2022秋高中數(shù)學(xué)章末檢測(cè)3第三章圓錐曲線的方程新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第三章章末檢測(cè)

（時(shí)間：120分鐘，滿分150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.橢圓9+4=1的離心率是（）

近

近

B

33

A.

Q25

cD

9一

【答案】B

【解析】因?yàn)闄E圓方程為5+"=1,所以a=3,c=^a一爐=79-4=乖.所以

小

3'

2.已知點(diǎn)￡（—3,0）和內(nèi)（3,0）,動(dòng)點(diǎn)。到A,K的距離之差為4,則點(diǎn)產(chǎn)的軌跡方程

為（）

^22殳2

A.十一2=1（7>。）B.京一？=1（才>0）

2222

C.y―7'=1（y>0）D.9一二=l（x>0）

434D

【答案】B

【解析】由題設(shè)知點(diǎn)戶的軌跡方程是焦點(diǎn)在入軸上的雙曲線的右支,設(shè)其方程為￡一%=

ab

22

1（x>0,a>0,b>0）,則。=3,a=2,A2=*49—4=5,所以點(diǎn)〃的軌跡方程為?一5=1（x

4□

>0).

3.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人

民的非凡智慧.如圖是一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬8m.若水面上升1m,

則水面寬度為（）

A.2mmB.4mm

C.4V2mD.12m

【答案】c

【解析】根據(jù)題意，設(shè)該拋物線的方程為y=一2"，又由當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬

8m,即點(diǎn)(4,一2)和(一4,一2)在拋物線上，則有16=-20?(—2),解得p=4,故拋物線

的方程為f=-8y.若水面上升1m,即y=-1,則有爐=8,解得入=±2啦，此時(shí)水面寬

度為2啦-(-2啦)=4*.

4.(2021年哈爾濱期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓

錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓，把平面再漸漸傾斜得到的截面

是橢圓.若用面積為144的矩形165截某圓錐得到橢圓「，且r與矩形4驅(qū)的四邊相切.設(shè)

橢圓「在平面直角坐標(biāo)系中的方程為4+1=l(a>6>0),則下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為

ab

()

2222

x.yx,y

A—+—=1B—+—=1

81166581

2222

c工+二=1D二+上=1

1006464100

【答案】A

【解析】?用面積為144的矩形四6?截某圓錐得到橢圓小且r與矩形的四邊相

切，；.4a6=144,即a6=36.對(duì)于A,a=9,b=4,滿足a>6>0且瑟=36,故A正確；

對(duì)于B,a=4而，6=9,不滿足a>6>0,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,a=10,6=8,不滿足a6=

36,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,a=8,b=10,不滿足a>6>0,故D錯(cuò)誤.故選A.

5.已知產(chǎn)是雙曲線G。一/=2的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p在，上，過(guò)點(diǎn)。作〃的垂線與x

軸交于點(diǎn)0,若△碎為等腰直角三角形，則△仔”的面積為()

5

A.B.

44

C.A/2D.小

【答案】A

【解析】如圖，不妨設(shè)尸為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)。在第一象限?△⑸圖為等腰直角三

角形，尸(2,0),.?.直線件的方程為y=-x+2.，可設(shè)P(x,2—*),將其代入雙曲線。的方

程中，得V—(2-“>=2,解得x=|,二噂，.,.8碼(=Bx2X(2一|卜(=".

j1

6.已知雙曲線G/一《=1的左、右焦點(diǎn)分別為￡,用，點(diǎn)尸在雙曲線上，則國(guó)

六的取值范圍為()

(4/

A.11,§B.(0,2]

C.(0,1]D.(0,

【答案】C

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)尸在右支上，有I格則患+房T=|+2一，網(wǎng)與+1

411/4-1

=2，則麗“的取值范圍為(0，g-故選C.

7.已知拋物線f=4y的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,。為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)夕作以，/于點(diǎn)

A,當(dāng)N4g30°(0為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|兩=()

1J3

A.-B.--

OO

2m4

C.~~D.-

OO

【答案】D

【解析】設(shè)/與y軸的交點(diǎn)為8,在Rt445^中，N"S=30°,|明=2,所以AB=

設(shè)P(*o,用)，則劉=±邛^,代入x'=4y中，得％=；.所以【例=|用]=%+1=].

?J<J0o

V2J3

8.已知橢圓a(a>6>0)與圓〃：V+/—2ax+左才=0交于力，8兩點(diǎn)，若

ab16

四邊形物龍(。為原點(diǎn))是菱形，則橢圓。的離心率為()

11

A-3B-2

C理D逅

J24

【答案】B

13

【解析】由己知可得圓〃：(x-a)2+^=—d,圓心〃(80),則菱形小應(yīng)對(duì)角線的交

10

點(diǎn)的坐標(biāo)為修，0).將V代入圓〃的方程，得尸土芋不妨設(shè)點(diǎn)力在X軸上方，即心弓)

代入橢圓。的方程，得[+需=1，所以|@2=4=，一乙解得a=2c.所以橢圓。的離心

￡_j_

率a=2,

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知拋物線/=2px(p>0)上一點(diǎn)，"到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和2m，則p

的值可以是()

A.2B.6

C.4D.8

【答案】AC

【解析】設(shè)/的，㈤，由點(diǎn)"在拋物線上，所以/=20司，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線的

方程為戶一梟由題意可得用+彳=3,|%|=。2沖=2*,解得p=2或p=4.

22

10.關(guān)于雙曲線G：H=1與雙曲線c：1,下列說(shuō)法正確的是()

A.它們的漸近線不相同B.它們有相同的頂點(diǎn)

C.它們的離心率不相等D.它們的焦距相等

【答案】ACD

22

【解析】雙曲線G：i一￡=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),漸近線方程為4x±3y=0,離心

yio

j-2222

率為可，焦距為10.雙曲線G：5一表=—1，即哈一看=L它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0),漸近

3916169

5

線方程為3x±4y=0,離心率為示焦距為10.故選ACD.

X2/

11.若雙曲線GI一方=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6,焦距為10,右焦點(diǎn)為凡則下

列結(jié)論正確的是()

A.雙曲線C的漸近線上的點(diǎn)到點(diǎn)尸距離的最小值為4

5

B.雙曲線C的離心率為可

C.雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離的最小值為2

D.過(guò)點(diǎn)尸的最短的弦長(zhǎng)為華

【答案】ABC

【解析】由題意可得2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,b—y]c—a'—4,右焦點(diǎn)廠(5,0),

漸近線的方程為4x±3尸0,所以C的漸近線上的點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離的最小值為尸到漸近線的

4X5±3X0|rtR

距離d==4,所以A正確；離心率e：所以B正確；雙曲線上，頂點(diǎn)到

2/32

焦點(diǎn)的距離最小，5-3=2,所以C正確；過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)中，垂直于x軸的弦長(zhǎng)為

a3

而斜率為0時(shí)，弦長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)2a=6<彳，所以最短的弦長(zhǎng)為6,故D不正確.

0

V21

12.已知戶是橢圓G-+y2=l上的動(dòng)點(diǎn)，。是圓P：上的動(dòng)點(diǎn)，則()

bo(X+1)2+/=￡

A.橢圓。的焦距為函B.橢圓C的離心率為年

2A(5

C.圓〃在橢圓C的內(nèi)部D.|可|的最小值為餐

【答案】BC

【解析】由橢圓方程可得，3=6,4=1,.?.02=.一毋=5,所以焦距2c=24，所以

c、后\[so[6

A不正確；離心率e=-=號(hào)=*,所以B正確；C中，<整理

a、/66c1

I0

5z959

可得-r+2葉『0,zl=22-4X-X-=-2<0,所以兩個(gè)曲線無(wú)交點(diǎn)，所以圓在橢圓的內(nèi)

6565

部，所以C正確；設(shè)夕(*,y),則由題意可得=7x+12+/菩=韭/+2赴+2-

號(hào)='笛+CM尊》羋-3=害,所以的最小值為害，所以D不正確.故選

00\0/333330

BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知雙曲線a卷一5=i,則雙曲線。的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是

63

【答案】小

22

【解析】雙曲線C：專一W=l，則c=a+/?2=6+3=9,則。=3,則。的右焦點(diǎn)的坐

63

標(biāo)為(3,0),其漸近線方程為y=土專x,即*±啦/=0,則點(diǎn)⑶0)到漸近線的距離d=^=

=小.

14.在平面直角坐標(biāo)系00中,若雙曲線之一5=1(a>0)的一條漸近線方程為尸坐x,

Q0幺

則該雙曲線的離心率是.

【答案】5

【解析】由雙曲線4—〈=l(a>0)的一條漸近線方程為尸理x,得亞=理，所以a

a.3乙a乙

=2.所以雙曲線的離心率為0=￡="委=*

a22

22

15.已知橢圓G*+￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為母用，夕是橢圓上一點(diǎn)，且滿足|班|

10

=1^1,則I陽(yáng)1=,△陽(yáng)E的面積等于.

【答案】48蛆

22

【解析】由*+￡=1知a=5,。=4,所以。=3,即￡（一3,0）,/?（3,0）,所以|格|

ZD10

=1^1=6.又由橢圓的定義，知|陽(yáng)+；陽(yáng)|=10,所以所1=10-6=4.于是S△9K

16.已知拋物線y=4x的一條弦4?恰好以（1,1）為中點(diǎn)，則弦4;所在的直線方程為

【答案】2A—y-1=0

【解析】設(shè)/（用,%）,B（xz,㈤且xiW?則弘+姓=2.又因?yàn)辄c(diǎn)48在拋物線/

I%=4X1,yj—y4

=4x上，所以.兩式相減，得（必+及）（”一姓）=4（小一及），則--2=-=2,

［龍=4%，小一加乂+女

即直線46的斜率為2,所以直線的方程為y—1=2（才-1）,即2x—y—1=0.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）在平面直角坐標(biāo)系?？谥?，求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）求長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以4（-3,0）為一個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2m的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：（1）根據(jù)題意，要求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,

即2a=4,2c=2,

則a=2,c=l,則5=?4—1=木.

若要求橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程始+?=1;

4o

22

若要求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為?+*=1；

4o

2222

故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+3=1或9+*=1.

（2）要求雙曲線以/（—3,0）為一個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為人后，

則其焦點(diǎn)在x軸上，即c=3,2a=2小,

貝ij3=乖，b=ylc-a=29

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三一千=1.

o4

18.(12分)已知尸為拋物線E-./=2p%(p>0)的焦點(diǎn)，以尸為圓心作半徑為A的圓廠，

圓「與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)4與拋物線￡交于點(diǎn)反C.

(1)若△/%為直角三角形，求半徑A的值；

(2)在(1)的條件下，判斷直線48與拋物線的位置關(guān)系，并給出證明.

解：(1)如圖，由拋物線和圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)8,C關(guān)于x軸對(duì)稱，再由△力回為直角三

角形可得比1為圓的直徑，B,C,尸三點(diǎn)共線，XB=&,代入拋物線的方程可得％=p,

所以圓的半徑哼p.

(2)直線與拋物線片相切.

由⑴知《一1

,0,\AF\=pf

則直線熊尸x+梟聯(lián)立

整理得“2—px+^=O,所以4=02—p2=o,

所以直線48與拋物線相切.

19.(12分)已知雙曲線C的離心率為乖，且過(guò)點(diǎn)(4，0),過(guò)雙曲線。的右焦點(diǎn)月作

傾斜角為T(mén)■的直線交雙曲線于46兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為左焦點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求△加?的面積.

解：(1)由題意可得，雙曲線的焦點(diǎn)在片軸上，且a=/,?=#,K解得a?

=3,0=6,

22

所以雙曲線的方程為卷一￡=1.

36

(2)由(1)可得￡(3,0),￡(—3,0),

由題意設(shè)尸4(x—3),設(shè)交點(diǎn)/(汨，力)，B(X2,㈤,

y=/3

聯(lián)立直線與雙曲線的方程，

2/-/=6,

整理可得18X+33=0,X\+X2=189XIA2=33,

2

S^AOB=^IOF21?1》一度I―X\-￥X2~4^IA2=^^,-\/18—4X33=36.

即42仍的面積為36.

2

20.(12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓G2+/=l(a>l,aWR)上，過(guò)點(diǎn)。的直

a

線交橢圓。于4,6兩點(diǎn)，尸為橢圓。的左焦點(diǎn).

(1)若△H6的面積的最大值為1,求a的值；

(2)若直線力，，班的斜率乘積等于一;，求橢圓。的離心率.

解：⑴因?yàn)镺F\-|%一%|WI明川才―1=1,所以

⑵由題意可設(shè)/(xo,%),夙一xo,—jb),M(x,y),

22

則今+/=1,當(dāng)++/=1,

aa

y一次y+yoy-jb

〃期?kuB=

X—Xox+xoX-M

22—22—2—o,

x-Xox-Xoa3

所以才=3,所以a=y/5,所以C=A/才_(tái)4=啦.

所以橢圓。的離心率e=￡=^=坐.

a3

21.(12分)(2021年漢中模擬)已知點(diǎn)M為直線/：x=—1上的動(dòng)點(diǎn)，A'(l,0),過(guò)點(diǎn)

作直線上的垂線/,/交屈V的中垂線于點(diǎn)只記點(diǎn)尸的軌跡為C

(D求曲線C的方程；

(2)若直線A：/=么"+勿(20)與圓E(x—3產(chǎn)+/=6相切于點(diǎn)。，與曲線C交于4,B

兩點(diǎn)，且〃為線段46的中點(diǎn)，求