湖南省永州市梅崗中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖南省永州市梅崗中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若曲線y=x4的一條切線L與直線垂直，則L的方程是（

）A.4x-y-3=0

B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0

D.x+4y+3=0參考答案：答案：A2.設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.

是奇函數(shù)

D.是奇函數(shù)參考答案：C設(shè)，則，∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，∴，為奇函數(shù)，選C.3.若集合，則A∪B=A.

B.C.

D.參考答案：B4.在整數(shù)集Z中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，

即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”．其中，正確結(jié)論為（）．A．①②④

B．①③④C．②③④

D．①②③參考答案：C5.已知一個幾何體的三視圖，如圖所示，則該幾何體的體積為

A.4

B.8

C. D.

參考答案：A略6.已知等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，則下列一定成立的是(

)A．若a3＞0，則a2013＜0 B．若a4＞0，則a2014＜0C．若a3＞0，則S2013＞0 D．若a4＞0，則S2014＞0參考答案：C【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】對于選項A，B，D可通過q=﹣1的等比數(shù)列排除，對于選項C，可分公比q＞0，q＜0來證明即可得答案．【解答】解：對于選項A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但a2013=1＞0，故錯誤；對于選項B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但a2014=1，故錯誤；對于選項D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但S2014=0，故錯誤；對于選項C，因為a3=a1?q2＞0，所以a1＞0．當(dāng)公比q＞0時，任意an＞0，故有S2013＞0；當(dāng)公比q＜0時，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正確，故選：C．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．7.曲線y=與直線y=x﹣1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為(

) A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2參考答案：D考點：定積分．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：作出函數(shù)的圖象，可得圍成的封閉圖形為曲邊三角形ABC，它的面積可化作梯形ABEF的面積與曲邊梯形BCEF面積的差，由此結(jié)合定積分計算公式和梯形面積公式，不難得到本題的答案．解答： 解：令x=4，代入直線y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲線y=與直線y=x﹣1交于點B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故選D點評：本題利用定積分計算公式，求封閉曲邊圖形的面積，著重考查了利用積分公式求原函數(shù)和定積分的幾何意義等知識，屬于基礎(chǔ)題．8.如圖，在正四面體ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CD的中點，則異面直線EF與AC所成的角為（

）

A.90o

B.60o

C.45o

D.30o參考答案：C9.若，則（

）A. B. C. D.參考答案：【知識點】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．B7C

解析：因為，所以，則，故選C.【思路點撥】先將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到結(jié)果。10.已知函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道．現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有

種不同的走法．參考答案：答案：3512.如圖，是圓的切線，切點為，，是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑等于________．參考答案：13.在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且

則=

。參考答案：414.已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是____________．參考答案：15.若x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到使取最大值的最優(yōu)解，求出其最大值，在的最小值可求．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，3），∴的最大值為3，則的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16.如圖，的兩條弦，相交于圓內(nèi)一點，若，，則該圓的半徑長為

．參考答案：17.為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次和15次試驗，并且利用最小二乘法，求得回歸方程所對應(yīng)的直線分別為l1：y=0.7x﹣0.5和l2：y=0.8x﹣1，則這兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值S與對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值t的和是

．參考答案：8【考點】BK：線性回歸方程．【分析】由題意，兩組數(shù)據(jù)變量x的觀測值的平均值都是s，對變量y的觀測值的平均值都是t，可得兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點都是（s，t），數(shù)據(jù)的樣本中心點一定在線性回歸直線上，可知回歸直線l1和l2都過點（s，t）兩條直線有公共點（s，t），即兩條直線的交點．即可得解．【解答】解：由題意，∵兩組數(shù)據(jù)變量x的觀測值的平均值都是s，對變量y的觀測值的平均值都是t，∴兩組數(shù)據(jù)的樣本中心點都是（s，t）∵數(shù)據(jù)的樣本中心點一定在線性回歸直線上，∴回歸直線t1和t2都過點（s，t）∴兩條直線有公共點（s，t），聯(lián)立：，解得：s=5，t=3，∴s+t=8．故答案為：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）某省電視臺舉行歌唱大賽,大賽依次設(shè)初賽,復(fù)賽,決賽三個輪次的比賽.已知某歌手通過初賽,復(fù)賽,決賽的概率分別為且各輪次通過與否相互獨(dú)立.記該歌手參賽的輪次為（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）記“函數(shù)是偶函數(shù)”為事件A,求A發(fā)生的概率；參考答案：解：（1）的可能取值為…………（3分）的分布列為123…………（7分）【評分建議】分布列和數(shù)學(xué)期望各計2分.（2）因為是偶函數(shù),所以或…………（9分）…………（12分）19.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等邊三角形，已知，M是SD上任意一點，，且m＞0．（1）求證：平面SAB⊥平面MAC；（2）試確定m的值，使三棱錐S﹣ABC體積為三棱錐S﹣MAC體積的3倍．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）在△ABC中，由已知可得AB2+AC2=BC2，得到AB⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)可得AC⊥平面SAB，進(jìn)一步得到平面SAB⊥平面MAC；（2）由，可得VS﹣MAC=VM﹣SAC=，轉(zhuǎn)化為三角形的面積比，可得m=2．【解答】（1）證明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，∴VS﹣MAC=VM﹣SAC=，∴=，即m=2．故m的值為2．20.隨著社會發(fā)展，襄陽市在一天的上下班時段也出現(xiàn)了堵車嚴(yán)重的現(xiàn)象．交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r段（T≥3），從襄陽市交通指揮中心隨機(jī)選取了一至四馬路之間50個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示：（I）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)；（II）據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個路段至少有2個嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌?？（III）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人用時間的數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖能估算交通指數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)．（Ⅱ）設(shè)事件A為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆?，則P（A）=0.1，由此能求出3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕剩á螅┯深}意，求出所用時間X的分布列，由此能求出此人上班路上所用時間的數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方圖知：T∈[3，5）時，頻率為0.1+0.20=0.30，T∈[5，6）時，頻率為0.24，∴交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×=．…（2分）交通指數(shù)的平均數(shù)為：4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72．…（4分）（Ⅱ）設(shè)事件A為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1，則3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋篜=C32×（）2×（1﹣）+C33×（）3=，所以3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋?分）（Ⅲ）由題意，所用時間X的分布列如下表：X30354560P0.10.440.360.1則E（X）=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6，所以此人上班路上所用時間的數(shù)學(xué)期望是40.6分鐘．…（12分）【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案：（1）

（2）試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由，利用等比數(shù)列的通項公式化簡后得到關(guān)于q的方程，由已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，得到滿足題意q的值，然后再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡，把求出的q的值代入即可求出等比數(shù)列的首項，根據(jù)首項和求出的公比q寫出數(shù)列的通項公式即可；（2）把（1）求出數(shù)列{an}的通項公式代入設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和的公式化簡后，即可得到bn的通項公式，求出倒數(shù)即為的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列的