中考?？蓟編缀文Ｐ?6類

中考?？蓟編缀文Ｐ?6類模型是對基礎(chǔ)知識的深刻認識與提煉出的基本類型，注重基本知識的教學(xué)是強化模型思想意識的前提，注重模型在知識與知識中的應(yīng)用，在具有實際背景中的應(yīng)用等，可有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模與解題能力.（數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.）模型1：將軍飲馬模型如圖1,已知直線l和直線l外同側(cè)兩定點A、B,在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小.作法：作A（B）點關(guān)于直線l的對稱點D，連接BD與直線l相交于一點，則此點為所求作的P點，PA+PB的值也最小.說明：這里利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，將一定直線同側(cè)兩定點問題轉(zhuǎn)化為一定直線異側(cè)兩定點問題來達到求解的目的.細細分析這個基本幾何模型，會發(fā)現(xiàn)隱含有如下兩個基本結(jié)論：其一：同側(cè)兩三角形相似的問題如圖1,若連接AD，交直線l于點石，并過點B作BF±l于點F，則有AAEP^ADEP^ABFP，如圖2所示.例如圖2-1,點E為長方形ABCD邊CD上一點，在線段AD上作一點P，使AABPsADEP（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）.解：由于點B、點E均為定點且在定直線AD的同側(cè)，要在AD上求一點P,使AABP-ADEP，所以本題符合基本模型中隱含的第一類問題，于是作B點（或E點）關(guān)于AD的對稱點B'點（或E'點），連接B'E（或EB）,B'E（或E'B）與AD的交點即為所求作的P點，如圖2-2所示.其二：同側(cè)兩線段差值最大的問題如圖3所示，連接AB（不妨假設(shè)點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離），設(shè)直線AB與直線l相交于點P,借助三角形的三邊關(guān)系，可證明：PA-PBWAB.即：一定直線同側(cè)兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大

值是兩定點的距離.同側(cè)兩線段差值最大問題的變式:如圖4所示，作點A關(guān)于直線l的對稱點D，連接BD（不妨假設(shè)點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離），設(shè)直線BD與直線l相交于P點,借助三角形的三邊關(guān)系，可證明：PA-PBWBD.即：一定直線異側(cè)兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大值等于其中一定點關(guān)于這條直線對稱后的點與另一定點之間的距離.例如圖4-1,在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=6,P為對角線BD上一點，則PM—PN的最大值為.解：由于點M、點N是兩個定點，并在定直線BD的異側(cè)，要在BD上求一點P，使PM-PN的值最大，這顯然屬于基本模型中隱含的第二類問題中的變式形式，于是不妨作N點關(guān)于BD的對稱點N'點，則PM-PN的最大值就是線段MN的長，如圖4-2所示.???四邊形ABCD是正方形，AB=8,點O是對角線AC與BD的交點，N是AO的中點，BM=6，,OA=OC,BD±AC,CM=2的中點，BM=6，,OA=OC,中點,貝UACBAs中點,貝UACBAsACMN', =即MN=2.BA4練習(xí)：2015年陜西中考副題第14題；2018年陜西中考副題第25題（三線段共線問題）模型2：三垂直模型如圖5,AABC中，ZABC=90。，B點在直線l上，若過A、C點分別作l的垂線，垂足分別為D、石，則AADBsAB/C；若AB=BC時，則有AADB^ABEC.練習(xí)：2014年陜西中考副題第14題模型3:邊定角等模型如圖6,已知/A及其所對邊BC的長均為定值時，求所有符合條件的A點或符合條件的三角形的最大面積.作法：先作一個符合條件的特殊AABC,再作它的外接圓。O,那么在松C上任取一點D（不與B、C重合），它與BC所構(gòu)成的 Ea三角形都滿足BC的長及BC所對的角是定值的要求.由圓的知識可 JZ知：所有符合題意的三角形就是上面點D與BC所構(gòu)成的三角形.要 /。它的面積最大，只要三角形BC邊上的高最長即可.作BC的垂直平//JC分線，設(shè)它與憐AC交于E點，與BC交于F點，于是S的最大圖6AABC1—.值就是5EF-BC.

例如圖6-1,以正方形ABCD的一邊BC為邊向四邊形內(nèi)作等腰ABCE,BE=BC,過E作EH±BC于H，點P是RtABEH的內(nèi)心，連接AP，若AB=2，則AP的最小值為（請在圖中畫出點P的運動路徑）.解：???點P是RtABEH的內(nèi)心，??.連接PE、PB,如圖6-2所示，???/EHB=90。，DA圖6-1HB圖6-2???/BPE:135。，又、?等腰ABCE是以BC為邊向正方形ABCD內(nèi)作的，且BE=BC=2,?BE的長是確定的，位置是不確定的.若連接PC，由等腰三角形的性質(zhì)可知：ABPE與ABPC關(guān)于BP所在的直線i成軸對稱，且P點在直線i上，于是DA圖6-1HB圖6-2在ABPE中研究P點與A點的關(guān)系，就可轉(zhuǎn)化在ABPC中來研究P點與A點的關(guān)系，在ABPC中，?二BC為定邊，/BPC=135。，.?.P點應(yīng)在以B、P、C三點確定的圓上，設(shè)圓心為。，則P點的運動路徑為BC（不含B、C兩點），如圖6-3所示..,.求AP的最小值就轉(zhuǎn)化為求圓外一點到圓上一點的最短距離了，于是連接OA、OB、OC，過O作OF±AB于F，7/BPC=135。，則BC為90。的弧，?/BOC=90。，則ABOC為等腰直角三角形，，ABOF也是等腰直角三角形，又:AB=2，.?.OB=無即圓半徑為<2，則OF=BF=1，.,.由勾股定理得：OA=JOF2+（AB+BF）2="0，則AP的最小值為"0-v'2.練習(xí)：2014年陜西中考第25題、中考副題第25題；2016年陜西中考第25題第⑶問（存在性作圖）；2017年陜西中考副題第25題.模型4:點、線平移模型如圖7所示，在直角坐標系中，當(dāng)線段AB平移至CD時，若已知A點坐標為（x,y），B點坐標為（x,y），C點坐標為1 1 2 2（x+k,y+h），則D點坐標就是（x+k,y+h）.11 22練習(xí)：2014年陜西中考副題第14題；第24題常用.模型5:平行四邊形中，過中心的線平分平行四邊形的面積模型D如圖8,YABCD中，AC與BD相交于O點.若過O點任作一條直線l，則l將YABCD平分成兩部分，且這兩部分全等（面積相等）.D練習(xí)：2013年陜西中考第25題；2017年陜西中考第25題第⑵問.

模型6：角的頂點在一圓中相切線上，則這些角中必有最大值的問題模型如圖9,直線l與eO相切于P點，P是直線l上任意一點，則有/APB^ZAPB.練習(xí)：2015年陜西中考第25題2015年陜西中考副題第25題模型7：共斜邊的直角三角形的所有頂點在同一圓上的問題模型C四點、B、例（2017陜西中考第14題）：如圖11/BAD=/BCD=90°,連接AC，若AC=6,,在四邊形ABCD中則四邊形ABCD的面積為圖10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,?,.A、過D作DF±C四點、B、例（2017陜西中考第14題）：如圖11/BAD=/BCD=90°,連接AC，若AC=6,,在四邊形ABCD中則四邊形ABCD的面積為圖10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,?,.A、過D作DF±AC于F，如圖12所示，B、則C、D四點共圓過B作BE±AC于E,/AEB=/DFA=90°，又/BAD=90°=/BAE+ZDAF,ZABE=/DAF,又???AB=AD,AABE^ADAF,ZDCA=ZBCA=45??.BE=AF,DF=CF,/CDF=/DCF=45°,??.BE+DF=AF+CF=6.DDCA圖11圖12B則°,則則S四邊形ABCD,aBCA+'aDCA=1AC-BE+1AC-DF=1AC-(BE+DF)=18.模型8：點到直線上的所有連線中，垂線段最短的問題模型垂線段AP最短.PC垂線段AP最短.PC為鄰邊作的平行四邊形，...對角線PQ與AC的交點。點應(yīng)平分PQ與AC,而AC的如圖13,定點A與定直線m上各點的連線中，長與位置是固定的，則。點就是一個定點，又??.點P是BC上任意一點，因此要PQ最小，只要OP±長與位置是固定的，則。點就是一個定點，又??.點P是BC上任意一點，因此要PQ最小，只要OP±BC即可，如圖14-2所示.???/BAC=90。，AB=3,AC=4，,OC=2,由勾股定理可得：BC—5,；.sin/BCA=――=――，則0P=—，.二pQ的最小值為二~.BCOC 5 5練習(xí)：2016年陜西中考副題第14題模型9:過圓內(nèi)一點，有最長（短）弦的問題模型如圖15,在eO中，點A是eO內(nèi)部異于圓心O的一點，則過點A所作的弦中，有最長弦直徑EF即過點A、過圓心。的弦；有最短弦CD即過點A、且與EF垂直的弦.例如圖16,AB是eO的弦，AB=6，點C是eO上的一個動點，且/ACB=45o.若點M,N分別是AB,BC的中點，則MN長的最大值是 .1一解：由于點M,N分別是AB,BC的中點，則MN=-AC.DDb要MN最大，則只要AC最大.由于AC是eO的弦，點C是eO上的一個動點，當(dāng)C點運動時，AC就有可能過圓心O，于是AC就變?yōu)閳A中最長的弦直徑了，如圖17所示.?^ACB=45o,AB=6,圖15???AC最大為6V'2，則MN=3<2.圖16 圖17練習(xí)：2014年陜西中考副題第16題2016年陜西中考副題第25題模型10：借三邊關(guān)系可求最值的問題模型如圖18,點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b（a>b）.則AC的最大值為a+b；AC的最小值為a—b.例如圖19,在AABC中，ZACB=90。，AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點（不與點B重合），將ABCP沿CP所在的直線翻折，得到ABCP,連接B'A,則B'A長度的最小值為.解：在圖19中，?二乙ACB=90。，AB=5,BC=3,.,.由勾股定理得：AC=4；由折疊性質(zhì)知：CB=CB=3.在AACB中，由三角形的三邊關(guān)系有：^A—CB'<B'A,?.?CA、CB的長均為定值，要B'A的長有最小值，只要有CA-CB'=B'A即B'點能落在AC上時，B'A的長有最小值（這解決了求BAA長度有最小值的可能性問題）.另一方面：當(dāng)CP所在的直線是/ACB的平分線時，將ABCP沿CP所在的直

線翻折，得到ABCP,此時B'點恰好落在AC上即有CA-CB'=B'A（這解決了求B'A長度有最小值的存在性問題），如圖20所示，???B'A長度的最小值是1.練習(xí)：2014年陜西中考副題第23題2016年陜西中考副題第25題模型11:圓（內(nèi)）外一點到圓上一點的最值問題模型如圖21所示，M點是eO的圓內(nèi)或圓外的任意一點，則過圓心O點、M點的直線與圓交于F點，H點，則線段MF的長就是M點與圓上任意一點連線的最大值；線段MH的長就是M點與圓上任意一點連線的最小值.用幾何直觀性來分析:當(dāng)過M點的直線與過M點直徑所在的直線所構(gòu)成的夾角越小，則相對來說MF的長也就越大了.例如圖22,在矩形ABCD中，AD=2,AB=3，點E是AD邊的中點，點F是射線AB上的一動點，將AAEF沿EF所在直線翻折得到AA'EF，連接AC,則AC的最小值為.解：二.點E是AD邊的中點，AD=2,AA'EF是AAEF沿EF所在直線翻折得到的，??.EA=EA=1,又\,點F是射線AB上的一動點，，點A'也隨著點F的運動而變化，但點A到定點E的長是定值1,則點A在以E點為圓心，1為半徑的圓?。ㄔ诰匦蜛BCD內(nèi)）上，如圖23所示，從而把求AC的長轉(zhuǎn)化成求圓外一點到圓上一點的最短距離問題，如圖24所示，連接CE，則CE=\，CD2+DE2=./10，二A'C的最小值為<10-1.練習(xí)：2017年陜西中考第25題第⑶問模型12:直角三角形中，三邊的函數(shù)關(guān)系問題模型如圖25,AABC中，ZACB=90°,當(dāng)a為定值時，對c2=a2+b2來說：當(dāng)b有最大（?。┲禃r，貝吧也有最大（?。┲?；反之，當(dāng)有最大（小）值時，則b也有最大（小）值；當(dāng)c為定值時，對b2=c2-a2來說：當(dāng)a有最大（?。┲禃r，則b也有最小（大）值.例如圖26,在邊長為3的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且AF±EF，則AE的最小值為.解：設(shè)CF=x（0Vx<3）,則DF=3-x.?.?四邊形ABCD是正方形，且AF±EF,ADDF （3-x）?x???AADFsAFCE,則—=--，:,CE=（ ）.由于AB為定值，在直角三角形CFCE 3

TOC\o"1-5"\h\z一— 一— 1 3.3AB中,要AE最小,則要^^最小即要CE最大即可.：CE一行(x一升+“又丁1…-3 - 3 -—7＜。且。＜x＜3，，當(dāng)x=—時，CE有最大值7，則BE最小為3 2 49 - 15:，???由勾股定理可得：AE的最小值為二.44模型13:已知四邊形兩條對角線的長，求四邊形面積最大值的問題模型如圖27,四邊形ABCD中，已知AC、BD的長是確定的，要求四邊形ABCD面積的最大值，則S=:AC-BD. n,2-圖27B練習(xí)：如圖27-1，在RtAABC中，ZABC=90。，AB=4，BC=3，點D，E在AABC所在的平面內(nèi)，且CE=1，點D在AC的上方，連接AE，BD.若AE=BD，則四邊形abed面積的最大值為 模型14:已知三角形兩邊之和為定值，且夾角確定，求三角形面積最大值的問題模型如圖28，已知中AABC，/ABC=?！?，點D、E分別是AB、BC上的兩動點，且BD+BE=m.則有TOC\o"1-5"\h\z1 1 m m2S=BDgBEsin0=——sin9(BD——)2+——sin9，abde 2 2 2 8__m m2當(dāng)BD=—時，S有最大面積為sin0［當(dāng)0>90時,2 ABDE 8m2最大面積為丁