傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)

傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)2016年12月14日09:27:47傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)首先，隆重推出傅里葉級數(shù)的公式，不過這個東西屬于“文物”級別的，誕生于19世紀(jì)初，因為傅里葉他老人家生于1768年，死于1830年。但傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號與系統(tǒng)》、《鎖相環(huán)原理》等書籍，動不動就跳出一個“傅里葉級數(shù)”或“傅里葉變換”，弄一長串公式，讓人云山霧罩。如下就是傅里葉級數(shù)的公式：不客氣地說，這個公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布——又臭又長”，而且來歷相當(dāng)蹊蹺，不知那個傅里葉什么時候靈光乍現(xiàn)，把一個周期函數(shù)f(t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看那個①式，就是把周期函數(shù)f(t)描述成一個常數(shù)系數(shù)a0、及1倍ω的sin和cos函數(shù)、2倍ω的sin和cos函數(shù)等、到n倍ω的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和，且每項都有不同的系數(shù)，即An和Bn，至于這些系數(shù)，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區(qū)間一般設(shè)為[-π,π]，也相當(dāng)一個周期T的寬度。能否從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出此公式，以使傅里葉級數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細(xì)解釋一下此公式的得出過程：１、把一個周期函數(shù)表示成三角級數(shù)：首先，周期函數(shù)是客觀世界中周期運動的數(shù)學(xué)表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：f(x)=Asin(ωt+ψ)這里t表示時間，A表示振幅，ω為角頻率，ψ為初相（與考察時設(shè)置原點位置有關(guān)）。然而，世界上許多周期信號并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數(shù)Ansin(nωt+ψ)之和來表示那個較復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)呢？因為正弦函數(shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：（關(guān)于傅里葉推導(dǎo)純屬猜想）這里，t是變量，其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有著不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），當(dāng)然還有一項常數(shù)項（即A0）。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數(shù)。

應(yīng)該說，傅里葉是一個天才，想得那么復(fù)雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數(shù)弄成這么一個復(fù)雜的表示式。但傅里葉認(rèn)為，式子右邊一大堆的函數(shù)，其實都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計算。當(dāng)然，這個式能否成立，關(guān)鍵是級數(shù)中的每一項都有一個未知系數(shù)，如A0、An等，如果能把這些系數(shù)求出來，那么5式就可以成立。當(dāng)然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f(t),那么只需用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出各項系數(shù)，上式就可以成立，也能計算了。

于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：這樣，公式５就可以寫成如下公式６的形式：這個公式６就是通常形式的三角級數(shù)，接下來的任務(wù)就是要把各項系數(shù)an和bn及a0用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出來。２、三角函數(shù)的正交性：至此，已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達(dá)式，只要這些積分都存在，那么⑥式等號右側(cè)所表示的傅里葉級數(shù)就能用來表達(dá)原函數(shù)f(t)。上述過程就是整個傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)過程。事實上，如果能夠?qū)懗觫奘?，不難求出各個系數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是人們不會想到一個周期函數(shù)竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達(dá)，且這個表達(dá)式是一個無窮級數(shù)。這當(dāng)然就是數(shù)學(xué)家傅里葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。

綜上，傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：1、設(shè)想可以把一個周期函數(shù)f(t)通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式；2、通過變形后用三角級數(shù)（含sin和cos）來表示；3、通過積分，把各未知系數(shù)用f(t)的積分式來表達(dá)；4、最后得到的4個表達(dá)式就是傅里葉級數(shù)公式。在電子學(xué)中，傅里葉級數(shù)是一種頻域分析工具，可以理解成一種復(fù)雜的周期波分解成直流項、基波（角頻率為ω）和各次諧