2021年高考數(shù)學模擬訓練卷 (八十九)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學模擬訓練卷(89)

一、單項選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.己知集合4={1,2,3,4},B={y\y=3x-5,xeA],則4CB=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{2,4}D.{3,4}

2.i是虛數(shù)單位，復數(shù)羔=()

A.—IB.，C.----ID.--+-1

3,已知p：VxG/?,%2—%4-1>0,q：3%G(0,4-oo),sinx>1,則下列命題為真命題的是()

A.pAqB."VqC.pVhD.-pA-ij

4.等比數(shù)列{&J中，若%=3,%=75,則g=()

A.15B.±15C.39D.竽

5.若函數(shù)/(x)的定義域為R,其導函數(shù)為1(x).若f'(x)-3<0恒成立,/(一2)=0,則/(X)-3x<6

解集為()

A.(—8,—2)B.(—2,2)C.(-8,2)D.(―2,+8)

6.若利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個不等的隨機數(shù)〃和b,則方程x=2岳-F有不等實數(shù)根

的概率為()

B.；D.|

7.x(x+3)5展開式中久3項的系數(shù)是()

A.270B,180C.90D.45

8.已知曲線G：y=sinx,C2：y-cos(2%則下面結(jié)論正確的是()

A.把G上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移W個單位長

度，得到曲線C2

B.把Q上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移與個單位長

度，得到曲線C2

C.把Q上各點的橫坐標縮短到原來的:倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移盤個單位長

度，得到曲線

D.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的1倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移卷個單位長

度，得到曲線

9.一個物體的三視圖如圖所示，則該物體形狀的名稱為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.三棱柱B.四棱柱C.圓柱D.圓錐

10.如圖是一個算法的流程圖，若輸入x的值為4,則輸出y的值是（）

A.—3

B.-2

C.-1

D.0

11.已知過定點P（2,0）的直線/與曲線y=75二三正相交于4,8兩點,。為坐標原點，當4408=1時,

直線/的傾斜角為（）

A.150°B,135°C.120°D.不存在

12.已知函數(shù)/(x)=+a/+bx在x=-1.時取得極大值%則ab=()

A.-15B.15C.-3D.3

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設(shè)某總體是由編號為001,002,199,200的200個個體組成的，利用下面的隨機數(shù)表依次

選取三個數(shù)字(每三個數(shù)字為一個編號)，則選出來的第5個個體的編號為.

1818079245441716580979838619

6206765003105523640505266238

2%—y+2N0

14.若實數(shù)x,y滿足約束條件x+2y-2W0,則2=》一、的最大值是.

y+2>0

15.已知向量區(qū)不滿足|2為+3方|=1，則五?石最大值為.____.

16.已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形，底面48C,且PA=2,則該三棱錐的

外接球的體積是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知等差數(shù)列｛an｝中，公差dRO,57=35,且a2,。5,成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列包工的通項公式；

(2)求數(shù)列｛y^—｝的前n項和

anan+l

18.2018年1月26日，甘肅省人民政府辦公廳發(fā)布《甘肅省關(guān)于餐飲業(yè)質(zhì)量安全提升工程的實施意

見》，衛(wèi)生部對16所大學食堂的“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估.滿10分

者為“安全食堂”，評分7分以下的為“待改革食堂”.評分在4分以下考慮為“取締食堂”，

所有大學食堂的評分在7?10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：

分數(shù)段[0,7)億8)[8,9)[9,10]

食堂個數(shù)1384

(1)現(xiàn)從16所大學食堂中隨機抽取3個，求至多有1個評分不低于9分的概率；

(2)以這16所大學食堂評分數(shù)據(jù)估計大學食堂的經(jīng)營性質(zhì)，若從全國的大學食堂任選3個，記X

表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

19.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為菱形，/.BAD=60°,^APD=90°,且2D=PB.

(I)求證：平面PAOJ_平面ABCD；

(II)若AO1.PB,求二面角。-PB-C的余弦值.

20.已知橢圓CW+3=l(a>b>0)經(jīng)過點E(遮,1)，離心率為爭O為坐標原點.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若點尸為橢圓C上一動點，點4(3,0)與點P的垂直平分線交y軸于點B,求|OB|的最小值.

21.已知函數(shù)/0)=：》+(1-(1)一等，其中aeR.

(1)試討論函數(shù)F(x)=的單調(diào)性；

(2)若a6Z,且函數(shù)/(x)有兩個零點，求。的最小值.

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為11=、'加以為參數(shù)，。e[0,用)，以原

Iy二一siikk

點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程為\/*psiu0-7)6.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)已知4(一6,0),B(0,6),點M是曲線C上一動點，求A/IBM面積的最小值.

23.已知/(z)=|_r+l-ar-1|.

(1)當a=l時，求不等式/'(x)>1的解集；

(2)若xG(0,1)時不等式/(x)>x成立，求a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題主要考查了集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.

化簡集合B,根據(jù)交集的概念直接求即可.

解：集合4={1,2,3,4},

B=[y\y=3x—5,xEA}={-2,1,4,7},

則AClB={1,4}.

故選B.

2.答案：A

解析：

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值.

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題.

5-2.=(5-20(2-50=Z29i=_i

E*2+5i(2+5i)(2-5l)29,

故選：A.

3.答案：C

解析：

分別判斷出P，9的真假，從而判斷出其復合命題的真假即可.

本題考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查復合命題的判斷，是一道基礎(chǔ)題.

解：關(guān)于P：VxGR,%2—x+l=Q—成立，

故命題P是真命題，

關(guān)于4：3%E(0,4-co),sinx>1,

vVxG(0,+8),sinx<1,

故命題4是假命題，

故pV是真命題，

故選：c.

4.答案：A

解析：解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為g,

***a1=3,=75,

75=3q3

解得q2=5.

則(13=3q2=15.

故選：A.

利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.

本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

5.答案：D

解析：解：令g(x)=f(x)-3x,

故g'(x)=f'(x)-3<0,

故g(x)在R遞減，

而g(-2)=/(-2)=6,

故/(x)-3x<6,

即g(x)<g(-2)，

故x>-2,

故選：D.

令g(x)=/(x)-3x,求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題.

6.答案：B

解析：解：?.?方程x=2面-空有不等實數(shù)根

X

，方程/-2\[2ax+2b=0有不等實數(shù)根

???△=8a-8b>0

??a>b

如圖所示，方程％=-辿有不等實數(shù)根的概率為也=工

x1X12

故選B.

先根據(jù)方程x=2后-弓有不等實數(shù)根，確定a>b,再根據(jù)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個不等的隨機數(shù)

和從以面積為測度，即可求得概率.

本題考查幾何概型，確定以面積為測度，正確計算面積是解題的關(guān)鍵.

7.答案：A

解析：解：???x(x+37=雙爐+15x4+90/+270x2+405%+243),

.??展開式中/項的系數(shù)為270,

故選:A.

把(X+3)5按照二項式定理展開，可得X(X+3)5展開式中/項的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：已知曲線G：y=sinx=cos(xC2：y=cos(2x-^),

???把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的:倍，縱坐標不變，可得y=cos(2x-今的圖象，

再把得到的曲線向左平移雪個單位長度，得到曲線C2：郎3+合力=3(2”一9的圖象，

故選：C.

由題意利用誘導公式、函數(shù)y=4sin(3x+w)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asin(：a)x+(p)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：B

解析：

本題考查幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題.

由幾何體特征即可求解.

解：由幾何體的三視圖可知該幾何體為四棱柱.

故選民

10.答案：B

解析：

本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用循環(huán)結(jié)構(gòu)，直到條件滿足退出，即可得到結(jié)論.

解：模擬程序的運行，可得

%=4,y=1,

不滿足條件|y-x|<1，執(zhí)行循環(huán)體，x=2,y=0；

不滿足條件|y-x|<1,執(zhí)行循環(huán)體，x=0,y=-1；

不滿足條件|y-x|<1,執(zhí)行循環(huán)體，x=-2,y=-2；

滿足條件僅-刈<1,退出循環(huán)，輸出y的值為-2.

故選：B.

11.答案：A

解析：解：曲線y=中，表示的圖形是以原點為圓心半徑為或的上半個圓，

過定點P(2,0)的直線/設(shè)為：y=fc(x-2)fc<0即kx-y-2k=0.

SAAOB=1-

.-.ixV2xV2sinz/10B=l,

可得"OB=90°,

三角形AOB是等腰直角三角形，原點到直線的距離為：1.

,1=

解得k—+—>vk<0.■■k=——，

~33

.?.直線的傾斜角為150。.

故選：A.

判斷曲線的形狀，利用三角形的面積求出N40B,推出原點到直線的距離,建立方程求出直線的斜率,

然后求解傾斜角.

本題考查直線與曲線的位置關(guān)系的應用，點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

12.答案：D

解析：

本題考查了函數(shù)的極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道基礎(chǔ)題.

求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)/(X)在X=-1時取得極大值|,得到關(guān)于“，6的方程組，解出即可.

解：/(X)=打3+ax2+bx,

???f'(x)=x2+2ax+b,

若/(%)在％=-1時取極大值，

則廣(-1)=1-2a+b=0,且/'(―1)=—：+a-b=|,

解得：a=—1,b=-3,

故ab=3,

故選。.

13.答案:031

解析：

本題主要考查隨機數(shù)表，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)隨機數(shù)表寫出前5個編號，即可得到結(jié)論.

解：從隨機數(shù)表由左到右依次選取三個數(shù)字小于200的編號依次為：181,171,097,067,031,則

第5個個體的編號為031.

故答案為031.

14.答案：8

2%—y+2=0

解析：解：畫出約束條件％+2>-2=0表示的平面區(qū)域如圖所示,

y+2>0

由圖形知，當目標函數(shù)z=x-y過點A時取得最大值,

由｛雷1°2=0,解得g-2),

代入計算z=6-(-2)=8,

所以z=x-y的最大值為8.

故答案為：8.

畫出約束條件表示的平面區(qū)域，利用圖形求出最優(yōu)解，計算目標函數(shù)的最大值.

本題考查了簡單的線性規(guī)劃應用問題，是基礎(chǔ)題.

15.答案：5

24

解析：

本題考查了數(shù)量積運算及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用1.b=絕跡_竺迪即可得出.

2424

解：由2之+3q=1,

-7*(2a+3b)2(2a-3d)21(2a-3b)2,1

??CL?u-------------------------------------------S-，

2424242424

當且僅當2五=3j且|方|=；時，上式等號成立.

???a?方最大值為

24

故答案為A.

24

327r

16.答案:

解析：

本題考查多面體與球的組合體，屬于中檔題.

先確定球心的位置，利用三棱錐的性質(zhì)求得球的半徑即可.

解：根據(jù)已知底面△ABC是邊長為3的正三角形，匕1，底面可得此三棱錐外接球，即為以

△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，

由于AZBC是邊長為3的正三角形，故其外接圓半徑r=6,球心到的外接圓圓心的距離d=1,

故球的半徑R==2,故三棱錐P-4BC外接球的表面積V3.

,19TT

故答案為：;‘.

17.答案：解：（1）由題意可得（由+4d/=（%+d）（a1+10d）,即的=2d或d=0（舍去），

???s7=7al+~~d=35,

：?d=1,a1=2,

???Qn=九+1

(2)van=n+1,

.1_1_1_____i

anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2'

1_11,11,11_11

..y=十十???—十———十???

nQ2a3anan+i2334n+1n+22n+2

T----------(jiEN*).

n2n+2l)

解析：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項相消法求和，是中檔題.

(1)由題意可得(%+4d)2=(%+《(%+10d),即為=2d或d=0(舍去)，得出%和4,從而得出

結(jié)果；

(2)由an=n+l,得就==扁訴=去一+，運用裂項相消求和即可得出結(jié)果?

18.答案：解：(1)設(shè)4表示所抽取3個中有i所大學食堂評分不低于9分,

至多有1個評分不低于9分記為事件4

則PQ4)=P(a)+P(A)=魯+警=魯；

C16C16

(2)由表格數(shù)據(jù)知，從16所大學食堂任選1個評分不低于9分的概率為

P=—=~,

164

由題知X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(V=g,P(X=1)=C照)】弓)2=g,

P(X=2)=廢鏟?】=3P(X=3)=(丁=

???X的分布列為:

X0123

272791

P

64646464

數(shù)學期望為E(X)=lx|^+2xV+3x*=0.75.

解析：本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是中檔題.

(1)根據(jù)題意，利用概率的求和公式，計算所求的概率值；

(2)由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，再計算數(shù)學期望值.

19.答案：解：(I)證明：取AD的中點。，連接OP,OB,BD,

p

因為底面ABCD為菱形，/.BAD=60°,

所以40=4B=BD.

因為。為A￡＞的中點，所以0BJ.40.

在△力PD中，/-APD=90°,。為AO的中點，

所以p。=^AD=AO

設(shè)4D—PB—2a,貝UOB=V3a，PO—OA-a.

22

因為PM+OB=a+3a2=4a2=PB2f

所以O(shè)P1OB.

因為OPnA。=0,OPu平面PAO,ADc^jSlPAD,

所以O(shè)B1平面PAD.

因為OBu平面ABCD,所以平面PAD1平面ABCD.

（口）因為40_LPB，AD1OB,OBCPB=B,

PBu平面POB,OBu平面POB,

所以4D，平面POB.

所以P。_LAD.

由(I)得P。1OB,AD1OB,

所以O(shè)A,OB,OP所在的直線兩兩互相垂直.

以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系.

設(shè)4。=2,則4(1,0,0),D(-l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,1).

所以而=(-1,0,—1)，PB=(0,V3,-l)>BC=AD=(-2,0,0)，

設(shè)平面尸8。的法向量為記=(xlly1,z1),

則[亢,色=一/一Zi=0,

[n-PB='/3y1—z1=0,

令yi=1,則X]=-V3>zx=V3>

所以元=(_百,1,遮)

設(shè)平面PBC的法向量為沅=(x2,y2,z2),

則(m-'BC=-2X2=0,

Im-麗=75y2-Z2=0,

令丫2—1,則型=0，Z2=百，

所以記=(0,1,回

設(shè)二面角。一PB—C的平面角為。，由于。為銳角,

所以cos。=|cos<zn,n>|=

所以二面角D—PB—C的余弦值為絕.

7

解析：

本題考查空間直線與平面間的垂直關(guān)系、利用空間向量法求二面角，考查考生的邏輯推理能力、空

間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力以及方程思想.

（1）取4。的中點。，連接。尸，OB,BD,由菱形的性質(zhì)與勾股定理推出0B140,OP10B,從而

由線面垂直與面面垂直的判定定理可使問題得證；

（H）以0為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面P8C的法向量，從而利用空間向

量的夾角公式求解；也可作出二面角0—PB—C的平面角，利用平面幾何知識求解.

20.答案：解：（1）離心率為￡=蟲，二。2=；12,故/=；a2,

a33（3

橢圓。為a+蚩=1,

把點E（遮,1）代入得M=6,b2=2,

所以橢圓C的方程為。+==1.…（5分）

（H）由題意，直線/的斜率存在，設(shè)點P（Xo，yo）（M）力0），

則線段AP的中點。的坐標為（竽,T）,且直線AP的斜率膜p=5、，…（7分）

由點4（3,0）關(guān)于直線/的對稱點為P,得直線114P,

故直線/的斜率為一戶=手，且過點。，

kAPVo

所以直線/的方程為：丫一孩=贊。一罟），...（9分）

令X=O,得y=q土,則B（0,逋上），

由我+4=1,得詔=6-3%，化簡,得8(0,—二分)

62zy()

所以|OB|=|誓="I+亮=2J|y°|.亮=心….(13分)

當且僅當仇I=就，即y0=土曰€[—近，回時等號成立.

所以|OB|的最小值為后....(14分)

解析：(1)離心率為￡=漁，可得c2="2,故b2=*2,橢圓C為捻+卷=1,把點E(VU)代入

橢圓方程，解出即可得出.

(H)由題意，直線/的斜率存在，設(shè)點P(x°,yo)(yo40)，利用中點坐標公式可得：線段AP的中點。

坐標，由點4(3,0)關(guān)于直線/的對稱點為P,得直線/14P,可得直線/的斜率為一京=舞，利用

直線/的方程可得8,又或+羽=1,得密=6-3%,可得|OB|,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

62

本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率

之間的關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

21.答案：解：(l)F(x)=x/(x)=|x2+(1-a)x-alnx(x>0),則F'(x)=%+(1-a)-2=

(x+l)(x-a)

X?

當aWO時，F(xiàn)z(x)>0,所以函數(shù)FQ)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當a>0時，若xe(0,a),則F'(x)<0,若xC(a,+8),則F<x)>0

所以函數(shù)尸(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

綜上可知，當a<0時，函數(shù)F(x)在(0.+8)上單調(diào)遞增；

當a>0時，函數(shù)F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

(2)函數(shù)f(x)有兩個零點等價于F(x)=|x2+(1-a)x-alnx(x>0)有兩個零點.

由(1)可知，當a<0時，,函數(shù)尸(x)在(0.，》)上單調(diào)遞增,F(x)最多一,個零點，不符合題意.所以a>0,

又當a>0時，函數(shù)F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

所從尸=a-|a2-a/a.要使F(x)有兩個零點.，則有F(x)min=?-|?2-alna<0。

設(shè)h(x)=1-gx->0),則〃(x)=-1一:<0,所以函數(shù)/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又九(1)>0,h(2)<0所以存在與€(1,2),當4>沏時,九。)<0.即存在殉W(1,2),當a>x0時,

Ka)<0即尸

又因為aGZ,所以a的最小值等于2.此時，當％0時，F(xiàn)(x)->+00,當x=e2B'j'.FCe2)=|e4-e2—

4>0,

F(x)有兩個零點.故a的最小值等于2.

解析：本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點的問題，屬于難題.

(1)先求解函數(shù)