自動控制原理四

自動控制原理四聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院§4-1根軌跡的基本概念根軌跡——當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零變到無窮時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動的根軌跡。設(shè)控制系統(tǒng)如圖示：第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院分析:1.k1變化時(shí),根軌跡均位于左半s平面,系統(tǒng)恒穩(wěn)定.2.根軌跡有兩條,兩個(gè)起點(diǎn)s1=0,s2=－23.0<k1<1時(shí),閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)根,呈過阻尼狀態(tài).第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院4.K1=1時(shí),閉環(huán)特征根為一對重根,系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng).5.1<k1<∞時(shí),閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根,響應(yīng)為衰減振蕩.6.開環(huán)增益K可由根軌跡上對應(yīng)的k1值求得.k1為可變參量繪制的根軌跡,稱為常規(guī)根軌跡.第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院Matlab根軌跡第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)間的關(guān)系第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院繪制根軌跡的基本條件系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)=0根軌跡方程

G(s)H(s)=－1幅值條件:|G(s)H(s)|=1相角條件:∠G(s)H(s)=±(2q+1)π,q=0,1,2,…開環(huán)傳遞函數(shù)第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院(1)幅值條件(必要條件)(2)相角條件(充要條件)繪制根軌跡只要依據(jù)相角條件就可以,而幅值條件用來確定根軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的k1值。第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

在s平面上取一試驗(yàn)點(diǎn)s1=-1.5+j2.5,試檢驗(yàn)它是否為根軌跡上的點(diǎn)；如果是，則確定與它相對應(yīng)的K1值是多少。第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院解：開環(huán)極點(diǎn)為：p1=0,p2=－2,p3=－6.6;

開環(huán)零點(diǎn)為：z1=-4,根據(jù)相角條件可知s1確實(shí)是根軌跡上的一點(diǎn)。根據(jù)幅值條件第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院§4.2繪制根軌跡圖的基本規(guī)則以開環(huán)根軌跡增益K1為參變量繪制根軌跡的基本規(guī)則系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)=0根軌跡方程

G(s)H(s)=－1180°根軌跡第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，起點(diǎn)：說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系統(tǒng)共有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，每個(gè)開環(huán)極點(diǎn)都對應(yīng)根軌跡的一個(gè)起點(diǎn)，所以共有n個(gè)起點(diǎn)。根據(jù)幅值條件1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，終點(diǎn)：（1）有m條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。把這m個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院當(dāng)時(shí)，（2）有n-m條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個(gè)無限零點(diǎn)。有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院終點(diǎn)（）：終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。起點(diǎn)（）：起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；0=K1包括m個(gè)有限遠(yuǎn)的零點(diǎn)（簡稱有限零點(diǎn)）和(n-m)個(gè)無限遠(yuǎn)的零點(diǎn)(簡稱無限零點(diǎn))。綜上所述：第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院2、根軌跡的分支數(shù)和對稱性一條完整的根軌跡稱為根軌跡的一個(gè)分支。所有的根軌跡都是有頭有尾、有始有終。根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。根軌跡對稱于實(shí)軸。第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院3.實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)實(shí)軸的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院4.

根軌跡的漸近線漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為:n-m條漸近線的傾角為:第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：解：p1=0,p2=-1,p3=-5;z1=-4;n-m=3-1=2條漸近線漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：解：p1=0,p2=-1+j,p3=-1-j,p4=-4;z1=-1;n-m=4-1=3條漸近線第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院5、根軌跡的分離點(diǎn)與會合點(diǎn)根軌跡是對稱的，分離點(diǎn)（會合點(diǎn)）或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中。第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院方法2：均需檢驗(yàn)：代入G(s)H(s)=－1

看K1是否大于0.分離點(diǎn)求解方法1：若無零點(diǎn)：第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)

解得s1=-0.423(分離點(diǎn))

s2=-1.577(略去)分離點(diǎn)：r為重根數(shù)，即分離點(diǎn)上根軌跡的分支數(shù)。第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院6.

根軌跡的出射角和入射角出射角入射角出射角(或入射角)是指根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)(或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的傾角。第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院7.

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法:①用勞斯判據(jù)求解;構(gòu)造勞斯表，出現(xiàn)全零行（第一列不變號）②將s=jω帶入特征方程求解。D(s)=0,令s=jω，實(shí)部和虛部均為零。第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例已知開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制其根軌跡圖。解：1.起點(diǎn)

p1=0,p2=－1,p3=－2,n=3

終點(diǎn)

趨于無窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)m=0

2.實(shí)軸上[-1,0],(-∞,-2]之間為根軌跡段3.漸近線

n-m=3條

傾角

交點(diǎn)第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院

解得s1=-0.423(分離點(diǎn))

s2=-1.58(略去)4.分離點(diǎn)5.與虛軸交點(diǎn)

D(s)=s(s+1)(s+2)+K1=0或s3+3s2+2s+K1=0(1)用勞斯判據(jù)求解第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院

s312

s23k1

s1

s0k1

D(s)=s3+3s2+2s+k1=0第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院(2)令特征方程中的s=jw,然后令其實(shí)部、虛部分別等于零。D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K1=0化為(K1－3w2)+jw(2－w2)=0根軌跡與虛軸交點(diǎn)第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20xxxK1=6?jws第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院8.閉環(huán)極點(diǎn)的和與積

系統(tǒng)特征方程(n>m時(shí))為第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例已知與開環(huán)傳遞函數(shù)相對應(yīng)的根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求交點(diǎn)處的臨界K1值及第三個(gè)特征根。解系統(tǒng)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0得s3=－3K1也可以用幅值條件求得。第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院根軌跡繪制舉例【例1】

已知開環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制根軌跡。解（1）

p1=0，p2=-3,p3,4=-1±j，無開環(huán)零點(diǎn)。（2）

根軌跡分支數(shù)n=4條。（3）

在實(shí)軸上[-3,0]之間為根軌跡段。（4）

漸近線n－m=4條。第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院(5)由特征方程求分離點(diǎn)。解得根為s1=-2.3,s2,3=-0.73±j0.37(6)求出射角由對稱性知qp4=71.60經(jīng)驗(yàn)證s1是分離點(diǎn)；分離角為±90°第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院(7)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。特征方程s4+5s3+8s2+6s+K1=0s418K1s356s234/5K1s1

s0K1

輔助方程(34/5)s2+K1=0,令s=j，K1=8.16代入上式，求得=±1.1處,對應(yīng)的K1=8.16。根軌跡如下圖。第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345

p3

p2

p4

p1

j1.1k1=8.16

第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院Matlab根軌跡第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院【例2】已知開環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制根軌跡。解（1）

p1=0，p2=-4,p3,4=-2±j4，無開環(huán)零點(diǎn)。（2）

根軌跡分支數(shù)n=4條。（3）

在實(shí)軸上[-4,0]之間為根軌跡段。（4）

漸近線n－m=4條。第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院(6)求出射角由對稱性知qp4=900(5)求分離點(diǎn)(7)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468σ

p3p4p2

p1

jω

第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院Matlab根軌跡第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院§4-3廣義根軌跡4.3.1.參數(shù)根軌跡1.定義負(fù)反饋系統(tǒng),以非K1為參變量的根軌跡。2.繪制方法:引入等效傳遞函數(shù)的概念,則前述規(guī)則均適用。K1為參變量a為參變量第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院例試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。解給定系統(tǒng)的特征方程為或s(s+a)+4=0(1)將式(1)化為如下形式該式的特點(diǎn)是：左邊寫成兩部分之和,參變量a只包含在第二部分中,而且是這一部分的一個(gè)單獨(dú)因子。第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院現(xiàn)用第一部分除全式，得等效開環(huán)傳函繪制a從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡(1)起點(diǎn)p1,2=±2j；終點(diǎn)z1=0(2)

在實(shí)軸上(-∞,0]之間為根軌跡段(3)會合點(diǎn)(4)出射角第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院第四十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期三聊城大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院4.3.2零度根軌跡正反饋情況下:

系統(tǒng)特征方程1－G(s)H(s)=0根軌跡方程

G(s)H(s)=1幅值條件:|G(s)H(s)|=1相角條件: