數(shù)線理解兩角和（差）的三角函數(shù)的幾何意義，并通過具體實例消除對的誤解，例如當時而矛盾。使學生認識兩角和（差）的余弦不能按分配展開。2．兩角和的余弦是推導出其他和（差）角三角函數(shù)公式的基礎。本小節(jié)在推導兩角和與差的余弦公式時，利用單位圓與平面向量的數(shù)量積，先證得兩角差的余弦公式，而后用代替推得了兩角和的余弦公式。再推導該公式前，可通過一些特殊的角的三角函數(shù)值的關(guān)系，引導學生發(fā)現(xiàn)公式，然后再加以證明，這樣做更符合學生的認知規(guī)律。3.向量的數(shù)量積是解決距離與夾角問題的好工具，在兩角差的余弦公式的推導中正好能夠體現(xiàn)它的作用。由于學生剛接觸向量，他們還不太習慣用向量工具解決問題，因此這里需要教師作引導。教學時應當注意一下幾點：（1）在回顧求角的余弦的方法是，有意識地提醒學生聯(lián)想向量法；（2）充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運用做好準備。4.由于是任意角，所以兩角和與差的余弦公式適用于任意角。也就是說，余弦的差角公式及其推導過程都具有一般性。從而余弦的和角公式也具有一般性，必須使學生理解這一點。5.例1和例2是三角函數(shù)的求值問題，讓學生體驗和學會公式的應用。對于例2，要注意角的范圍，避免出現(xiàn)增解。另外要通過課后練習題，加強訓練，使學生熟練掌握公式的“正”和“反”兩方面的應用。運用公式推導學過的誘導公式，通過此題一是使學生了解三角函數(shù)恒等式的證明方法不唯一，二是使學生認識誘導公式實際上是和角公式的特例。本節(jié)練習A中第2題是為推導兩角和的正弦公式做準備的，應給予足夠重視。6.本小節(jié)的重點是應用兩角和與差的余弦公式求值和證明，難點是兩角和的余弦公式的推導。例1：練習1：求下列各式的值.（2）例2：練習1：練習2：【新知拓展】例3：練習1;練習2：本節(jié)課的教學目標是讓學生了解任意兩角和與差的余弦公式的推導過程；掌握兩角和與差的余弦公式，并會運用公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明；掌握公式的正用、逆用和變形應用，體會角與角，角與三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)換思想.通過特殊角，結(jié)合單位圓、任意角三角函數(shù)、平面向量的數(shù)量積等知識求出的值，由特殊到一般，類比出任意角的差的余弦的推導過程。在教學中留給學生思考的時間過少，導致處理的不太理想，應該安排學生討論與提問。運用兩角和與差的余弦公式三角函數(shù)式的化簡、求值和證明主要涉及等角的求值，知的三角函數(shù)值求的和與差的余弦值，知的三角函數(shù)值求的值三種類型的題目，也是本節(jié)課的重點。授課時由易到難，逐步深入，規(guī)范步驟，提醒注意事項，解決的較好，但對學生關(guān)注度不高，典型錯誤沒有有針對的指出。角的恒等變換通過公式的逆用指出，主要是用已知角表示未知角，因為時間關(guān)系，講的過于倉促，學生練習也沒跟上，效果不太好。可以適當提示，作為課下練習解決，效果會更好。總結(jié)反思階段應該讓學生談一談本節(jié)課的收獲?？傮w來看，基本完成本節(jié)課的教學目標，學生接受程度不錯，基本掌握知識和方法。知識與技能目標1、經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，掌握用向量證明問題的方法，進一步體會向量法的作用。2、能從兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。過程和方法目標1、引導學生推導和角公式，使學生認識整個公式體系的推理和形成的過程。從這一過程中，使學生領(lǐng)會其中體現(xiàn)出來的數(shù)學基本思想，蘊含的創(chuàng)新思想，掌握研究數(shù)學的基本方法，從而提高數(shù)學素質(zhì)。2、通過運用公式進行簡單的恒等變換，使學生