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第第頁天津市高三下學(xué)期模擬考試(理科)數(shù)學(xué)試卷-帶有答案解析班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________一、單選題1.已知集合,集合,則(
)A. B. C. D.2.設(shè),則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的部分圖象大致為(
)A. B.C. D.4.設(shè),則的大小關(guān)系為(
)A. B.C. D.5.為普及冬奧知識(shí),某校在各班選拔部分學(xué)生進(jìn)行冬奧知識(shí)競賽.根據(jù)參賽學(xué)生的成績,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若要對(duì)40%成績較高的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),則獲獎(jiǎng)學(xué)生的最低成績可能為(
)A.B.C.D.956.如圖所示的糧倉可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體,且圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1,圓錐與圓臺(tái)的高分別為和3,則此組合體的外接球的表面積是(
)A. B. C. D.7.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的離心率為2,右頂點(diǎn)為,過的左焦點(diǎn)作軸的垂線,且與交于,兩點(diǎn),若的面積為9,則的標(biāo)準(zhǔn)方程為(
)A. B. C. D.8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到如圖所示的奇函數(shù)的圖象,且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則下列選項(xiàng)不正確的是(
)A.在區(qū)間上為增函數(shù) B.C. D.9.已知函數(shù),函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.二、填空題10.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為_______.11.二項(xiàng)式的展開式中,僅有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值,則展開式中項(xiàng)的系數(shù)是________12.過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線,使它被該圓截得的線段最短,則直線的方程是______.13.已知,,且,則的最小值為______.三、雙空題14.一個(gè)袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到一個(gè)白球的概率是,則袋中的白球個(gè)數(shù)為_____,若從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ,則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=_____.15.如圖在中,,,,為中點(diǎn),為上一點(diǎn).若,則______;若,則的最小值為______.四、解答題16.已知,.(1)求的值;(2)求的值.17.在如圖所示的多面體中,平面平面,,M,N分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)設(shè)平面平面,求二面角的正弦值.18.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,已知橢圓離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H,若以BH為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F,設(shè)直線l的斜率為k,直線OM的斜率為,且,求直線l斜率k的取值范圍.19.已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,,且,,成等差數(shù)列.等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)①求的值;②設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求的最大值和最小值.20.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在上有零點(diǎn)①求a的取值范圍;②求證:.參考答案與解析1.C【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由,,故故選:C2.A【分析】由集合的包含關(guān)系結(jié)合充分必要條件的定義判斷.【詳解】可化為,即因?yàn)?,所以不等式的解集為因?yàn)槭堑恼孀蛹?,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A3.B【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除AC,通過時(shí)函數(shù)值的符號(hào)可排除D,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令,其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以函數(shù)為奇函數(shù),即圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故排除AC當(dāng)時(shí),,,,即,故排除D故選:B.4.B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】是單調(diào)遞增函數(shù),,是單調(diào)遞減函數(shù)故選:B5.C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分別求出成績在,的頻率,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知,成績在的頻率為成績在的頻率為,又,所以40%成績較高的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在之間,且最低分?jǐn)?shù)為故選:C6.B【解析】設(shè)外接球半徑為R,球心為O,圓臺(tái)較小底面圓的圓心為,根據(jù)球的性質(zhì)與圓臺(tái)的上下底面垂直,從而有,且球心在上下底面圓心的連線上,,即可求出,得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)外接球半徑為R,球心為O,圓臺(tái)較小底面圓的圓心為則,而故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查組合體外接球的表面積,利用球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7.A【分析】設(shè)出雙曲線的方程,根據(jù)離心率可得,根據(jù)題意求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),進(jìn)而求得,結(jié)合三角形的面積公式化簡計(jì)算即可求出a,b.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,則由離心率為2,得,則因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且垂直于x軸交E于點(diǎn)M、N所以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)都為-c,有,解得所以,所以又,則所以,故,得所以雙曲線的方程為:.故選:A8.D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可知;根據(jù)圖象、的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可確定最小正周期,從而得到;由為奇函數(shù)可知,由此可得,從而確定的解析式;利用代入檢驗(yàn)法可確定A正確;根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知B正確;結(jié)合的單調(diào)性可判斷出CD正誤.【詳解】由題意知:由圖象可知:,則與是相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,即為奇函數(shù),解得:,又,,;對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,則在上為增函數(shù),A正確;對(duì)于B,,B正確;對(duì)于C,,在上單調(diào)遞減,,,C正確;對(duì)于D,,在上單調(diào)遞減,,,即,D錯(cuò)誤.故選:D.9.C【分析】由題知有4個(gè)實(shí)數(shù)根,進(jìn)而令,則函數(shù)圖像與圖像有4個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而作出函數(shù)圖像,數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)所以恰有4個(gè)實(shí)數(shù)根,即有4個(gè)實(shí)數(shù)根令,則函數(shù)圖像與圖像有4個(gè)交點(diǎn)因?yàn)?,,所以所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以作出函數(shù)圖像如圖所示所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖像與圖像有4個(gè)交點(diǎn)所以,的取值范圍是故選:C10.【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡得,利用實(shí)數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】為實(shí)數(shù),,解得:.故答案為:.11.【分析】先根據(jù)條件確定n值,再根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮H有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值,所以因?yàn)樗浴军c(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù),考查基本分析與求解能力,屬基本題.12.【分析】由已知得圓的圓心為,所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,可求得直線的方程.【詳解】解:由得,所以圓的圓心為所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,所以,解得所以直線l的方程為,即故答案為:.13.【分析】將化為,利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì),結(jié)合基本不等式“”的妙用求解即可.【詳解】由換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)原式∵,∴∴原式∵,,∴,,∴,∴由基本不等式當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立∴原式.∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為.故答案為:.14.
5
【分析】根據(jù)至少得到一個(gè)白球的概率為,可得不含白球的概率為,結(jié)合超幾何分布的相關(guān)知識(shí)可得白球的個(gè)數(shù),以及隨機(jī)變量的期望,得到答案.【詳解】依題意,設(shè)白球個(gè)數(shù)為,至少得到一個(gè)白球的概率是,則不含白球的概率為可得,即,解得依題意,隨機(jī)變量,所以.故答案為:5,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了超幾何分布中事件的概率,以及超幾何分布的期望的求解,其中解答中熟記超幾何分布的相關(guān)知識(shí),準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.15.
【分析】求得,計(jì)算出、的長,當(dāng)時(shí),可求得的值;計(jì)算得出,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?,,,則當(dāng)時(shí),,此時(shí);則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為.故答案為:;.16.(1)(2)【分析】(1)先利用平方關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式即可得解;(2)利用兩角差的余弦公式計(jì)算即可得解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以因?yàn)椋运?(2)由(1)知,所以.17.(1)詳見解析;(2);(3);【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量方法證明線線平行從而證明線面平行(2)運(yùn)用空間向量求取線面夾角和二面角.通過解方程求得平面的法向量,利用得解;
(3)通過求解,,然后利用即可得二面角的正弦值.【詳解】(1)平面,且,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖;則,,,,,,,,,,由可得,又平面,平面,所以平面.(2)設(shè)平面的法向量,,則取設(shè)與平面所成角為,則所以與平面所成角的正弦值為.(3)由(2)知平面的法向量平面平面,且平面的一個(gè)法向量為所以平面的一個(gè)法向量為,故,;,平面與平面所成的二面角的正弦值等于.18.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解方程組,再求出橢圓C的方程;(2)由已知設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo),由,求出H的坐標(biāo),再寫出MH所在直線方程,由直線和直線l,解得求得M的坐標(biāo),從而得到,由,得到,再求出k的范圍即可.【詳解】(1)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,所以①又因?yàn)闄E圓離心率為,所以②又③聯(lián)立①②③可得,,所以橢圓C的方程為.(2)設(shè)直線的斜率為,則,設(shè)由,得則,得,則由(1)知,,設(shè)所以,因?yàn)橐訠H為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F,則,所以所以,解得所以直線的方程為設(shè),由,可得由,則,即當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),,解得所以直線的斜率的取值范圍為.19.(1),(2)①;②的最小值為,最大值為.【分析】(1)根據(jù)題意及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求解即可得出答案;(2)①利用錯(cuò)位相減法求解即可;②由題知,進(jìn)而裂項(xiàng)求和,并分的奇偶性討論單調(diào)性求解最值即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為由已知得,解得所以;設(shè)等差數(shù)列的公差為因?yàn)?,,即,,解得所以.?).①設(shè)則所以,兩式相減得:整理得:,即所以,;②由(1)知所以,所以,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,隨的增大而增大,故當(dāng)時(shí),有最小值當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,隨的增大而減小,故當(dāng)時(shí),有最大值綜上,的最小值,最大值為.20.(1)時(shí),在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)①;②證明見解析【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),討論a的取值情況,判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)①對(duì)a分類討論,與1進(jìn)行比較,結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可得到答案;②根據(jù)在上有零點(diǎn),可以先整理得到,利用該式,先將要證明的不等式左面進(jìn)行變形,分離參數(shù),再利用構(gòu)造函數(shù),結(jié)合求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性可進(jìn)行證明;同理可證明不等式的右邊部分.【詳解】(1)(1),.當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.綜上,時(shí),在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)①注意到,由(1
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