數(shù)碼相機(jī)定位問題

數(shù)碼相機(jī)的定位問題摘要通過傍軸近似和遠(yuǎn)場(chǎng)近似，忽略相機(jī)成像的畸變和其他機(jī)械或光學(xué)因素，本文將數(shù)碼相機(jī)成像原理簡(jiǎn)化為小孔成像模型，并進(jìn)一步建立中心透視投影模型，使相機(jī)成像過程簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)明的立體幾何關(guān)系。建立靶標(biāo)坐標(biāo)系和照相機(jī)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣表示不同坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，得到靶標(biāo)上某點(diǎn)的像坐標(biāo)與其在靶標(biāo)坐標(biāo)系中坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可列出一系列方程。由射影幾何中關(guān)于曲線切線的射影幾何原理，我們選擇一系列圓之間的公切線的切點(diǎn)作為特征點(diǎn)，代入題中所給實(shí)例，通過matlab使用最小二乘法，可求解單個(gè)固定照相機(jī)的系統(tǒng)參數(shù) 為（2.334，0.911,0.534，57.65,31.14，1829.4）。取靶標(biāo)中心為原點(diǎn)，得到靶標(biāo)上圓心的靶標(biāo)系坐標(biāo)，利用得到的上述照相機(jī)參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換可以求出圓心在像平面上的像坐標(biāo)為（-190，-195）；（-89，-188）；（130，-172）；（71，118）；（-228，118）。同時(shí)，由于本題中靶標(biāo)上圓的排列十分整齊，利用切線投影不變的性質(zhì)，我們可以直接在像平面上找出圓心的射影，其結(jié)果與上述求解得到的結(jié)果十分接近。我們對(duì)模型進(jìn)行了靈敏度分析，發(fā)現(xiàn)相機(jī)成像對(duì)角度的變化較為靈敏。然后根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)，建立模擬相機(jī)，對(duì)所給靶標(biāo)進(jìn)行模擬攝像得到理論的成像，并與題中原像進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)兩者十分接近，說明這是一個(gè)具有良好擴(kuò)展性和可操作性的模型。關(guān)鍵詞：小孔成像射影幾何切線最小二乘法一、問題的提出數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)，同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。圖1靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長(zhǎng)為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。圖2靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3靶標(biāo)的像請(qǐng)你們：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo),這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的焦點(diǎn)，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo),該相機(jī)的像距（即焦點(diǎn)到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位（1毫米約為3.78個(gè)像素單位），相機(jī)分辨率為1024X786；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、問題分析計(jì)算機(jī)視覺的基本任務(wù)之一，就是從攝像機(jī)捕獲的二維圖象信息出發(fā)，計(jì)算三維空間中物體的幾何信息，并由此重建和識(shí)別物體。雙目定位法是模擬人或生物的視覺系統(tǒng)功能來進(jìn)行定位，定位過程中需要的兩部照相機(jī)的精確相對(duì)位置，這需要通過系統(tǒng)標(biāo)定來確定。為了把實(shí)際數(shù)碼相機(jī)成像的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，我們要分析清楚照相機(jī)成像的基本光學(xué)原理，并通過確定靶標(biāo)上圓的特征點(diǎn)及其在像中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，來建立簡(jiǎn)明的立體投射幾何關(guān)系。顯然，空間中某點(diǎn)的三維幾何位置與其在圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系是由照相機(jī)成像的幾何物理特性決定的，而這些就是照相機(jī)的參數(shù)。那么只要我們知道靶標(biāo)圓上的特征點(diǎn)的靶標(biāo)坐標(biāo)系的坐標(biāo)及其在像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像坐標(biāo)，代入我們的相對(duì)關(guān)系方程，就可以解出單部位置固定的照相機(jī)在世界坐標(biāo)系中的三維位置和方向等參數(shù)。從而可以反過來確定靶標(biāo)圓心的像坐標(biāo)。同樣地，只要我們對(duì)另外一部相機(jī)的成像進(jìn)行類似的分析，就可以得到另一臺(tái)相機(jī)對(duì)靶標(biāo)的相對(duì)位置。通過系列的相對(duì)坐標(biāo)變換我們一定可以確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置。

三、基本假設(shè)1）2）1）2）3）四、符號(hào)說明“山靶標(biāo)固有坐標(biāo)系，靶坐標(biāo)的:方向即為靶標(biāo)平面的法向量鍛;if 像平面坐標(biāo)系，原點(diǎn)為像平面中心；世界坐標(biāo)系，原點(diǎn)為光心，IT平面與像平面平行；h 像距；僦“鬲）靶標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)（即靶標(biāo)中心）在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；五、模型建立將數(shù)碼相機(jī)成像的物理過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立簡(jiǎn)化模型：通過傍軸近似和遠(yuǎn)場(chǎng)近似，我們將透鏡成像模型近似的用小孔模型代替。如圖4所示，M代表靶標(biāo)上的點(diǎn)，0代表相機(jī)的光心位置，而 為像平面，P為M所成的像。圖4小孔成像模型圖5圖5中心透視投影模型事實(shí)上，如圖5所示，我們可以進(jìn)一步把小孔模型轉(zhuǎn)化成中心透視投影模型底部的圓代表靶標(biāo)上的某圓，0代表相機(jī)光心，而B代表像平面，B'為與其共軛對(duì)稱的像平面。由于其對(duì)稱關(guān)系，我們可以在靶標(biāo)圓與像平面B'上的像建立射影幾何關(guān)系。根據(jù)射影幾何定理，二次曲線關(guān)于某點(diǎn)的投影仍為二次曲線。因此我們可判斷圖5中B'像中圖形為橢圓。而且，曲線的切線其投影仍與曲線的投影相切，而且切點(diǎn)的投影仍為曲線投影的切點(diǎn)。那么兩圓的公共切線關(guān)于點(diǎn)的射影仍然與兩圓關(guān)于點(diǎn)的射影得到的橢圓相切。而且切點(diǎn)為原圓切點(diǎn)的射影點(diǎn)。因此在靶標(biāo)上各圓的公共切線的各切點(diǎn)可以選做特征點(diǎn)，其在投影橢圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)則為對(duì)應(yīng)橢圓的公共切線的相應(yīng)切點(diǎn)。要確定單部相機(jī)在空間中的位置，需要6個(gè)自由度（3個(gè)位移自由度，2個(gè)取向自由度，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）。只要給出這6個(gè)自由度，便可完全確定相機(jī)的空間性質(zhì)。我們首先建立兩個(gè)坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系（由于相機(jī)固定，默認(rèn)相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系重合，相機(jī)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為光心），靶標(biāo)坐標(biāo)系"靶標(biāo)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在靶標(biāo)的中心。然后我們通過坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣來確定不同坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系。則總旋轉(zhuǎn)矩陣為如圖6所示，使坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系▼的T軸方向旋轉(zhuǎn)"角，得到的旋轉(zhuǎn)矩陣記為：再繞系:軸方向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)矩陣記為可以得到一個(gè)臨時(shí)坐標(biāo)變換矩陣矩陣cosco^cos—sm^?smw可算出轉(zhuǎn)移矩陣為B=則總旋轉(zhuǎn)矩陣為如圖6所示，使坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系▼的T軸方向旋轉(zhuǎn)"角，得到的旋轉(zhuǎn)矩陣記為：再繞系:軸方向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)矩陣記為可以得到一個(gè)臨時(shí)坐標(biāo)變換矩陣矩陣cosco^cos—sm^?smw可算出轉(zhuǎn)移矩陣為B=B(乩9、3)=于是，有COSyCOSU?Sl.ll +COS(ZJSillw—cossinsinw甲一COK^€OSQ?HLllu；COSL?A—c7s((pjc??(oJ=cos0sin.^?記坐標(biāo)系I—?在經(jīng)過平移U旋轉(zhuǎn)，i:“之后，與「?上的「成.角。那么.共同確定了靶標(biāo)的朝向，且x= 旳=GfJ^)A~1Xt=BX'其中，門—「「丨。同時(shí)，‘r_「 .v-門＞：o13~]13~]coswsinHsinsin(?OS0IQS召cos甲cosw—sin/>\na>—co?u?sill<^—cos^cos<-incv

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記，「i為靶標(biāo)圓心在照相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，，「打?yàn)榘袠?biāo)圓心的像在像平面上的坐標(biāo)，由上面知有變換關(guān)系根據(jù)對(duì)應(yīng)投影關(guān)系，有其中,，為比例系數(shù)，匚為相機(jī)的焦距。由圖中的幾何關(guān)系可以得到，像平面坐標(biāo)與相機(jī)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為顯然，「八護(hù)都可以表示成為X..的函數(shù)，而再由那么可以表示成為'：/..\ in，7.. ,；■的函數(shù)。這樣我們就可以得到一系列的方程，如下…一ww-r…一ww-r根據(jù)上述方程，我們可以代入相應(yīng)的像坐標(biāo)和靶標(biāo)坐標(biāo)從而解出相機(jī)系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的標(biāo)定。得到照相機(jī)的各個(gè)參數(shù)之后，只要確定靶標(biāo)上圓的圓心在靶標(biāo)坐標(biāo)系上的坐標(biāo)，我們就可以直接通過模擬相機(jī)的成像過程，得到圓心在像平面上的像坐標(biāo)。同樣地，我們可以實(shí)現(xiàn)另一臺(tái)相機(jī)的標(biāo)定，得到兩臺(tái)相機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)而由上述的討論知：可以把相機(jī)在靶標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別表示為&y=b2ax>=B2(-X2)其中，打表示相機(jī)，相對(duì)于靶標(biāo)的變換矩陣，工表示靶標(biāo)在相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示。那么，我們可以得到兩臺(tái)相機(jī)的相對(duì)位置在靶標(biāo)坐標(biāo)系中的表示共切線，可以確定五個(gè)點(diǎn)的靶標(biāo)坐標(biāo)。圖8共切線，可以確定五個(gè)點(diǎn)的靶標(biāo)坐標(biāo)。圖8在靶標(biāo)上的取點(diǎn)當(dāng)然，我們同樣可以求出相機(jī)相對(duì)位置在其他任何已知的坐標(biāo)系中的表示比如說，在?坐標(biāo)架中，◎a仁=/?-（啟y=珥弋—&禺十B、x,這樣，兩臺(tái)相機(jī)的相對(duì)位置就已經(jīng)可以完全確定了。六、模型求解我們通過對(duì)題中所給靶標(biāo)和單個(gè)固定數(shù)碼相機(jī)所攝得的像進(jìn)行分析，在靶標(biāo)上做相鄰兩圓的的公共切線，找出其切點(diǎn)的靶標(biāo)坐標(biāo)，同樣，在像平面上做相應(yīng)相鄰橢圓的公共切線，并找出其切點(diǎn)的像坐標(biāo)。首先，如圖8所示，做靶標(biāo)上圓A,B,C上部的公共切線，圓D,E下部的公其次，如圖9（下頁(yè)）所示，在像平面上，作上方三個(gè)橢圓上部的公切線，和下方兩個(gè)橢圓下部的公切線，則可以確定第一步選取的五個(gè)特征點(diǎn)在像平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。由于在本題中，靶標(biāo)的圓分布具有很好的特性，上面的三個(gè)圓圓心在一條直線上，因此這三個(gè)圓有一條公切線，取點(diǎn)可以比較簡(jiǎn)便。對(duì)于一般的情況，即沒有三個(gè)圓心在同一直線上時(shí)，只需確定兩圓的公切線及相應(yīng)切點(diǎn)作為特征點(diǎn)即可。

圖9在像平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)圖9在像平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的特征點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)如下表：靶標(biāo)靶坐標(biāo)像坐標(biāo)x/pxy/pxx'/pxy'/pxA-189-234.36-183-236B-75.6-234.36-84-227C189-234.36138-210D189234.3664150E-189234.36-233152由于JG+”I|：；F汁“|｛班匕

Zn+B-i,1 yi由上表數(shù)據(jù)，我們使用最小二乘法對(duì)上述方程進(jìn)行求解。最小二乘法的優(yōu)化目標(biāo)模型如下 3陳加=\I￡同-即+(%-朗這里.；、「為像平面上測(cè)得的切點(diǎn)坐標(biāo)，/、.字為靶標(biāo)圓上切點(diǎn)坐標(biāo)經(jīng)模型演算后得到的像平面切點(diǎn)坐標(biāo)理論值，因此「表征模型計(jì)算的殘差。應(yīng)用matlab求解得到單個(gè)固定相機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)為(―事0XgYt).ZLJ)=(2.334.0.911.0.534,57+65:31,14,1829.4)

我們將靶標(biāo)上圓心的靶標(biāo)坐標(biāo)，代入相機(jī)系統(tǒng)得到各圓心在像平面的像坐標(biāo)ABCDE靶標(biāo)坐標(biāo)(-189,-189)(-75.6,-189)(189，-189)（189，189）(-189,189)像坐標(biāo)(-190,-195)(-89，-188)(130，-172)（71，118）(-228，118)七、靈敏度分析從上題得到相機(jī)的幾何性質(zhì)，我們嘗試對(duì)其6個(gè)自由度分別作1%的變動(dòng)（保持其余自由度不變），再推算出像的成像的位置。下表為系統(tǒng)殘差對(duì)各參數(shù)的反應(yīng)：計(jì)算值~~L~"T-Xf5761.131.0831.11.011.021829.42.722.820.5341.041.10計(jì)算值~~L~"T-Xf5761.131.0831.11.011.021829.42.722.820.5341.041.100.9102.132.522.3345.435.85表中「和：分別表示對(duì)自由度作正或者負(fù)1%的變動(dòng)時(shí)，殘差f的變化量，單位為像素。由表中數(shù)據(jù)，我們看到系統(tǒng)對(duì)；的變化最為靈敏。而相對(duì)于平移參量，角度參量的靈敏度則明顯較大。說明在照相機(jī)攝像的時(shí)候，照相機(jī)角度對(duì)成像的影響大于距離對(duì)成像的影響。那么在使用雙目定位法進(jìn)行定位的時(shí)候，要兩臺(tái)照相機(jī)的夾角應(yīng)較小，這樣兩臺(tái)照相機(jī)對(duì)運(yùn)動(dòng)物體進(jìn)行定位時(shí)，角度變化都不大。

八、模型檢驗(yàn)1）由于該靶標(biāo)上圓的位置關(guān)系十分整齊，四個(gè)圓分別處于正方形的四個(gè)角上，而剩下的一個(gè)圓的圓心與其他兩個(gè)圓的圓心共線。由射影幾何的性質(zhì)，我們可以直接在像平面上確定各個(gè)圓心在像平面上的像坐標(biāo)。如圖11所示，通過做各個(gè)橢圓相互的公共切線，將各個(gè)切點(diǎn)連接起來之后，得到的交點(diǎn)，就是圓心的像坐標(biāo)。圖11切線法確定圓心的像坐標(biāo)通過做圖法的到圓心像坐標(biāo)為（-189，-185），（-90，-187），（-127，-171）（69，119），（-228，-119）。我們把通過模型求解得到的圓心像坐標(biāo)與做圖法得到的圓心像坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，如下表所示：ABCDE做圖法(-189,-185)(-90,-187)(-127,-171)(69,119)(-228,-119)計(jì)算法(-190,-195)(-89,-188)(130,-172)(71,118)(-228,118)2）另外，還通過靶標(biāo)圓上點(diǎn)與像點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到下面的理論像平面，我們通過將原圖與理論像平面進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其基本重合。（白色橢圓為理論成像，我們特意縮小了一點(diǎn)，方便與原圖比較。）九、模