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3.4基本不等式:學(xué)科網(wǎng)第24屆國際數(shù)學(xué)家大會
會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客.1.你能在這個圖案中找出面積間的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?BACDEFGH探究點1探究基本不等式BACDEFGH則正方形ABCD的面積是________,這4個直角三角形的面積之和是_________,設(shè)AE=a,BE=b,a2+b22ab>Z.x.x.K有可能相等嗎???又什么時候取等于號呢?ADBCEFGHba重要不等式:一般地,對于任意實數(shù)a、b,我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。ABCDE(FGH)ab一般地,對于任意實數(shù)a,b,我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.2.你能給出它的證明嗎?特別地,我們用,分別代替可得構(gòu)造條件二、應(yīng)用例1、若,求的最小值.變3:若,求的最小值.變1:若求的最小值變2:若,求的最小值.發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu),應(yīng)用不等式問:在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件“a>0,b>0”可以變化嗎?三、應(yīng)用例2、已知,求函數(shù)的最大值.變式:已知,求函數(shù)的最大值.發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu),應(yīng)用不等式均值定理:已知x,y都是正數(shù),(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y有最小值;(2)如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值條件說明:1、函數(shù)式中各項必須都是正數(shù).2、函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須都是常值(定值).3、等號成立條件必須存在.“一正二定三等”,這三個條件缺一不可.應(yīng)用基本不等式求最值的條件:
a與b為正實數(shù)若等號成立,a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大(a>0,b>0)分析:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,面積確定,則xy=100,籬笆的長為2(x+y)m.即求(x+y)的最小值.例1(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?解:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則xy=100,籬笆的長為2(x+y)m.等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立,此時x=y=10.因此,這個矩形的長、寬都為10m時,所用籬笆最短,最短籬笆是40m.分析:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,周長確定,則2(x+y)=36,籬笆的面積為xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大.最大面積是多少?解:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜園的面積為xym2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時,等號成立.因此,這個矩形的長、寬都為9m時,菜園的面積最大,最大面積是81m2.練習(xí)4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,求的最小值?
2、(04重慶)已知則xy的最大值是
。高考方向標(biāo):1、當(dāng)x>0時,的最小值為
,此時x=
。21
3、若實數(shù),且,則的最小值是()A、10B、C、D、4、在下列函數(shù)中,最小值為2
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