備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學糾錯筆記系列專題05平面向量理

PAGE1專題05平面向量易錯點1忽略了零向量的特殊性給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等.②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反.③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同.④零向量與任意數(shù)的乘積都為零.其中不正確命題的序號是.【錯解】④【錯因分析】解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．【參考答案】②④解決向量的概念問題應關注六點：（1）正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.（2）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（3）共線向量即平行向量，它們均與起點無關.相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.（5）非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量.（6）向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小.1．設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是A．0 B．1C．2 D．3【答案】D易錯點2忽視平行四邊形的多樣性失誤已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四個頂點的坐標.【錯解】設A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四個頂點的坐標為（－3，－5）.【錯因分析】此題的錯解原因為思維定勢，錯誤的認為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)了漏解.實際上，題目的條件中只給出了平行四邊形的三個頂點，并沒有給出相應的順序，故可能有三種不同的情形.【試題解析】如圖所示，設A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.若四邊形ABCD1為平行四邊形，則=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.1．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標，當向量的起點是原點時，其終點坐標就是向量坐標．2．向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________．【答案】(2,4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴，設點D的坐標為(x，y)，則＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴，解得.故點D的坐標為(2,4)．錯點3忽視兩向量夾角的范圍已知向量（1）若為銳角，求的取值范圍；（2）當時，求的值.【錯因分析】（1）利用向量夾角公式即可得出，注意去掉同方向情況；（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．.【試題解析】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.當時，同向,.即若為銳角，的取值范圍是{x|且}.【參考答案】（1）{x|且}；（2）或.1.兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角．2.兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π.3.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．3．若非零向量a，b滿足|a|=|b|，且（a－b）⊥（3a＋2b），則a與b的夾角為A. B. C. D.【答案】A【解析】∵（a－b）⊥（3a＋2b），∴（a－b）·（3a＋2b）=0?3|a|2－a·b－2|b|2=0?3|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉－2|b|又∵|a|=|b|，∴|b|2－|b|2cos〈a，b〉－2|b|2=0.∴cos〈a，b〉=.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉=，故選A.1．在求的三邊所對應向量的夾角時，要注意是三角形的內角還是外角．如在等邊三角形ABC中，與的夾角應為120°而不是60°.2．在平面向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．實際上由a·b＝0可推出以下四種結論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.3．實數(shù)運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c.4．實數(shù)運算滿足乘法結合律，但平面向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．易錯點4三角形的“四心”的概念混淆不清已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足，λ∈（0，＋∞），則點P的軌跡一定通過的A．內心 B．外心C．重心 D．垂心【錯解】A【錯因分析】對三角形“四心”的意義不明，向量關系式的變換出錯，向量關系式表達的向量之間的相互位置關系判斷錯誤等.【參考答案】C三角形的“四心”與平面向量1.重心.若點G是的重心，則0或（其中P為平面內任意一點）.反之，若0，則點G是的重心.2.垂心.若H是的垂心，則或.反之，若，則點H是的垂心.3.內心.若點I是的內心，則有=0.反之，若=0，則點I是的內心.4.外心.若點O是的外心，則=0或.反之，若，則點O是的外心.4．G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，則角A．90° B．60°C．45° D．30°【答案】D【解析】因為G是的重心，所以有.又，所以a∶b∶eq\f(\r(3),3)c＝1∶1∶1，設c＝eq\r(3)，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(1＋3－1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°，故選D.向量與三角形的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運算進行轉化，化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形問題或解三角形問題．一、平面向量的概念及線性運算1．向量的有關概念2．向量的線性運算3．共線向量定理及其應用向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)λ，使得b=λa.[提醒]限定a≠0的目的是保證實數(shù)λ的存在性和唯一性．二、平面向量基本定理及坐標表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi＋yj，這樣，平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.3.平面向量的坐標運算（1）向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.（3）平面向量共線的坐標表示設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.（4）向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.三、平面向量的數(shù)量積1.平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積（或內積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.（2）幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面向量數(shù)量積的運算律（1）a·b=b·a（交換律）.（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（結合律）.（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.3.平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.（2）模：|a|==.（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點間的距離|AB|==.（4）夾角：cosθ==.（5）已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0，a∥b?a·b=±|a||b|.（6）|a·b|≤|a||b|（當且僅當a∥b時等號成立）?|x1x2＋y1y2|≤.|a|=，|a＋b|=四、平面向量的應用1.向量在平面幾何中的應用若a=（x1，y1），b=（x2，y2），（1）a∥b?a=λb（b≠0）?x1y2－x2y1=0.（2）a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.（3）cosθ==.2.向量在三角函數(shù)中的應用向量與三角的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運算進行轉化，化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形問題或解三角形問題.3.向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，主要是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答.4.向量在物理中的應用物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解、合成與向量的加減法相似，因此可以用向量的知識來解決某些物理問題.1．向量a=(2,-1)A．6 B．5C．1 D．-6【答案】A【解析】因為a=(2,-1),b2．已知平面向量a,b的夾角為600,A．2 B．7C．27 D．【答案】D3．已知a=(1,3),A．-1 B．C．-3 D．【答案】D【解析】因為a//b，所以k-3=0

4．已知向量a=(1,2),b=(x,4)A．-2 B．-4C．-8 D．-16【答案】C【解析】因為a=(1,2),b=(x,4),且5．（2017年高考北京卷）設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A6．雙曲線x2-y2b2=1的左，右焦點分別為FA．3 B．5C．26 D．【答案】B【解析】由雙曲線方程可得a=1,因為P為右支上一點,所以PF因為PF1?所以|P則c=5,則雙曲線的離心率e=5．7．已知向量m=(1,2)，n=(2,3)，則m在A．13 B．8C．855 D【答案】D【解析】因為m=(1,2)，n=(2,3)，所以m在n方向上的投影為8．在中，∠ABC=120°，BA=2，A．659 B．11C．419 D．【答案】B9．如圖，在中，點D在BC邊上，且CD=2DB，點E在AD邊上，且AD=3AE，則用向量ABA．CE=29AB+C．CE=29AB【答案】B【解析】由題意可得，CE=CA10．（2017年高考浙江卷）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記，，，則A． B．C． D．【答案】C【名師點睛】平面向量的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過所給條件結合數(shù)量積運算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，，進而得到．11．（2017新課標II理）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【名師點睛】平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決．12．（2017新課標Ⅲ理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系.設,所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【名師點睛】（1）應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.13．平面向量a、b滿足a+b?2a-b=【答案】π【解析】a+b?2a-b得2×22+2×4×cos<a,b>-14．已知向量a=(cos(π3+α),1)【答案】715．（2017新課標I理）已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=___________．【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長，一夾角為60°的菱形的對角線的長度，則為.【名師點睛】平面向量中涉及有關模長的問題時，常用到的通法是將模長進行平方，利用向量數(shù)量積的知識進行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，在做這類問題時可以使用數(shù)形結合的思想，會加快解題速度.16．如圖，在ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，，，則的值是___________．【答案】C17．（2017年高考天津卷）在中，，，．若，，且，則的值為___________．【答案】【解析】由題可得，則．【名師點睛】根據(jù)平面向量基本定理，利用表示平面向量的一組基底可以表示平面內的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，則可獲解．本題中已知模和夾角，作為基底易于計算數(shù)量積．18．在中，∠A=π2，AB=1，AC=2，M【答案】2【解析】由題意，得(λAB+μAC)2=AM2=14，即19．（2017年高考山東卷）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是___________．【答案】【名師點睛】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：.（2）由向量的數(shù)量積的性質有，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題．（3）本題主要利用向量的模與向量運算的靈活轉換，應用平面向量的夾角公式，建立關于的方程求解.20．（2017年高考浙江卷）已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【名師點睛】本題通過設向量的夾角為，結合模長公式，可得，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學生的轉化能力和最值處理能力有一定的要求．21．（2017江蘇）如圖，在同一個平面內，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則_________．【答案】3【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以．【名師點睛】（1）向量的坐標運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題．（2）以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題．通過向量的坐標運算，可將原問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問