矩陣可對(duì)角化的判定條件及推廣

=秩=秩=秩=秩=。反之，若秩=，則反復(fù)用本文引理1可得：=，于是有=。從而=，這樣可對(duì)角化。定理6設(shè)為階方陣,則可以對(duì)角化的充要條件為存在兩兩互異的使得。證明必要性設(shè)階方陣可以對(duì)角化,()為的所有互異特征值,由引理2及定理1，從而有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,即故，再由引理3得0，從而有。充分性設(shè)為階方陣且存在兩兩互異的數(shù)使得，記為=。設(shè)為的特征值，則必為的特征值，從而。所以,因此矩陣的特征值的取值范圍為，顯然當(dāng)可逆時(shí)，不是的特征值；當(dāng)可逆時(shí)，是的特征值。因?yàn)榫€性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)即為的特征值的重?cái)?shù)(當(dāng)可逆時(shí),不是的特征值,此時(shí))。從而矩陣線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為。再由引理3，當(dāng)時(shí)，所以，即階方陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,從而可以對(duì)角化。2可對(duì)角化矩陣的相似對(duì)角陣的求法及步驟具體步驟設(shè)，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣的步驟是:(1)求矩陣的全部特征根；(2)如果的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不可對(duì)角化),那么對(duì)每個(gè)特征根,求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(3)如果對(duì)每個(gè)特征根,的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)等于的重?cái)?shù)(否則不可對(duì)角化),那么可對(duì)角化,以所有基礎(chǔ)解系中的向量為列即得階可逆陣,且是對(duì)角陣,而對(duì)角線上的元素是的全部特征根。參考文獻(xiàn)[1]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.[2][蘇]普羅斯庫烈柯夫,周曉鐘譯.線性代數(shù)習(xí)題集[M].北京:人民教育出版社,1981.[3]張枚.高等代數(shù)習(xí)題選編[M].浙江:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1981.[4]秦松喜.高等代數(shù)新編[M].廈門:廈門大學(xué)出版社,2005.[5]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解[M].山東:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.[6]張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，2004.[7]張建航，李宗成.方陣的伴隨矩陣性質(zhì)探討[J].高師理科學(xué)刊,2007，01：11-14.[8]王志武.方陣可對(duì)角化的一個(gè)充要條件[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008，04：3-5.MatrixdiagonalizationofdecisionconditionandpromotionFangShou-qiang2011031103Advisor:LiangJun-pingMajorinPureandAppliedMathematicsCollegeofMathematicsandComputerScience【Abstract】Whethercanmatrixdiagonalization,arethepropertyofmatrixaisveryimportant.Sufficientandnecessaryconditionsofsimilaritydiagonalizationofunderstanding,hasalwaysbeenadifficultprobleminlinearalgebra.Thediagonalizationofmatrixaregiveninthispapercanbeseveralnecessaryandsufficientconditionandthecorrespondingcertifica