動量定理守恒定律

§2-3

動量定理 動量守恒定律一、動量質(zhì)點的動量

P

=

mv討論：1）動量是描寫運動狀態(tài)的量，是狀態(tài)的單值函數(shù)；2）動量是矢量；3）動量有相對性（因為速度與參照系有關(guān)）。當(dāng)力在一段時間內(nèi)對物體持續(xù)作用時，需要討論力的時間累積效應(yīng)。二、質(zhì)點的動量定理重寫牛頓第二定律的微分形式dt考慮一過程，時間從t1-t2，兩端積分F

=

dp上式左邊定義為力F

從t1

時刻到t2

時刻的沖量：1t

t2

I

=

F

d

t于是得到積分形式動量定理：質(zhì)點在運動過程中所受到的合外力的沖量，等于該質(zhì)點動量的增量。動量沖量狀態(tài)量過程量動量定理是過程量和狀態(tài)量增量的關(guān)系。tt12

Fdt

=

p2

-

p1I

=

p

=

mv2tt1

I

=

Fdt方方向，而是沖量

的所有元沖量向一般不是某一瞬量的合矢時力

的的方向。討論1)沖量的方向：p1p2pDp由動量定

理可知：沖量的方向與動量增量方向相F

d

t同。即

I的方向與

D的方向相同。I帆船逆風(fēng)行駛就是例證。船帆a航向風(fēng)v0v0vDvF

'

F

'

=

-F風(fēng)從與船航向成a角方向吹來，設(shè)風(fēng)的初速v0，由于帆的作用，風(fēng)的方向一致，風(fēng)給帆的作用力方向改變，大小幾乎不變，根據(jù)動Dv量定理，風(fēng)受帆的作用力

F與F

'在船航行方向的分量推動船前進。v2)在直角坐標系中將矢量方程改為標量方程ttx1xx

2

x21F

d

t

=

mv

-

mvI

=tt2y1

y2

yyF

d

t

=

mv

-

mvI

=11zFz

d

t

=

mv2

z

-

mvtt2zI

=1動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其使用范圍是慣性系。動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。5)動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均沖力。t2t1t-FF打擊或碰撞，沖力F的方向保持不變，曲線與t

軸所包圍的面積就是

t1

到

t2

這段時間內(nèi)力的沖量的大小，根據(jù)改變動量的等效性，得到平均沖力。將積分用平均沖力代替DtDP平均沖力：F

=

Fdt

=

F

Dtt2t1例汽車以恒定速度u相對于地面平動，車內(nèi)水平桌面上有一小球，小球的速度由v1

v2變

為

，以地面和車分別為參考系寫出動量定理。umv1v2以車為參考系，小球動量的改變以地面為參考系，小球動量的改變*例1

質(zhì)量為

m

的小球在水平面內(nèi)作速率為v

的勻速圓周運動，試求小球在經(jīng)過四分之一圓周的過程中，所受到的沖量。解：由動量定理，所受沖量I

=

Dp=

p2

-

p1I

的大小為：

A0B1pp2p1ap2Dpx1

2p

=

p4a

=

-

3

πI

=

p2

+

p2

=

2mv1

2I

的方向：例2列車在平直鐵軌上裝煤,列車空載時質(zhì)量為m0,煤炭以速率v1豎直流入車廂,每秒流入質(zhì)量為a。假設(shè)列車與軌道間的摩擦系數(shù)為m,列車相對于地面的運動速度v2保持不變,求機車的牽引力F。解：車和煤為系統(tǒng),如圖建立坐標系。tfi

t+dt

時刻，dm

=adtv1v

2xy豎直方向水平方向1vv

2xNy*例3一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為t

(SI)34

·105F

=

400

-子彈從槍口射出時的速率為300m/s，假設(shè)子彈離開槍口時合力剛好為零，則（1）子彈走完槍筒全長所用的時間t解(1)4

·105F

=0

即400

-\

t

=

0.003(s)t

=

03t

(SI)34

·105F

=

400

-I

0.6-3m

=

=

=

2·10

(kg)

=

2(g)v

300=

0.6(N

s)（3）子彈的質(zhì)量mI

=

m

v

-

04

·10520t

=0.003Fdt

=

(400t

-t

)6tI

=（2）子彈在槍筒中所受力的沖量I本周作業(yè)：1-13、1-16、1-21.求此質(zhì)點從靜止開始在2s內(nèi)所受合外力的沖量和質(zhì)點在2s末的動量。解：由沖量定義有例4

一質(zhì)點受合外力作用，外力為(SI)根據(jù)動量定理大小方向1.質(zhì)點系：三、質(zhì)點系的動量定理在質(zhì)點動量定理的基礎(chǔ)上，討論兩個或兩個以上物體組成的系統(tǒng)的動量定理，導(dǎo)出動量守恒定律。(以由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系為例)內(nèi)力:系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點間的相互作用力;特點:成對出現(xiàn)；大小相等方向相反;結(jié)論：質(zhì)點系的內(nèi)力之和為零.

fij

=

0i質(zhì)點系的重要結(jié)論之一m2m1由有相互作用的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。

F1F2f12f212.系統(tǒng)動量定理將動量定理分別用于這兩個物體得：F121112p10=

p1

-tt(F

+

f

)dt

212

21p20(F

+

ftt外力:系統(tǒng)外部對質(zhì)點系內(nèi)部質(zhì)點的作用力.對m1對m2將上兩式相加，根據(jù)牛頓第三定律：f12

+

f

21

=

0

m2m2)dt

=

-

Fp2f1

12f21t21(F1

+

F2

)dt

=

(

p1

+

p2

)

-

(

p10

+

p20

)t

系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量，稱為系統(tǒng)動量定理。思考：什么力可改變質(zhì)點的動量?什么力可以改變系統(tǒng)的總動量?用質(zhì)點系動量定理處理問題的方便之處在那里？可得:將上式推廣到多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)將系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點受

力之和寫成Fi

+

fi對mi

使用動量定理：Fi表示第i個質(zhì)點所受外力之和;fi

表示第i個質(zhì)點所受內(nèi)力之和;t

2t1

t1t

2

Fidt

+

fidt

=

pi

-

pi

0對所有質(zhì)點求和：t2t2i

t1

t1

i

(

Fi

dt

+

fi

dt

)

=

(Pi

-

Pi

0

)t2t2

Fi

dt

+

fi

dt

=

(Pi

-

Pi

0

)i

it1

t1i

——外力沖量之和ittif

dt21ittiF

dt21——內(nèi)力沖量之和化簡上式：由于每個質(zhì)點的受力時間dt

相同，所以：t2t2i

t1

t1

iFidt

=(Fi

)dt

將所有的外力共點力相加F外=

Fiit2t1

t1it2

Fidt

=

F外dt再看內(nèi)力沖量之和同樣，由于每個質(zhì)點的受力時間dt

相同，所以：t2t1

fi

dtit2t2

fidt

=(

fi

)dt

i

t1

t1

i因為內(nèi)力之和為零：

fi

=

0i內(nèi)力的沖量之和為零t2所以有：

fidt

=0t1i----質(zhì)點系的重要結(jié)論之二ii

i0ii0miυii

i0

P

=

mυP

=Pi

=P

=最后簡寫右邊，令：質(zhì)點系的動量定理為（積分形式）t2t2i

iit1

t1

Fi

dt

+

fidt

=

(Pi

-

Pi

0

)

1t2if

dt

=

0ti221

1ttittiF

dtF

dt

=左邊

外1t2t

F外dt

=P

-P0四、動量守恒定律系統(tǒng)動量原理當(dāng)上式稱為動量守恒定律。結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)不受外力或合外力為零時，系統(tǒng)總動量在運動中保持不變，內(nèi)力的作用僅僅改變總動量在各物體之間的分配。動量守恒定律是物理學(xué)中又一條重要而又具有普遍性的定律。210tt

F dt

=

P

-

P外=恒量

Fi

=

0

時，

則有

P

=P0i

i近似地認為系統(tǒng)動量守恒.例如在碰撞,打擊,爆炸等問題中.當(dāng)

Fi

<<

fi

時，可略去外力的作用,

Fi=

0討論：1）系統(tǒng)的動量守恒是指系統(tǒng)的總動量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的,各物體的動量必相對于同一慣性參考系.2）系統(tǒng)動量守恒條件：合外力為零若某一方向合外力為零,則此方向動量守恒.當(dāng)

Fx＝0

時，有

px

=

px03）如果合外力在某一方向上的分量為零，則系統(tǒng)在該方向的分量也是守恒的。當(dāng)

Fy＝0

時，有

py

=

py04）動量守恒定律是一條最基本、最普遍的定律，無論宏觀還是微觀領(lǐng)域都可以使用。5）用守恒定律作題，注意分析過程、系統(tǒng)和條件。*例5

兩個相互作用的物體A和B，無摩擦地在一條水平直線上運動。A的動量表達式pA

=

pA0

-

bt

,pA0和b為常量。（1）開始時B靜止，求B的動量；思考：在系統(tǒng)的動量變化中內(nèi)力起什么作用？有人說：因為內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量，所以不論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點有無內(nèi)力作用，只要外力相同，則各質(zhì)點的運動情況就相同。這話對嗎？pB

=

pA

-

pA0

=

bt（2）開始時B的動量為-pA0

，求B的動量pA0

+(-

pA0

)

=

pA

+

pBpB

=

-

pA

=

-

p0

+

bt解：把A、B作為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，故該方向動量守恒pA0

+

pB

0

=

pA

+

pB*例6

如圖所示,設(shè)炮車以仰角q

發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為M和m，炮彈相對于炮車的出口速度為v，求炮車的反沖速度V。炮車與地面間解：把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎q的摩擦力不計。vMG直方向上的外力有重力

和地面支持力N水平分量為根據(jù)水平方向動量守恒定理有炮彈相對地面的速度為炮車的反沖速度為討論：系統(tǒng)動量是否守恒?u