山東省青島市膠州第九中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山東省青島市膠州第九中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等邊△ABC的邊長為，AD是BC邊上的高，將△ABD沿AD折起，使之與△ACD所在平面成1200的二面角，這時A點到BC的距離是A、B、C、3D、2參考答案：A2.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則此直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”．結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為A．大前提錯誤

B．推理形式錯誤

C．小前提錯誤

D．非以上錯誤參考答案：A3.若已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為A．a(chǎn)2

B．a(chǎn)2

C．a(chǎn)2

D．a(chǎn)2參考答案：C略4.已知是拋物線上的兩個動點且，則中點到直線距離的最小值是（

）A．8

B．9

C．10

D．7參考答案：B5.點M的直角坐標(biāo)是（），則點M的極坐標(biāo)為（

）.A.(2,)

B.(2,)

C.(2,)

D.(2,)，（）參考答案：C12.定義在上的函數(shù)對任意滿足已知該函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示,則=A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A略7.設(shè)全集，則A∩B=（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】分別求出集合、，利用交集的定義求出【詳解】，由于，所以，故答案選C。【點睛】本題考查一元二次不等式與對數(shù)不等式的解以及集合交集的運算，屬于基礎(chǔ)題。8.對具有線性相關(guān)的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…6），其回歸直線方程是，且x1+x2+…+x6=10，y1+y2+…+y6=4，則實數(shù)a的值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】線性回歸方程．【專題】對應(yīng)思想；待定系數(shù)法；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點（，），代入方程計算即可．【解答】解：因為=×（x1+x2+…+x6）==，=×（y1+y2+…+y6）==，代入回歸直線方程中，即，解得．故選：A．【點評】本題考查了回歸直線方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．9.下列函數(shù)中與函數(shù)奇偶性相同且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.下列推理合理的是（）A.若函數(shù)y＝f（x）是增函數(shù)，則f'（x）＞0B.因為a＞b（a，b∈R），則a+2i＞b+2i（i是虛數(shù)單位）C.A是三角形ABC的內(nèi)角，若cosA＞0，則此三角形為銳角三角形D.α，β是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則sinα＞cosβ參考答案：D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)、虛數(shù)、三角函數(shù)的相關(guān)知識一一進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】解：對于A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的概念可知，若f（x）是增函數(shù)，則f'（x）≥0，故錯誤；對于B，虛數(shù)無法比較大小，故錯誤；對于C，若A是△ABC的內(nèi)角，且cosA＞0，則A為銳角，但△ABC不一定為銳角三角形，故錯誤．對于D，若α，β是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，∴α+β，∴sinα＞sin（β）＝cosβ，故正確；故選：D．【點睛】本題主要考查命題真假的判定與應(yīng)用，涉及的知識有函數(shù)、虛數(shù)、三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式等，需靈活運用所學(xué)知識進(jìn)行判定.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前n項和為，若，則等于

參考答案：略12.已知a∈R，若f（x）=（x+﹣1）ex在區(qū)間（1，3）上有極值點，則a的取值范圍是．參考答案：（﹣27，0）【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出滿足條件的a范圍即可．【解答】解：∵f（x）=（x+﹣1）ex，∴f′（x）=（）ex，設(shè)h（x）=x3+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+a，a≥0時，h′（x）＞0在（1，3）上恒成立，即函數(shù)h（x）在（1，3）上為增函數(shù)，∵h(yuǎn)（1）=1＞0，函數(shù)f（x）在（1，3）無極值點，a＜0時，h（x）=x3+a（x﹣1），∵x∈（1，3），h′（x）=3x2+a，令h′（x）=0，解得：a=﹣3x2，若在區(qū)間（1，3）上有極值點，只需a=﹣3x2有解，而﹣27＜﹣3x2＜0，故﹣27＜a＜0，故答案為：（﹣27，0）．13.關(guān)于x的不等式：至少有一個負(fù)數(shù)解，則a的取值范圍是

。參考答案：略14.已知，點在平面內(nèi)，則

參考答案：11略15.若雙曲線的離心率為2，則的值為

▲

．參考答案：3

略16.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________參考答案：(1,3]17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（）的一條漸近線與直線：垂直，則實數(shù)

▲

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？參考答案：（1）在矩形中，連結(jié)交于，則點為的中點．只要證即可；（2）以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成角為，先求平面的法向量，再利用求值；（III）假設(shè)存在滿足已知條件的，由，得．求平面和平面的法向量，利用空間二面角的夾角公式列方程組，若方程組有解則肯定回答，即存在滿足已知條件的；否則則否定回答，即不存在滿足已知條件的．試題解析：（I）證明：在矩形中，連結(jié)交于，則點為的中點．在中，點為的中點，點為的中點，．又平面平面平面

由則．由平面平面且平面平面，得平面又矩形中以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為可?。O(shè)直線與平面所成角為，則．

（3）設(shè)，得．設(shè)平面的法向量為則由得

由平面與平面所成的銳二面角為得，或（舍）．故在上存在滿足條件．

19.觀察以下5個等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子規(guī)律：（1）寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N*）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N*）參考答案：【考點】F1：歸納推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左邊有n個連續(xù)奇數(shù)相加減，右邊為n（n為偶數(shù)）或n的相反數(shù)（n為奇數(shù)），進(jìn)而得到結(jié)論；（2）當(dāng)n=1時，由已知得原式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時，原式成立，推理可得n=k+1時，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…歸納可得：第6個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

…第n個等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn…（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn①當(dāng)n=1時，由已知得原式成立；…②假設(shè)當(dāng)n=k時，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）kk…那么，當(dāng)n=k+1時，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1時，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．20.已知函數(shù)，.（1）若點(1,－1)在圖象上，求圖象在點(1,－1)處的切線方程；（2）若，求的極值.參考答案：（1）；（2）極大值為，無極小值.【分析】（1）由點在圖象上可得a的值，可得的解析式，對求導(dǎo)可得，求的可得圖象在點處的切線方程；（2）對求導(dǎo)，可得時的值，對x分類討論可得的極值.【詳解】解：（1）∵在圖象上，∴.解得.∴，，，即圖象在點處的切線斜率為0，∴圖象在點處的切線方程為.（2）定義域為，.當(dāng)時，∵，∴.令得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值：，沒有極小值.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查轉(zhuǎn)化和化歸的能力、運算求解能力，難度中等.21.在中，已知.（1）求角和角的大?。?/p>

（2）求的面積.參考答案：解：（1）由，得.所以或；

（4分）（2）或

.

（8分）略22.已知與圓相切的直線交軸，軸于兩點，,(1)求證：(2)求線段AB中點的軌跡方程；(3)求△AOB面積的最小值．參考答案：(1)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2..