《冪函數(shù)》 示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)

《冪函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)觀察圖像，了解冪函數(shù)圖像的變化情況和性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（2）了解幾個(gè)常見(jiàn)的冪函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)這幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)，總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)．提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（3）應(yīng)用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：從具體的冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：（1）從冪函數(shù)的圖像中概括其性質(zhì)（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同指數(shù)的指數(shù)式的大小課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、整體概覽問(wèn)題1：閱讀課本第33-36頁(yè)，回答下列問(wèn)題：（1）本節(jié)將要研究哪類問(wèn)題？（2）本節(jié)要研究的問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容.預(yù)設(shè)的答案：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容是冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，其核心冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.本節(jié)是學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪的意義以及冪的運(yùn)算，學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù).事實(shí)上，都是冪函數(shù)，學(xué)生對(duì)它們的基本性質(zhì)和圖像都已經(jīng)很熟悉.學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、基本性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像之后，緊接著學(xué)習(xí)冪函數(shù)，從知識(shí)體系上講是自然銜接，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上講則是抓住了學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”順勢(shì)而為，學(xué)生可以很容易地應(yīng)用函數(shù)的研究方法來(lái)分析冪函數(shù)，從而進(jìn)一步體驗(yàn)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像的基本過(guò)程和方法.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本節(jié)課內(nèi)容的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.二、問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題2：我們已經(jīng)知道，在關(guān)系式中，當(dāng)?shù)讛?shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)時(shí);如果把b作為自變量、N作為因變量，則N就是b的指數(shù)函數(shù)；如果把N作為自變量、b作為因變量，則b就是N的對(duì)數(shù)函數(shù)（即）.那么，當(dāng)b為常數(shù)時(shí)，是否可以將底數(shù)a作為自變量，N作為因變量來(lái)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系呢？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試自己得出問(wèn)題的結(jié)果．并思考運(yùn)算法則的得出過(guò)程.預(yù)設(shè)的答案：在關(guān)系式N=ab中，以a為自變量、N為因變量構(gòu)造的函數(shù)為，其中的N即為因變量y，a即為自變量x.設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的公式導(dǎo)入，由指數(shù)的運(yùn)算得出對(duì)數(shù)的運(yùn)算，喚醒學(xué)生由已有的知識(shí)解決未知的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的興趣.引語(yǔ)：構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)就是本節(jié)我們要討論的冪函數(shù)（板書(shū)：冪函數(shù)）【新知探究】問(wèn)題3：我們以前學(xué)過(guò)函數(shù)y＝x，y＝x2，，這三個(gè)函數(shù)的解析式有什么共同的特點(diǎn)嗎？你能根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的定義，把這三個(gè)函數(shù)的解析式改寫(xiě)成統(tǒng)一的形式嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自行書(shū)寫(xiě)，教師給出答案.預(yù)設(shè)的答案：這三個(gè)函數(shù)的解析式改寫(xiě)成統(tǒng)一的形式為.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際例子的歸納總結(jié)，自然的引出冪函數(shù)的概念.一般地，函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中a為常數(shù)，上面提到的函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝都是冪函數(shù).下面我們通過(guò)具體函數(shù)來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)的一些性質(zhì).首先來(lái)研究函數(shù)問(wèn)題4：判斷?4，?3，?2，?1，這些數(shù)中，哪些在函數(shù)的定義域內(nèi)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并填寫(xiě)下表（只需要填在定義域內(nèi)的數(shù)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值），由此猜測(cè)這個(gè)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，嘗試并說(shuō)明理由.x由于=，由此不難知道，函數(shù)的性質(zhì)有：（1）定義域是（2）值域是（3）奇偶性是（4）單調(diào)性是師生活動(dòng)：學(xué)生充分思考后，寫(xiě)出并由老師給出答案.此圖片是動(dòng)畫(huà)縮略圖，本資源為《冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)》知識(shí)探究，通過(guò)交互式動(dòng)畫(huà)的方式，運(yùn)用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．本資源適用于認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的教學(xué)，供教師備課和授課使用.若需使用，請(qǐng)插入動(dòng)畫(huà)【數(shù)學(xué)探究】?jī)绾瘮?shù)的圖象與性質(zhì)（教師可以多次使用這個(gè)動(dòng)畫(huà)，用于講解不同類型的冪函數(shù)，以及圖像性質(zhì)的對(duì)比講解）本資源展現(xiàn)幾個(gè)特殊冪函數(shù)的性質(zhì)，輔助教師教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和掌握．本資源適用于幾個(gè)特殊冪函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)，供教師備課和授課時(shí)參考．若需使用，請(qǐng)插入圖片【知識(shí)點(diǎn)解析】幾個(gè)特殊冪函數(shù)的性質(zhì)預(yù)設(shè)的答案：x01234012函數(shù)的性質(zhì)有：（1）定義域是：（2）值域是：（3）奇偶性是：非奇非偶函數(shù)（4）單調(diào)性是：增函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生根據(jù)具體數(shù)值得出歸納出函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.根據(jù)以上信息可知，函數(shù)圖像上的點(diǎn)，除了原點(diǎn)，其余點(diǎn)都在第一象限，通過(guò)描點(diǎn)（如左下圖所示），可作出其圖像，如右下圖所示問(wèn)題5：給出研究函數(shù)y=x3的性質(zhì)與圖像的方法，并用你的方法得出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域是（2）值域是（3）奇偶性是（4）單調(diào)性是（5）如圖所示中已經(jīng)作出了函數(shù)y=x-1，y=x，y=x2的圖像，在其中作出函數(shù)y=x3圖像.師生活動(dòng)：學(xué)生充分思考后，寫(xiě)出并由老師給出答案.預(yù)設(shè)的答案：（1）定義域是R（2）值域是R（3）奇偶性是奇函數(shù)（4）單調(diào)性是增函數(shù)（5）函數(shù)y=x3圖像教師可借助多媒體呈現(xiàn).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生根據(jù)具體數(shù)值得出歸納出函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.總結(jié)：一般地，冪函數(shù)y=xα，隨著α的取值不同，函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性也不盡相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)（1，1）.（2）如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).（3）如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方且無(wú)限地通近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖像在x軸上方且無(wú)限地逼近x軸.【鞏固練習(xí)】例1比較下列各題中兩個(gè)值的大?。海?）2.31.1和2.51.1；（2）和.師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：解：（1）考察冪函數(shù)y=x1.1，因?yàn)槠湓趨^(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.考察冪函數(shù)，因?yàn)槠湓趨^(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，而且a2+2≥2，所以設(shè)計(jì)意圖：考查利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小.例2.討論函數(shù)的定義域、奇偶性，通過(guò)描點(diǎn)作出它的圖像，并根據(jù)圖像說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：解：因?yàn)椋圆浑y看出函數(shù)的定義域?yàn)镽,記則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，通過(guò)列表描點(diǎn)連線.可以作出的圖像，由圖像可得，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用函數(shù)的解析式得出函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖像，得出函數(shù)的單調(diào)性，鞏固學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.練習(xí)：教科書(shū)第36頁(yè)習(xí)題4-4A1，2,3,4,5題．師生活動(dòng)：學(xué)生做練習(xí)，教師根據(jù)學(xué)生練習(xí)情況給予反饋．【教學(xué)反思】通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的圖像，了解他們的變化情況，掌握研究一般冪函數(shù)的方法和思想.使學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)的圖像來(lái)總結(jié)性質(zhì)，并通過(guò)已學(xué)的知識(shí)對(duì)總結(jié)出的性質(zhì)進(jìn)行解釋，從而達(dá)到對(duì)任一冪函數(shù)性質(zhì)的分析【課堂小結(jié)】1．板書(shū)設(shè)計(jì)：4.4冪函數(shù)1．冪函數(shù)例12．函數(shù)的性質(zhì)及其圖像例23．函數(shù)的性質(zhì)及其圖像4．函數(shù)的性質(zhì)練習(xí)與作業(yè)：教科書(shū)第36頁(yè)習(xí)題B1-6題；2．總結(jié)概括：?jiǎn)栴}：（1）．冪函數(shù)是如何定義的？（2）．冪函數(shù)的解析式具有什么特點(diǎn)？（3）．常見(jiàn)冪函數(shù)的具有哪些性質(zhì)？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案：一般地，函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)，上面提到的函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝都是冪函數(shù).（2）冪函數(shù)的解析式都是.（3）一般地，冪函數(shù)，隨著的取值不同，函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性也不盡相同，但也有一些共同的特征：①所有的冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)（1，1）.②如果>0，則冪函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).③如果<0，則冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在y軸右方且無(wú)限地通近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖像在x軸上方且無(wú)限地逼近x軸.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì).布置作業(yè)：教科書(shū)第8頁(yè)習(xí)題C1，2題．【目標(biāo)檢測(cè)】1.函數(shù)y＝(x2－2x)的定義域是()A．{x|x≠0或x≠2}B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．(0,2).設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)換元法在解題中的應(yīng)用．2.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是()A．y＝2xB．y＝2x3C．y＝eq\f(1,x)D．y＝2x設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)定義的理解．3．下列結(jié)論正確的是()A．冪函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)B．當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是減函數(shù)C．當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．函數(shù)y＝x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的理解．4．下列函數(shù)中，在(－∞，0)