2021年上海登瀛中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2021年上海登瀛中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若曲線在點處的切線與兩個坐標軸為成的三角形面積為18，則（）

A．64

B．32

C．16

D．8參考答案：A2.設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且，有如下兩個命題：

①若；②若.那么（

）

A．①是真命題，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

C．①、②都是真命題

D．①、②都是假命題

參考答案：D若，則或異面，所以①錯誤。同理②也錯誤，所以選D.3.設(shè)變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．3參考答案：B略4.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式為（）A．B．C．D．

參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A和b，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的圖象，可得A=5﹣3=2，b=3，=4﹣1=3，∴ω=．再根據(jù)五點法作圖可得+φ=π，∴φ=，故f（x）=2sin（x+）+3，故選：D．【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎(chǔ)題．5.若x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=﹣7x+y的最大值為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣17 D．﹣19參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】方程思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=﹣7x+y得y=7x+z，平移直線y=7x+z，則由圖象可知當直線y=7x+z經(jīng)過點C時，直線y=7x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即A（1，2），此時z=﹣7+2=﹣5，故選：A．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．6.兩個正數(shù)的等差中項是，一個等比中項是，且，則拋物線的焦點坐標是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.已知正實數(shù)m，n滿足m+n=1，且使取得最小值．若曲線y=xa過點P（，），則a的值為(

)A．﹣1 B． C．2 D．3參考答案：B【考點】基本不等式．【專題】不等式．【分析】先根據(jù)基本不等式等號成立的條件求出m，n的值，得到點P的坐標，再代入到函數(shù)的解析式中，求得答案．解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，當且僅當n=4m，即m=，n=時取等號，∴點P（，），∴=，∴α=．故選：B【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．8.若直線與直線的交點位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.若正項遞增等比數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知．∵，∴．∴，設(shè)，則，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．∴當，即時，有最小值，且．∴的最小值為．選C．點睛：本題考查的范圍較廣，解題的方法比較綜合，考查了學生運用所學知識解決綜合性問題的能力．解題時需要從條件中得到的表達式，然后將所求表示為數(shù)列公比的形式，為了達到解題的目的，在構(gòu)造函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，從而求得的最小值．10.定義：如杲函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，己知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=______。參考答案：設(shè)及；則點到準線的距離為，得：

又。【命題立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運算。12.已知下列三個方程至少有一個方程有實根，則實數(shù)的范圍是___________參考答案：13.某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上.現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為，那么船只已進入該淺水區(qū)的判別條件是

.參考答案：14.方程的根稱為函數(shù)的零點，定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，且，則函數(shù)的零點個數(shù)是

.參考答案：3略15.隨機地在棱長為1的正方體內(nèi)部取一個點P，滿足的概率是

參考答案：略16.已知點在直線上,為坐標原點,,則的最小值為

.參考答案：略17.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為．參考答案：（﹣1，0）∪（0，+∞）【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】對a討論，分a=0，a＞0，a＜0，三種情況，運用換元法，令t=f（x），f（f（x））=0即為f（t）=0，討論函數(shù)f（x）在x＞0和x≤0的值域，結(jié)合條件有且只有一個實數(shù)解，分析即可得到a的范圍．【解答】解：若a=0時，x≤0，f（x）=0，令t=f（x），f（f（x））=0即為f（t）=0，則有無數(shù)個解，不成立；若a＞0，則x≤0，f（x）=＜0，方程f（f（x））=0即為f（t）=0，即有f（1）=0，t=1，f（x）=1，解得x=10，成立；若a＜0，則x≤0，f（x）=∈（0，﹣a]，方程f（f（x））=0即為f（t）=0，即有f（1）=0，由于關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，即f（x）=1只有一解，則有﹣a＜1，即為a＞﹣1，則有﹣1＜a＜0．綜上可得，a＞0或﹣1＜a＜0．故答案為：（﹣1，0）∪（0，+∞）．【點評】本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系，運用分類討論的思想和函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊為，角為銳角，若，且.（1）求的大小；（2）若，求的面積.參考答案：(1)(2)19.已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集為M．（1）求M；

（2）記集合M的最大元素為m，若正數(shù)a，b，c滿足abc=m，求證：．參考答案：【考點】不等式的證明；絕對值三角不等式．【分析】（1）由零點分段法，分類討論，即可求M；

（2）abc=1，利用基本不等式，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|≤2化為：或或或所以集合M={x|﹣5≤x≤1}..…（2）集合M中最大元素為m=1，所以abc=1，其中a＞0，b＞0，c＞0因為，，．…，三式相加得：，所以．…20.已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，又f(1)＝－．(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值與最小值．參考答案：(1)令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，從而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0.即f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(2)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1>x2，則x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，從而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0.∴f(x)為減函數(shù)．(3)由(2)知，所求函數(shù)的最大值為f(－3)，最小值為f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值為2，最小值為－4.21.某中學的高二（1）班男同學有45名，女同學有15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組．（Ⅰ）求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；（Ⅱ）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出1名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學中選一名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；（Ⅲ）試驗結(jié)束后，第一次做試驗的同學得到的試驗數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗的同學得到的試驗數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由．參考答案：解：（I）∴每個同學被抽到的概率為課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)分別為3，1（II）把3名男同學和1名女同學記為a1，a2，a3，b，則選取兩名同學的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6種，其中有一名女同學的有3種∴選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為（III），∴，∴第二次做實驗的更穩(wěn)定考點：等可能事件的概率；分層抽樣方法；極差、方差與標準差．專題：計算題．分析：（I）按照分層抽樣的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，從而解決；（II）先算出選出的兩名同學的基本事件數(shù)，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6種；再算出恰有一名女同學事件數(shù)，兩者比值即為所求概率；（III）欲問哪位同學的試驗更穩(wěn)定，只要算出他們各自的方差比較大小即可，方差小些的比較穩(wěn)定．解答：解：（I）∴每個同學被抽到的概率為課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)分別為3，1（II）把3名男同學和1名女同學記為a1，a2，a3，b，則選取兩名同學的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6種，其中有一名女同學的有3種∴選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為（III），∴，∴第二次做實驗的更穩(wěn)定點評：本題主要考查分層抽樣方法、概率的求法以及方差，是一道簡單的綜合性的題目，解答的關(guān)鍵是正確理解抽樣方法及樣本估計的方法，屬于基礎(chǔ)題22.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為；數(shù)列{bn}滿足（，）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）①試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；②在①結(jié)論下，若對每個正整數(shù)k，在與之間插入個2，符到一個數(shù)列{cn}．設(shè)是數(shù)列{cn}的前n項和，試求滿足的所有正整數(shù)．參考答案：（1）；（2）見解析分析：（1）求出數(shù)列的首項和公比，即可求數(shù)列的通項公式；（2）①求出數(shù)列的前幾項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建