湖南省永州市龔家坪鎮(zhèn)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省永州市龔家坪鎮(zhèn)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，||，且對，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．[0，2]

B．[，]

C．[1，1]

D．[2，0]參考答案：B2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知函數(shù)，若存在滿足的實(shí)數(shù)，使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（三分之一前有一個負(fù)號）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知命題．若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.a<0或a>l

B．

C．0≤a≤1

D．0<a<l參考答案：D5.若集合，則（

）A.B.C.D.參考答案：A6.已知，則一定滿足A．

B．C．

D．參考答案：答案：D7.用表示三個數(shù)中的最小值，,(x0),則的最大值為（

）A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：C略8.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”的兩數(shù)之和，表中最后一行僅是一個數(shù)，則這個數(shù)為（）A．2018×22016 B．2018×22015 C．2017×22016 D．2017×22015參考答案：B【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結(jié)論．【解答】解：由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故第1行的第一個數(shù)為：2×2﹣1，第2行的第一個數(shù)為：3×20，第3行的第一個數(shù)為：4×21，…第n行的第一個數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9.若把雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度后,能夠得到一個函數(shù)的圖象,則旋轉(zhuǎn)角的最小值為（

）..

.

.

.非上述答案參考答案：C10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)Z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a﹣3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合分類討論進(jìn)行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直線y=﹣ax+z是斜率為﹣a，y軸上的截距為z的直線，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a﹣3，可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A取得最大值，經(jīng)過C取得最小值，若a=0，則y=z，此時z=ax+y經(jīng)過A取得最大值，經(jīng)過C取得最小值，滿足條件，若a＞0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=﹣a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足﹣a≥kBC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，則目標(biāo)函數(shù)斜率k=﹣a＞0，要使目標(biāo)函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，可得﹣a≤kBA=1∴﹣1≤a＜0，綜上a∈[﹣1，1]故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，，，若此函?shù)同時滿足：①當(dāng)時，有；②當(dāng)時，有，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)．在下列函數(shù)中：①；②；③是函數(shù)的為__________．（填出所有符合要求的函數(shù)序號）參考答案：①②對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)，即時，有，所以．又，所以為增函數(shù)，因此當(dāng)，即時，有，故．因此函數(shù)函數(shù)．對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)，即時，有，所以．又，所以為增函數(shù)，因此當(dāng)，即時，有，故．因此函數(shù)函數(shù)．對于③，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)，即時，有，所以．又函數(shù)在定義域上沒有單調(diào)性，因此不能由，得到．因此函數(shù)不是函數(shù)．綜上①②是函數(shù)答案：①②點(diǎn)睛：本題為新概念問題，在給出了“函數(shù)”概念的基礎(chǔ)上考查學(xué)生的理解、運(yùn)用能力．解答此類問題的關(guān)鍵是對所給概念的理解，并從中抽取出解題的方法及要求，然后通過對所給問題的分析，達(dá)到求解的目的．對于本題中給出的“函數(shù)”，實(shí)際上就是在定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，解題時要注意這一點(diǎn)．12.過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為

.

參考答案：2略13.已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是

.參考答案：略14.已知α，β為三角形的內(nèi)角，則“α＞β”是“sinα＞sinβ”的條件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．參考答案：充要【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在三角形中，不妨設(shè)α，β對應(yīng)的邊分別為a，b，根據(jù)大邊對大角知a＞b?α＞β成立，由正弦定理=得α＞β?sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要條件，故答案為：充要．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．15.，求=

參考答案：略16.已知直線過點(diǎn),且有一方向向量與向量垂直,則的方程為

.參考答案：17.（幾何證明選講選做題）如圖,在中,斜邊,直角邊,如果以C為圓心的圓與AB相切于,則的半徑長為_______.參考答案：.試題分析：在中，斜邊，直角邊，，由于是圓的切線，連接，，，得.考點(diǎn)：三角形的面積公式.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為BD中點(diǎn)，連接AG分別交⊙O、BD于點(diǎn)E、F連接CE．（1）求證：AG?EF=CE?GD；（2）求證：．參考答案：考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明；與圓有關(guān)的比例線段．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）要證明AG?EF=CE?GD我們可以分析積等式中四條線段的位置，然后判斷它們所在的三角形是否相似，然后將其轉(zhuǎn)化為一個證明三角形相似的問題．（2）由（1）的推理過程，我們易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，結(jié)合（1）的結(jié)論，不難得到要證明的結(jié)論．解答： 證明：（1）連接AB，AC，∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD=90°，∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G為弧BD中點(diǎn)，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG?EF=CE?GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG?GF，由（1）知，∴．點(diǎn)評：證明三角形相似有三個判定定理：（1）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似（2）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似（3）如果兩個三角形的兩個角分別對應(yīng)相等（或三個角分別對應(yīng)相等），則有兩個三角形相似．我們要根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的選擇，以簡化證明過程．19.（本題滿分14分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，AB=，AC=2，PD=，Q為線段PE上不同于端點(diǎn)的一動點(diǎn)．(Ⅰ)求證：AC⊥DQ；(Ⅱ)若二面角B-AQ-E的大小為60°，求的值．參考答案：(Ⅰ)證明：∵PA=PB=PC，∴P在底面ABC的射影是△ABC的外心E，∴PE⊥面ABC，又ACì面ABC，從而PE⊥AC．……………… 3分又∵PA=PC，且D是AC的中點(diǎn)，∴PD⊥AC，∴AC⊥面PDE．又DQì面PDE，∴AC⊥DQ．………………… 6分 (Ⅱ)解法一: 過點(diǎn)B作BF⊥AE于F，易證BF⊥面PAE， 過F作FG⊥AQ于點(diǎn)G，連接BG， 則∠BGF即為二面角B-AQ-E的平面角．……

8分 在Rt△ABF中，由得． 在Rt△BGF中，由，所以． 在△AQF中，設(shè)，則， 由得,從而，…………

12分 又在Rt△PED中，，所以,從而．…… 14分 解法二：如圖以A為原點(diǎn)，AB、AC分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz， 則，，，

…… 8分設(shè)點(diǎn)，設(shè)面的法向量m=(x1,y1,z1). 由得 令，得．…………… 10分 設(shè)面的法向量n=(x2,y2,z2)， 由得 令得．… 12分由，得，又易求得，所以．……………

14分20.如圖，已知拋物線C：y2=4x，過焦點(diǎn)F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．（Ⅰ）若線段AB的長為5，求直線l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在點(diǎn)M，使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），則聯(lián)立方程化簡可得y2﹣4my﹣4=0，從而可得，從而求直線l的方程；（Ⅱ）設(shè)M（a2，2a），則kMA==，kMB=，kMD=，則=，從而可得（a2﹣1）（m+）=0，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）焦點(diǎn)F（1，0）∵直線l的斜率不為0，所以設(shè)l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直線l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直線l的方程為2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）設(shè)M（a2，2a），kMA==，同理，kMB=，kMD=，∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在點(diǎn)M（1，2）或M（1，﹣2），使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．21.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．參考答案：（1）見解析；（2）①，②證明見解析．（1），當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）①由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，沒有兩個不同的零點(diǎn)，當(dāng)時，在處取得極小值，所以，得，所以的取值范圍為．②由，得，得，所以，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，要證，只需證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證，因?yàn)?，所以只需證，即證，令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，所以得證．22.（本題滿分14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.