第2章-邏輯代數(shù)基礎(chǔ)教材課件

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1概述

2.2.2復(fù)合邏輯運算2.2邏輯代數(shù)中的常用運算

2.2.1基本邏輯運算2.3邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.5邏輯函數(shù)的公式化簡法2.4邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.1概述邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對數(shù)學(xué)表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設(shè)計。

邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結(jié)果用輸出信號表示。條件和結(jié)果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯“1”和“0”表示。2.2邏輯代數(shù)中的常用運算2.2.1基本邏輯運算

邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫英文字母A，B，C，…來表示。邏輯變量只有兩種取值，常用0和1來表示。這里的0和1不表示數(shù)量，也沒有大小的意義，而只代表兩種對立的狀態(tài)。邏輯代數(shù)的基本運算有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種電路狀態(tài)表開關(guān)S1開關(guān)S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮S1S2燈電源

１．與運算只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系。與邏輯舉例

邏輯真值表ABL001010110001

與邏輯舉例狀態(tài)表開關(guān)S1開關(guān)S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮邏輯表達式與邏輯：L=A·Ｂ=AB

與邏輯符號ABL&ABL

１．與運算電路狀態(tài)表開關(guān)S1開關(guān)S2燈斷斷滅斷合亮合合斷亮合亮

２、或運算只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或邏輯關(guān)系。S1燈電源S2

或邏輯舉例

邏輯真值表ABL001010110111

或邏輯舉例狀態(tài)表開關(guān)S1開關(guān)S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮邏輯表達式或邏輯：L=A+Ｂ

或邏輯符號ABLBL≥1A

２、或運算非邏輯舉例狀態(tài)表AL斷開亮閉合滅

3.

非運算事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系。

非邏輯真值表AL0110非邏輯符號邏輯表達式L=A

非邏輯舉例狀態(tài)表A燈斷開亮閉合滅A1LAL

3.

非運算2.2.2復(fù)合邏輯運算

兩輸入變量與非

邏輯真值表ABL001010111110ABLAB&L與非邏輯符號

與非邏輯表達式L=A·B1與非運算2或非運算

兩輸入變量或非

邏輯真值表ABL001010111000B≥1AABLL或非邏輯符號L=A+B或非邏輯表達式3與或非運算與或非邏輯真值表ＡＢＣＤＬ００００１０００１１００１０１００１１００１００１０１０１１０１１０１０１１１０１０００１１００１１１０１０１１０１１０１１０００１１０１０１１１００１１１１０與或非邏輯表達式

4

異或邏輯若兩個輸入變量的值相異，輸出為1，否則為0。

異或邏輯真值表ABL000101011110BAL=1ABL異或邏輯符號異或邏輯表達式L=A

B

5同或運算

若兩個輸入變量的值相同，輸出為1，否則為0。同或邏輯真值表ABL001010111001B=ALABL同或邏輯邏輯符號同或邏輯表達式L=AB+=AB

2.3

邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.3.1

邏輯代數(shù)中的基本定律交換律：A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互補律：重疊律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

其它常用恒等式

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC例

證明，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABAB例

證明證：

2.3.2

邏輯代數(shù)中的常用公式123452.3.3

邏輯代數(shù)中的三個基本規(guī)則1、代入規(guī)則：在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應(yīng)用范圍對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對偶式，記作例:邏輯函數(shù)的對偶式為2.對偶規(guī)則：當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側(cè)的對偶式也相等。這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。3.反演規(guī)則：解：按照反演規(guī)則，得

例

試求的非函數(shù)運用反演規(guī)則兩個原則：

(1)仍需遵守“先括號內(nèi)運算、然后與運算、最后或運算”的運算優(yōu)先次序(2)不屬于單個變量上的非號應(yīng)保留不變2.4

邏輯函數(shù)及其表示方法2.4.1

邏輯函數(shù)的建立一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C…的邏輯函數(shù)，寫作：

L=f（A，B，C…）

邏輯函數(shù)的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個值0和1。（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。2.4.2

邏輯函數(shù)的表示方法

1.真值表

邏輯真值表是將輸入邏輯變量的各種可能的取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。各變量的取值組合一般應(yīng)該按照二進制數(shù)遞增的次序排列

兩輸入變量與非

邏輯真值表ABL001010111110

2、邏輯表達式

邏輯真值表ABL001100010111邏輯表達式是用與、或、非等運算組合起來，表示邏輯函數(shù)與邏輯變量之間關(guān)系的邏輯代數(shù)式。例：已知某邏輯函數(shù)的真值表，試寫出對應(yīng)的邏輯函數(shù)表達式。由真值表轉(zhuǎn)換成邏輯表達式：在真值表中依次找出函數(shù)值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個變量相乘。這樣，對應(yīng)于函數(shù)值為1的每一個變量組合就可以寫成一個乘積項。然后，把所有的乘積項相加，就得到相應(yīng)的函數(shù)表達式(與或表達式)。

由邏輯表達式轉(zhuǎn)換成真值表：畫出真值表的表格，將變量及變量的所有取值組合按照二進制遞增的次序列入表格左邊，然后按照表達式，依次對變量的各種取值組合進行運算，求出相應(yīng)的函數(shù)值，填入表格右邊對應(yīng)的位置，即得真值表。

用與、或、非等邏輯符號表示邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關(guān)系所得到的圖形稱為邏輯圖。3.

邏輯圖將邏輯函數(shù)式中所有的與、或、非運算符號用相應(yīng)的邏輯符號代替，并按照邏輯運算的先后次序?qū)⑦@些邏輯符號連接起來，就得到圖電路所對應(yīng)的邏輯圖例：已知某邏輯函數(shù)表達式為，試畫出其邏輯圖

4.波形圖

如果將邏輯函數(shù)輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應(yīng)的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。ABCL000001010011100101110111000100112.4.3

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1.最小項和最大項在ｎ個變量的邏輯函數(shù)中，若ｍ為包含ｎ個因子的乘積項，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在ｍ中僅出現(xiàn)一次，則稱ｍ為該組變量的最小項。、

、A(B+C)等則不是最小項。例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23＝）8個，即、、、、、、、1）最小項最小項的編號三個變量的所有最小項的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標(biāo)i為最小項號。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001最小項的性質(zhì)①在輸人變量的任何取值下必有一個最小項，且僅有一個最小項的值為1。②全體最小項之和為1。

③任意兩個最小項的乘積為0。

④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。

2）最大項

在n個變量邏輯函數(shù)中，若M為ｎ個變量之和，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在M中只出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。

對于n個變量，有2n個最大項最大項的編號最大項的性質(zhì)①在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且只有一個最大項為0。②全體最大項之積為0。③任意兩個最大項之和為1。④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。最小項和最大項的關(guān)系例如，2.邏輯函數(shù)的最小項之和形式為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達式3.邏輯函數(shù)的最大項之積形式為“或與”邏輯表達式；在“或與”式中的每個或項都是最大項。例2將化成最大項之積形式2.5

邏輯函數(shù)的公式化簡法2.5.1邏輯函數(shù)的最簡表達式在若干個邏輯關(guān)系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達式稱為最簡與-或表達式。“或-與”表達式“與非-與非”表達式

“與-或-非”表達式“或非－或非”表達式“與-或”表達式最簡與或式的標(biāo)準(zhǔn)：（1）與項最少，即表達式中“+”號最少（2）每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“·”號最少

與項最少，可以使電路實現(xiàn)時所需的邏輯門的個數(shù)最少；每個與項中的變量數(shù)最少，可以使電路實現(xiàn)時所需邏輯門的扇入系數(shù)即輸入端個數(shù)最少。這樣就可以保證電路最簡。2.5.2邏輯函數(shù)的公式法化簡運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。并項法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

A+AB=A+B

配項法：例2.5.1化簡邏輯函數(shù)例2.5.2化簡邏輯函數(shù)（利用）

)例2.5.5

已知邏輯函數(shù)表達式為，要求：（1）最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：

例2.5.6試對邏輯函數(shù)表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解：2.6

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.6.1卡諾圖的構(gòu)成

在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個最小項對應(yīng)，這種真值表稱為最小項真值表。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項排列成矩陣，并且矩陣的橫向和縱向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列（即相鄰的數(shù)碼只有一位碼不同），這樣構(gòu)成的圖形稱為卡諾圖。AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB2.6.2邏輯函數(shù)的卡諾圖表示當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應(yīng)的最小項之和。1、利用真值表填卡諾圖例2.6.1某邏輯函數(shù)的真值表如表2.6.1所示，給出該邏輯函數(shù)的卡諾圖

2、根據(jù)邏輯表達式填卡諾圖例2.6.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例2.6.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例2.6.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.6.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理2、卡諾圖合并最小項的原則用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，就是在卡諾圖中找相鄰的最小項，即畫圈。常見的2個4個8個最小項相鄰合并的畫圈方法如圖所示

畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則：

（1）圈要盡可能大，這樣消去的變量就多。但是每個圈內(nèi)只能含有相鄰項2n個（n=0,1,2,3……）。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數(shù)盡量少，這樣化簡后的邏輯函數(shù)的與項就少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項（4）取值為1的方格可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1的方格，否則該包圍圈是多余的。3、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟(4)將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。(1)將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式(2)按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應(yīng)方格填1，其余方格填0。(3)合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。例2.6.5用卡諾圖化簡邏輯