人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上角平分線的性質(zhì)1教案教學(xué)設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案課時(shí)作業(yè)試卷同步練習(xí)含答案解析

角平分線的性質(zhì)（1）【目標(biāo)導(dǎo)航】1．會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線，并能解釋其原理．2．角平分線的性質(zhì)定理和判定定理．【預(yù)習(xí)引領(lǐng)】探究：如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是角平分線，你能說(shuō)明其中的道理嗎？ADBCE【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1.作已知角的平分線的方法：∠AOB∠AOB的平分線已知：求作：AOB練習(xí)：已知：∠AOB求作：∠AOB的四等分線AOB21探究：如圖，將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？AOBADPCOEB知識(shí)點(diǎn)2.角的平分線的性質(zhì)及判定定理：1．如圖∵OP平分∠AOB，點(diǎn)P在射線OP上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D(角平分線的性質(zhì)定理∴)2．∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴(角平分線的判定定理)ACPODB3．如圖，公路南有一學(xué)校在鐵路的東側(cè)，到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且與兩路交叉處O的距離為300m，你能在圖上標(biāo)出學(xué)校的位置嗎？鐵路0B公路A3．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線理中正確的個(gè)數(shù)是（①AD上任意一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).下列推）到點(diǎn)C，B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AC，AB的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDFAFEBDC【例題講解】例1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cmAB=7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于F（1）求證：△ACD≌△AED（2）求EB的長(zhǎng)AEBDC例2．如圖，∠B=∠C，D為BC的中點(diǎn)，ED⊥AB，DF⊥AC，求證：AD平分∠BACAFEBDC22【課堂操練】1.如圖，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE交于點(diǎn)O，且∠1=∠2，求證：OB=OCA12EDOCB2.如圖，∠A=∠B=90°，M是AB的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：CM平分∠BCDADMBC3．如圖，BA平分∠CAD，BC⊥AC于D，BD⊥AD于D，E是AB上一點(diǎn)，EB平分∠CED嗎？為什么？當(dāng)E點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上或AB的反向延長(zhǎng)線時(shí)，上述結(jié)論成立嗎？請(qǐng)分別證明.CABEDCBAEDCABED【課后鞏固】1．下列說(shuō)法：①角的內(nèi)部任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；?②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；④△ABC中∠BAC的平分其中正確的（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)線上；③角的平分線上任意一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，2.已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E,且DE=3cm,則點(diǎn)D到AC的距離是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm3．如圖1，已知CE、CF分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線，?則圖中與∠BCE互余的角有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)4．如圖2，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，則下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分其中正確的是（）A．①②③④線上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線上；④點(diǎn)P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分線的交點(diǎn)，B．①②③C．④D．②③AEBEFPBDACCD（2（1））5．如圖3，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，則下列結(jié)論：①∠3=∠4；?②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正確的有（）A．①②③④C．①③B．①②③D．①③④6．如圖4，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=?2cm，則AB與CD之間的距離是___________．AAB34EPBD2156CCD（4）(3)7．角的平分線上的點(diǎn)到_______________相等；到___________________相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．8．如圖要求到三條公路距離相等，則可供選5，三條公路兩兩交于點(diǎn)A、B、C，現(xiàn)要修一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，擇的地址有處S區(qū)(5)9．請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)135度的角．10．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，?求證：PB=PC．APDBC2311．如圖，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于點(diǎn)①若OC=OB，求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．O在∠BAC的平分線上，求證：OC=OB．O．②若點(diǎn)CEOADB12．如圖，BE和CD是△ABC的兩條高，在BE上截取BF=CA，延長(zhǎng)CD?至點(diǎn)H，使HC=AB．求證：①AF=AH；②AF⊥AH。HADEFBC【課外拓展】如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線。1①求證：∠BPC=90°-∠BAC.2②根據(jù)第①問(wèn)的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類(lèi)屬于什么三角形？ABCEDP參考答案：角平分線的性質(zhì)（1）【預(yù)習(xí)引領(lǐng)】探究：答案：∵AB=AD，BC=DC，AC=AC,∴△ADC≌△ABC(SSS).∴∠DAC＝∠BAC.∴AE就是角平分線.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1.答案：1.以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交OA、OB于點(diǎn)D、E;12.分別以D、E為圓心,以大于DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)C;23.過(guò)O、C作射線OC;∴OC就是1.作∠AOB的平分線OC;2.分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE.∴OC、OD、OE就是∠AOB的四等分線PD=PE.∠AOB的平分線.練習(xí)：答案：.探究：答案：知識(shí)點(diǎn)2.1．PC=PD2．PC=PDOP平分∠AOB3．答案：4．答案：①②③④【例題講解】能,在∠AOB的平分線上,且距點(diǎn)O的距離為300m.例1．答案：(1)∵DE⊥AB,∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DC=DE.又AD=AD,∠C=∠AED=90°，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)(2)∵△ACD≌△AED,∴AC=AE.又AC=4cm,AB=7cm，∴EB=AB-AE=AB-AC=7-4=3(cm).例2．答案：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.又ED⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∠B=∠C，∴△BDE≌△CDF.∴DE=DF.又ED⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.【課堂操練】1.答案：∵CD⊥AB，BE⊥AC,∠1=∠2，∴OD=OE.又CD⊥AB，BE⊥AC,∴∠BDO=∠CEO=90°，又∠BOD=∠COE,∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.2.答案：過(guò)M作MF⊥CD交CD于點(diǎn)F.又∠A=90°，DM平分∠ADC，∴AM=FM.又M是AB的中點(diǎn)，∴AM=BM.∴FM=BM.又∠B=90°，MF⊥CD,∴CM平分∠BCD.3．答案：EB平分∠CED.∵BA平分∠CAD，BC⊥AC，BD⊥AD,∴BC=BD.又BC⊥AC，BD⊥AD,∴∠ACB=∠ADB=90°，又BC=BD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD.又BC=BD,EB=EB,∴△BCE≌△BDE(SAS)∴∠CEB=∠DEB.即EB平分∠CED.答案：當(dāng)E點(diǎn)在AB的反向延長(zhǎng)線時(shí)，∵BA平分∠CAD，BC⊥AC，BD⊥AD,∴BC=BD.EB平分∠CED.又BC⊥AC，BD⊥AD,∴∠ACB=∠ADB=90°.又BC=BD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD.又BC=BD,EB=EB,∴△BCE≌△BDE(SAS)∴∠CEB=∠DEB.即EB平分∠CED.答案：當(dāng)E點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BA平分∠CAD，BC⊥AC，BD⊥AD,∴BC=BD.EB平分∠CED.又BC⊥AC，BD⊥AD,∴∠ACB=∠ADB=90°，又BC=BD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD.又∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，

∴∠EBC=∠EBD.∴∠CEB=∠DEB.即EB平分∠CED.2.答案：B6．4cm8．49．答案：如圖,先作平角∠AOB的平分線OC,再作∠COB的平分線OD.則∠AOD=135°.10．答案：∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ABC=∠ADC=90°.又AB=AD,AC=AC,∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴∠BAC=∠DAC.又AB=AD,AP=AP,∴△ABP≌△ADP(SAS).∴PB=PD.11．答案：①∵CD⊥AB，BE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°.又∠EOC=∠DOB,OC=OB,∴△COE≌△BOD(AAS).∴OE=OD.又CD⊥AB，BE⊥AC∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．②∵CD⊥AB，BE⊥AC,點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，∴OE=OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°.又∠EOC=∠DOB,OE=OD,∴△COE≌△BOD(ASA).∴OC=OB.12．答案：①∵BE和CD是△ABC的兩條高，∴∠ADC=∠BDC=90°,∠AEB=∠BEC=90°.∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ACH+∠BAE=90°.∴∠ABE=∠ACH.又AB=HC,BF=CA,∴△ABF≌△HCA(SAS).∴AF=HA.②∵△ABF≌△HCA∴∠BAF=∠CHA.∵∠ADC=90°,∴∠ADH=90°∴∠CHA+∠HAD=90°.∴∠BAF+∠HAD=90°.即∠HAF=90°.∴AF⊥AH.【課外拓展】答案：①∵PB和PC是△ABC的兩條外角平分線11∴∠PBC=∠DBC