福建省三明市永安第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

福建省三明市永安第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.八個(gè)一樣的小球按順序排成一排，涂上紅、白兩種顏色，5個(gè)涂紅色，三個(gè)涂白色，求恰好有個(gè)三個(gè)的連續(xù)的小球涂紅色，則涂法共有（

）A

24種

B

30種

C

20種

D

36種

參考答案：A2.已知實(shí)數(shù)x，y滿足記該不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，且，，，現(xiàn)有如下說法：①，；②，；③，.則上述說法正確的有（

）個(gè).A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，依題意，所以①②是正確的，故選C.

3.下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y=sin2x B．y=|cosx| C．y=﹣tanx D．參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)以π為最小正周期，y=cos的周期為=4π，可排除D．在區(qū)間上，2x∈（π，2π），y=sin2x沒有單調(diào)性，故排除A．在區(qū)間上，y=﹣tanx單調(diào)遞減，故排除C，故只有y=|cosx|滿足以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)，故選：B．4.已知全集為R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，則A∩?RB=（）A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}參考答案：C考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題：集合．分析：先求出集合AB，再求出B的補(bǔ)集，根據(jù)交集的定義即可求出．解答：解：∵全集為R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴?RB={x|x＜1或x＞2}，∴A∩?RB={x|0≤x≤1或x＞2}故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．5.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2+bi，其中i為虛數(shù)單位，若z1?z2為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b=（） A．﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2參考答案：考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)的基本概念．專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析： 由題意可得z1?z2=2﹣b+（2+b）i，由實(shí)數(shù)的定義可得2+b=0，解方程可得．解答： 解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1?z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1?z2為實(shí)數(shù)，∴2+b=0，解得b=﹣2故選：A點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題．6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x=（

）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：B執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可知：第一循環(huán)：，不滿足條件；第二循環(huán)：，不滿足條件；第三循環(huán)：，不滿足條件；第四循環(huán)：，不滿足條件；第五循環(huán)：，不滿足條件；第六循環(huán)：，不滿足條件；第七循環(huán)：，滿足條件，輸出結(jié)果，故選B．

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊．齊去長(zhǎng)安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里，駕馬初日行九十七里，日減半里．良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬．何日相逢，”其大意為：“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時(shí)從長(zhǎng)安出發(fā)到齊去，已知長(zhǎng)安和齊的距離是3000里，良馬第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良馬到齊后，立刻返回去迎駑馬，多少天后兩馬相遇．”現(xiàn)有三種說法：①駑馬第九日走了93里路；②良馬四日共走了930里路；③行駛5天后，良馬和駑馬相距615里．那么，這3個(gè)說法里正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【分析】據(jù)題意，良馬走的路程可以看成一個(gè)首項(xiàng)a1=193，公差d1=13的等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為Sn，駑馬走的路程可以看成一個(gè)首項(xiàng)b1=97，公差為d2=﹣0.5的等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為Tn，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及其前n項(xiàng)和公式分析三個(gè)說法的正誤，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，良馬走的路程可以看成一個(gè)首項(xiàng)a1=193，公差d1=13的等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為Sn，駑馬走的路程可以看成一個(gè)首項(xiàng)b1=97，公差為d2=﹣0.5的等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為Tn，依次分析3個(gè)說法：對(duì)于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正確；對(duì)于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850；故②錯(cuò)；對(duì)于；③S5=5a1+10×d1=5×193+10×13=1095，T5=5b1+10d2=580，行駛5天后，良馬和駑馬相距615里，正確；故選：C8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比不等于的等比數(shù)列（）.對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①，

②，

③，

④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為

………（

）

①②．

③④．

①②④．

②③④．參考答案：C對(duì)于①，lnf(an)=ln=-lnan=-ln(a1qn-1)=-lna1-(n-1)lnq為等差數(shù)列，故①是，(B)、(D)均錯(cuò)；對(duì)于④，lnf(an)=ln=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq為等差數(shù)列，故④是，(A)錯(cuò)，故選(C).10.定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值范圍是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]參考答案：B【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），再利用函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可畫出可行域，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2﹣x，﹣y），∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），∵函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，∴x2﹣2x≥b2﹣2b，化為（x﹣1）2≥（b﹣1）2，∵0≤x≤2，∴或．畫出可行域．設(shè)x﹣b=z，則b=x﹣z，由圖可知：當(dāng)直線b=x﹣z經(jīng)過點(diǎn)（0，2）時(shí)，z取得最小值﹣2．當(dāng)直線b=x﹣z經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，z取得最大值2．綜上可得：x﹣b的取值范圍是[﹣2，2]．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，0]【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】先對(duì)函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣3x進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0問題，進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍．【解答】解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．則必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．12.設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是[2，+∞）．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：寫出f（x+a）的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)圖象可得其增區(qū)間，由題意知[0，+∞）為f（x+a）的增區(qū)間的子集，由此得不等式，解出即可．解答：解：因?yàn)閒（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，則f（x+a）的增區(qū)間為[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案為：[2，+∞）．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，則（a，b）為f（x）單調(diào)區(qū)間的子集．13.已知四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，且，底面ABCD的邊長(zhǎng)均大于2，且，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且在AB，AD上的射影分別為M，N，若|PA|=2，則三棱錐體積的最大值為______．參考答案：由條件可得，A、M、P、N四點(diǎn)在以PA為直徑的圓上，所以由正弦定理得，所以、在△PMN中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)PM=PN時(shí)取等號(hào)，所以，所以底面△PMN的面積，當(dāng)且僅當(dāng)PM=PN時(shí)取最大值，故三棱錐的體積．14.給出下列命題中①非零向量滿足，則的夾角為；②＞0，是的夾角為銳角的充要條件；③將函數(shù)y=的圖象按向量=(－1,0)平移，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=；④在中，若，則為等腰三角形；以上命題正確的是

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案：①③④15.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。參考答案：略16.已知p：2x2﹣7x+3≤0，q：|x﹣a|≤1，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：≤a≤2【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用不等式的解法，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由2x2﹣7x+3≤0，得，由|x﹣a|≤1，得：a﹣1≤x≤1+a，若p是q的必要不充分條件，則，即，即≤a≤2.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的解法求出不等式的解是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．17.給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是

。參考答案：②④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，為兩非零有理數(shù)列（即對(duì)任意的，均為有理數(shù)），為一無理數(shù)列（即對(duì)任意的，為無理數(shù)）.（1）已知，并且對(duì)任意的恒成立，試求的通項(xiàng)公式.（2）若為有理數(shù)列，試證明：對(duì)任意的，恒成立的充要條件為.（3）已知，，對(duì)任意的，恒成立，試計(jì)算.參考答案：(1)；(2)證明見解析；(3)．試題分析：(1)直接運(yùn)用題設(shè)中的條件解方程求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用充分必要條件進(jìn)行求解；(3)依據(jù)題設(shè)條件和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行綜合求解（3），∴，∴或∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴∴為有理數(shù)列，∵，∴，∴，∵為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴考點(diǎn)：數(shù)列與三角變換等知識(shí)的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】數(shù)列推證題是上海市高考?？碱}型之一,也是上海市高考必考的重要考點(diǎn).解答這類問題的思路依據(jù)題設(shè)條件,綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法去分析問題和解決問題.本題的解答過程中,所有計(jì)算與求解都是推理論證能力的體現(xiàn)和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.如第一問中的求數(shù)列的通項(xiàng)公式,則是運(yùn)用方程思想建立方程進(jìn)行求解的;再如第二和第三問中的證明和計(jì)算求解的過程也是通過建立方程組來實(shí)現(xiàn)的.19.已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)一千件,需要另投入2.7萬元,設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=(1)寫出年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式.(2)年生產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大?參考答案：解:(1)當(dāng)0<x≤10時(shí),W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;當(dāng)x>10時(shí),W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.∴年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式為W=(2)當(dāng)0<x≤10時(shí),由W′=8.1->0?0<x<9,即年利潤(rùn)W在(0,9)上增加,在(9,10)上減少,∴當(dāng)x=9時(shí),W取得最大值,且Wmax=38.6(萬元).當(dāng)x>10時(shí),W=98-(+2.7x)≤98-2=38,僅當(dāng)x=時(shí)取“=”,綜上可知,當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí),該公司這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大,最大值為38.6萬元.略20.如圖，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面APC；參考答案：解：(1)由已知得，MD是△ABP的中位線

∴MD∥AP∵M(jìn)D?面APC，AP?面APC∴MD∥面