概率論與數理統(tǒng)計第四章

概率論與數理統(tǒng)計第四章當前第1頁\共有77頁\編于星期五\2點

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了.當前第2頁\共有77頁\編于星期五\2點例：在評定某地區(qū)糧食產量的水平時，最關心的 是平均產量；在檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度；考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度；當前第3頁\共有77頁\編于星期五\2點

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的.而所謂的數字特征就是用數字表示隨機變量的分布特點。在這些數字特征中，最常用的是數學期望、方差、協方差和相關系數當前第4頁\共有77頁\編于星期五\2點第一節(jié)數學期望離散型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望隨機變量函數的數學期望數學期望的性質小結當前第5頁\共有77頁\編于星期五\2點引例：某7人的數學成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)橐灶l率為權重的加權平均一、離散型隨機變量的數學期望當前第6頁\共有77頁\編于星期五\2點定義1設X是離散型隨機變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請注意:離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數的和.數學期望簡稱期望，又稱為均值。若級數絕對收斂，則稱級數即的和為隨機變量X的數學期望，記為,當前第7頁\共有77頁\編于星期五\2點例1、（0-1）分布的數學期望X服從0-1分布，其概率分布為XP011-pp若X服從參數為p的0-1分布，則E(X)=p當前第8頁\共有77頁\編于星期五\2點例201200.20.80120.60.30.1試比較甲、乙兩人的技術那個好當前第9頁\共有77頁\編于星期五\2點到站時刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數學期望.

例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：

當前第10頁\共有77頁\編于星期五\2點X1030507090

當前第11頁\共有77頁\編于星期五\2點例4當前第12頁\共有77頁\編于星期五\2點定義2設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f(x),如果積分絕對收斂,則稱此積分值為X的數學期望,即請注意:連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分.二、連續(xù)型隨機變量的數學期望當前第13頁\共有77頁\編于星期五\2點例4當前第14頁\共有77頁\編于星期五\2點

例5若將這兩個電子裝置串聯連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數學期望.當前第15頁\共有77頁\編于星期五\2點的分布函數為當前第16頁\共有77頁\編于星期五\2點三、隨機變量函數的數學期望1.問題的提出：設已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數的期望，比如說g(X)的期望.那么應該如何計算呢？一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.當前第17頁\共有77頁\編于星期五\2點那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用這種方法必須先求出隨機變量函數g(X)的分布，一般是比較復雜的.當前第18頁\共有77頁\編于星期五\2點(1)當X為離散型時,它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當X為連續(xù)型時,它的密度函數為f(x).若定理設Y是隨機變量X的函數:Y=g(X)(g是連續(xù)函數)當前第19頁\共有77頁\編于星期五\2點該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便.上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數的情況。當前第20頁\共有77頁\編于星期五\2點當前第21頁\共有77頁\編于星期五\2點例6當前第22頁\共有77頁\編于星期五\2點例7解：

設(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。當前第23頁\共有77頁\編于星期五\2點四、數學期望的性質

1.設C是常數，則E(C)=C;4.設X、Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數，則E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨立時）請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立當前第24頁\共有77頁\編于星期五\2點當前第25頁\共有77頁\編于星期五\2點當前第26頁\共有77頁\編于星期五\2點五、數學期望性質的應用例8求二項分布的數學期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.現在我們來求X的數學期望.當前第27頁\共有77頁\編于星期五\2點

可見，服從參數為n和p的二項分布的隨機變量X的數學期望是np.

X~B(n,p),若設則X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數.E(Xi)==p當前第28頁\共有77頁\編于星期五\2點

本題是將X分解成數個隨機變量之和,然后利用隨機變量和的數學期望等于隨機變量數學期望的和來求數學期望的,此方法具有一定的意義.當前第29頁\共有77頁\編于星期五\2點六、小結這一講，我們介紹了隨機變量的數學期望，它反映了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征.接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機變量另一個重要的數字特征：方差當前第30頁\共有77頁\編于星期五\2點第二節(jié)方差方差的定義方差的計算方差的性質切比雪夫不等式小結當前第31頁\共有77頁\編于星期五\2點

上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數學期望，它體現了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.當前第32頁\共有77頁\編于星期五\2點當前第33頁\共有77頁\編于星期五\2點由此可見,研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到這個數字特征就是我們這一節(jié)要介紹的方差

能度量隨機變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對值,運算不方便,通常用量來度量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度.當前第34頁\共有77頁\編于星期五\2點一、方差的定義

設X是一個隨機變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2當前第35頁\共有77頁\編于星期五\2點若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差D(X)較小；因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。當前第36頁\共有77頁\編于星期五\2點X為離散型，分布率P{X=xk}=pk由定義知，方差是隨機變量X的函數g(X)=[X-E(X)]2的數學期望.二、方差的計算X為連續(xù)型，X概率密度f(x)當前第37頁\共有77頁\編于星期五\2點計算方差的一個簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質當前第38頁\共有77頁\編于星期五\2點例1設隨機變量X具有(0—1）分布，其分布率為求D(X).解由公式因此,0-1分布當前第39頁\共有77頁\編于星期五\2點例2解X的分布率為上節(jié)已算得當前第40頁\共有77頁\編于星期五\2點因此,泊松分布當前第41頁\共有77頁\編于星期五\2點例3解因此,均勻分布當前第42頁\共有77頁\編于星期五\2點例4設隨機變量X服從指數分布,其概率密度為解由此可知,指數分布當前第43頁\共有77頁\編于星期五\2點三、方差的性質1.設C是常數,則D(C)=0;2.若C是常數,則D(CX)=C2

D(X);3.設X與Y是兩個隨機變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}4.D(X)=0P{X=C}=1,這里C=E(X)當前第44頁\共有77頁\編于星期五\2點下面我們證明性質3證明若X,Y相互獨立,由數學期望的性質4得此性質可以推廣到有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.當前第45頁\共有77頁\編于星期五\2點例6設X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設i=1,2，…，n

則是n次試驗中“成功”的次數下面我們舉例說明方差性質的應用.解X~B(n,p),“成功”次數.則X表示n重努里試驗中的當前第46頁\共有77頁\編于星期五\2點于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),當前第47頁\共有77頁\編于星期五\2點例7解于是當前第48頁\共有77頁\編于星期五\2點當前第49頁\共有77頁\編于星期五\2點例如,當前第50頁\共有77頁\編于星期五\2點例8解由于故有當前第51頁\共有77頁\編于星期五\2點四、切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.當前第52頁\共有77頁\編于星期五\2點證我們只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明.當前第53頁\共有77頁\編于星期五\2點當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.當前第54頁\共有77頁\編于星期五\2點例9已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}當前第55頁\共有77頁\編于星期五\2點由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率不小于8/9.當前第56頁\共有77頁\編于星期五\2點六、小結這一講，我們介紹了隨機變量的方差.它是刻劃隨機變量取值在其中心附近離散程度的一個數字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關程度的一個重要的數字特征：協方差、相關系數當前第57頁\共有77頁\編于星期五\2點第三節(jié)協方差及相關系數協方差相關系數小結當前第58頁\共有77頁\編于星期五\2點前面我們介紹了隨機變量的數學期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數學期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關系的數字特征，這就是本講要討論的協方差和相關系數當前第59頁\共有77頁\編于星期五\2點

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協方差2.簡單性質⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義當前第60頁\共有77頁\編于星期五\2點

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.

3、計算協方差的一個簡單公式由協方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特別地D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協方差的關系當前第61頁\共有77頁\編于星期五\2點二、相關系數為隨機變量X和Y的相關系數.定義:設D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為.當前第62頁\共有77頁\編于星期五\2點相關系數的性質：證:由方差的性質和協方差的定義知,對任意實數b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。當前第63頁\共有77頁\編于星期五\2點2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.當前第64頁\共有77頁\編于星期五\2點，Cov(X,Y)=0，事實上，X的密度函數例1設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,不難求得當前第65頁\共有77頁\編于星期五\2點存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.相關系數刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.當前第66頁\共有77頁\編于星期五\2點但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關前面，我們已經看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.4、二維正態(tài)分布獨立與相關的關系當前第67頁\共有77頁\編于星期五\2點三、小結這一節(jié)我們介紹了協方差、相關系數、相關系數是刻劃兩個變量間線性相關程度的一個重要的數字特征.注意獨立與不相關并不是等價的.當(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關當前第68頁\共有77頁\編于星期五\2點第四節(jié)矩、協方差矩陣原點矩中心矩協方差矩陣n元正態(tài)分布的概率密度小結當前第69頁\共有77頁\編于星期五\2點一、原點矩中心矩定義設X和Y是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩存在，稱它為X的k階中心矩可見，均值E（X）是X一階原點矩，方差D（X）是X的二階中心矩。當前第70頁\共有77頁\編于星期五\2點協方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和

Y的

k+L階混合中心矩.設X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，當前第71頁\共有77頁\編于星期五\2點二、協方差矩陣將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協方差矩陣.這是一個對稱矩陣當前第72頁\共有77頁\編于星期五\2點

類似定義n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣.為(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣都存在,(i,j=1,2,…,n)若矩陣稱當前第73頁\共有77頁\編于星期五\2點三、n元正態(tài)分布的概率密度f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分布.其