原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習》數(shù)學 第九章 第10講 離散型隨機變量的均值與方差配套課件

第10講

離散型隨機變量的均值與方差課標要求考情分析通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題高考中常將相互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、期望與方差等知識放在一起在解答題中考查，主要考查運用概率知識解決實際問題的能力Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.離散型隨機變量的均值和方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平. 2.均值和方差的性質(zhì)

設(shè)a，b是常數(shù)，隨機變量X，Y滿足Y＝aX＋b，則E(Y)＝E(aX＋b)＝____________，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X).aE(X)＋b3.兩點分布及二項分布的均值和方差pnp(1)若X服從兩點分布，則E(X)＝______，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝_______，D(X)＝np(1－p).題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論中正確的是()

A.若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)

C.袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5答案：ABC題組二走進教材

2.(選修2－3P55第3題改編)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為()A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56答案：Cξ123P0.40.20.43.(選修2－3P68A組第1題改編)已知隨機變量ξ的分布列是則D(ξ)＝()A.0.6B.0.8C.1D.1.2

解析：E(ξ)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，則D(ξ)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.

答案：B題組三真題展現(xiàn)

4.(2017年全國Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝__________.

解析：由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即X～B(100，0.02)，

由二項分布的期望方差公式可得D(Χ)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.

答案：1.96

5.(2020年浙江)一個盒子里有

1個紅1個綠2個黃四個質(zhì)地大小相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.

解析：因為ξ＝0對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，答案：131X0123P0.1ab0.1考點1離散型隨機變量的均值與方差自主練習1.設(shè)隨機變量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，則a－b＝()A.0.2B.0.1C.－0.2D.－0.4解析：由分布列性質(zhì)，得0.1＋a＋b＋0.1＝1.①由期望公式可得0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，即a＋2b＝1.3.②由①，②可得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.答案：C

2.今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標的雷達數(shù)為ξ，則E(ξ)的值為()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

解析：當ξ＝0時，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；

當ξ＝1時，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.

當ξ＝2時，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765. ∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

答案：BX200300400500P0.200.350.300.15

3.節(jié)日期間，某種鮮花進價是每束2.5元，售價是每束5元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X(束)的分布列如下表.若進這種鮮花500束，則期望利潤是()A.706元B.690元C.754元D.720元解析：節(jié)日期間這種鮮花需求量的數(shù)學期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，則利潤Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).故期望利潤為706元.應(yīng)選A.答案：A答案：AB考點2超幾何分布的期望和方差師生互動

[例1](2018年天津)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查. (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望； ②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

解：(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人. (2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.隨機變量X的數(shù)學期望為

②設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A＝B∪C，且B與C互斥，由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，到白球個數(shù)的數(shù)學期望值為

，則口袋中白球的個數(shù)為(【考法全練】設(shè)口袋中有黑球、白球共7個，從中任取2個球，已知取)A.3B.4C.5D.2

解析：設(shè)白球x個，則黑球(7－x)個，取出的2個球中所含白球個數(shù)為ξ，則ξ取值0,1,2，答案：A考點3二項分布的期望和方差多維探究

[例2](2018年全國Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品進行檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0

作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，判斷是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y＝40＋25Y.∴E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于E(X)>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.

【題后反思】(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，那么用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量.

(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).【考法全練】

(2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地對產(chǎn)品進行抽查檢測，現(xiàn)對某條生產(chǎn)線上隨機抽取的100個產(chǎn)品進行相關(guān)數(shù)據(jù)的對比，并對每個產(chǎn)品進行綜合評分(滿分100分)，將每個產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖9-10-1所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

(2)用樣本估計總體，視頻率為概率，在該條生產(chǎn)線中隨機抽取3個產(chǎn)品，求所抽取的產(chǎn)品中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學期望.圖9-10-1解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.005＋0.010＋0.025＋a＋0.020)×10＝1，解得a＝0.040.令中位數(shù)為x，則(0.005＋0.010＋0.025)×10＋0.040×(x－80)＝0.5，解得x＝82.5，所以綜合評分的中位數(shù)為82.5.

(2)由(1)與頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為(0.040＋0.020)×10＝0.6，

即概率為0.6，⊙利用分類討論思想求數(shù)學期望[例3]某企業(yè)擁有三條相同的且相互獨立的生產(chǎn)線.據(jù)統(tǒng)計，障.(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率；

(2)在正常生產(chǎn)的情況下，每條生產(chǎn)線每月的利潤是12萬元；如果一條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障能及時維修，還能創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現(xiàn)故障不能及時維修，該生產(chǎn)線就沒有利潤.為提高生產(chǎn)效益，企業(yè)決定安排維修工人對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進行維修.如果一名維修工人每月只能及時維修一條生產(chǎn)線，且一名工人每月所需費用為1萬元，以該企業(yè)每月實際利潤的期望值為決策依據(jù)，你選擇安排幾名維修工？(實際利潤＝生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤－維修工人費用)【高分訓練】

(2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗方式是檢驗血液樣本相關(guān)指標是否為陽性，對于n份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需檢驗n次.二是混合檢驗，將其中k份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這k份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再逐份檢驗，此時k份血液檢驗的次數(shù)總共為k＋1次.某定點醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗方案：方案一，逐個檢驗；方案二，平均分成兩組檢驗；方案三，四個樣本混在一起檢驗.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是相互