2022-2023學(xué)年云南省曲靖市羅平縣板橋鎮(zhèn)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年云南省曲靖市羅平縣板橋鎮(zhèn)第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為，的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則的值為A．

B．

C．

D．（

）參考答案：答案：B2.“”是“直線與圓相切”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A略3.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式．孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在二十世紀(jì)初提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題之一．可以這樣描述：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2是素?cái)?shù)，稱素?cái)?shù)對為孿生素?cái)?shù)．在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是（

）．A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求得不超過15的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的組數(shù)，結(jié)合排列組合和古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由題意，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)，稱素?cái)?shù)對為孿生素?cái)?shù)．其中不超過15的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，可得能夠組成孿生素?cái)?shù)的有，，，在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種，其中能夠組成孿生素?cái)?shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，所以其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及排列數(shù)公式的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，則（

）A.

B.C.

D.參考答案：B因?yàn)闈M足，所以，所以周期，所以，，,故選B.

5.已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則A.－2 B.2 C. D.參考答案：A【分析】先根據(jù)可得函數(shù)周期，結(jié)合奇函數(shù)及解析式可得.【詳解】因?yàn)?，所以周期?，所以；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7.如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；

②；③；

④．其中“同簇函數(shù)”的是（

）A．①②

B．①④

C．②③

D．③④參考答案：C8.在平面直角坐標(biāo)系中，由x軸的正半軸、y軸的正半軸、曲線以及該曲線在處的切線所圍成圖形的面積是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖，其中正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是邊長分別為1，2的矩形，則該幾何體的側(cè)面積為（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+6參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知中的三視力可得該幾何體是一個(gè)四棱錐，計(jì)算出各個(gè)側(cè)面的面積，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三視力可得該幾何體是一個(gè)四棱錐，其直觀圖如下圖所示：則△SAD是邊長為2的正三角形，其面積為：，∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是兩直角邊長為1和2的直角三角形，故△SAB的面積為1，同理，△SCD的面積也為1，又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，故△SBC是底邊長2，高為2的等腰三角形，故△SBC的面積為2，綜上所述，幾何體的側(cè)面積為+4，故選：A【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．10.已知非零向量，，若，，則向量和夾角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】直接利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解?！驹斀狻吭O(shè)向量與向量的夾角為，，由可得：，化簡即可得到：，故答案選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角余弦值的求法，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為

.參考答案：－512.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，綜上有．考點(diǎn)：函數(shù)的定義域．【名師點(diǎn)晴】本題表面上考查函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)是考查不等式恒成立問題，即恒成立，這里易錯(cuò)的地方是只是利用判別式，求得，沒有討論二次項(xiàng)系數(shù)為0的情形．13.

以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，則a、b、c的大小關(guān)系為________．參考答案：a<c<b14.等比數(shù)列中，若，則參考答案：略15.已知不共線，，當(dāng)______時(shí)，共線.參考答案：16.一幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：200＋9π略17.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知（1）求cosA；（2）求c的值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可構(gòu)造方程求得；（2）由余弦定理構(gòu)造方程可求得的兩個(gè)解，其中時(shí)，驗(yàn)證出與已知條件矛盾，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：（2）在中，由余弦定理得：由整理可得：解得：或當(dāng)時(shí)，，又

，此時(shí)，與已知矛盾，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，符合要求綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，易錯(cuò)點(diǎn)是求得邊長后忽略了已知中的長度和角度關(guān)系，造成增根出現(xiàn).19.(12分)如圖，已知，分別是正方形邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）確定點(diǎn)的位置，使得平面；（3）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．

參考答案：（1）連結(jié)，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分別是、的中點(diǎn)，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；……………4分（2）連結(jié)，∵平面，平面平面，∴，∴，故

………………-6分（3）∵平面，平面，∴，在等腰三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴為所求二面角的平面角，……8分∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，所以在矩形中，可求得，，，……10分在中，由余弦定理可求得，有空間位置關(guān)系知二面角為鈍角∴二面角的余弦值為．……………12分20.（本小題滿分13分）在△ABC中，∠C＝，．（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面積為3，求c的值．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理正弦定理【試題解析】(Ⅰ)在中，因?yàn)椋?/p>

即

所以．

（Ⅱ）因?yàn)椋?/p>

所以，解得．

又因?yàn)椋?/p>

所以，

所以．21.如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面的距離.參考答案：方法一:

(1)證明：連結(jié)OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,

∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC.∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中，是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.,∴·S△ACD=·AO·S△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1,S△CDE=∴h=∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量.

又∴點(diǎn)E到平面ACD的距離

h=22.（2016?廣元一模）目前，埃博拉病毒在西非并逐漸蔓延，研究人員將埃博拉的傳播途徑結(jié)合飛機(jī)航班數(shù)據(jù)，埃博拉的潛伏時(shí)間等因素，計(jì)算出不限飛情況下，亞洲國家中印度、中國、阿聯(lián)酋、黎巴嫩在一個(gè)月后出現(xiàn)輸入性病例的概率分別是0.1、0.2、0.2、0.2，假定各地出現(xiàn)輸入性病例是彼此獨(dú)立的．（1）求上述四國中恰有1個(gè)國家出現(xiàn)輸入性病例的概率；（2）從上述四國中任選兩國調(diào)研疫情，求恰有一國選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩），一國選在中國和印度的概率；（3）專家組擬按下面步驟進(jìn)行疫情調(diào)研，每一步若出現(xiàn)輸入性病例，若出現(xiàn)則留下來研究，不在進(jìn)行下一步調(diào)研；第一步，一次性選中國和印度兩個(gè)國家同時(shí)進(jìn)行調(diào)研；第二步，在阿聯(lián)酋和黎巴嫩兩個(gè)國家中隨機(jī)抽取1個(gè)國家進(jìn)行調(diào)研第三步，對剩下的一個(gè)國家進(jìn)行調(diào)研．求該專家組調(diào)研國家個(gè)數(shù)的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）四國中恰有1個(gè)國家出現(xiàn)輸入性病例共有四種情況：選出一個(gè)國家出現(xiàn)輸入性病例而另外三個(gè)國家沒有出現(xiàn)輸入性病例，利用相互獨(dú)立和互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出；（2）恰有一國選在西亞（阿聯(lián)酋、黎巴嫩）有種情況，一國選在中國和印度有中情況，因此共有種，而基本事件的總數(shù)為，利用古典概率的概率計(jì)算公式即可得出．（3）利用相互獨(dú)立和相互對立事件的概率計(jì)算公式可得第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）；同理可得：若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而第二步出現(xiàn)輸入性病例的概率=（1﹣0.1）×（1﹣0.2）×0.2×2；若第一步及第二不沒有出現(xiàn)輸入性病例而第三步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣0.28﹣0.288．【解答】解：（1）P=0.1×（1﹣0.2）3+（1﹣0.1）×0.2×（1﹣0.2）2×3=0.4096．（2）P==．（3）第一步出現(xiàn)輸入性病例的概率=1﹣（1﹣0.1）×（1﹣0.2）=0.28；若第一步?jīng)]有出現(xiàn)輸入性病例而