山西省太原市第三十四中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省太原市第三十四中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知a，b∈R，且a＞b，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b參考答案：D【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】利用不等式的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，通過特值排除，對A、B、C、D四個選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：對于A，令a=0，b=﹣1，02=0，（﹣1）2=1，滿足a＞b，但不滿足a2＞b2，故A錯誤；對于B，令a=0，b=﹣1，==0＜1，故B錯誤；對于C，令a=0，b=﹣1，lg（a﹣b）=lg1=0，故C錯誤；對于D，y=（）x為減函數(shù)，故當(dāng)a＞b時，（）a＜（）b，故D正確；綜上所述，以上四個不等式恒成立的是D．故選：D．2.若，則7a=（）A． B． C．5 D．7參考答案： C【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由，可得log75=a，化為指數(shù)式即可得出．【解答】解：∵，∴l(xiāng)og75=a，則7a=5．故選：C．3.函數(shù)f（x）=lnx﹣的零點(diǎn)的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由f（x）=0得lnx=，然后分別作出函數(shù)y=lnx與y=的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由f（x）=lnx﹣=0得lnx=，設(shè)函數(shù)y=lnx與y=，分別作出函數(shù)y=lnx與y=的圖象如圖：由圖象可知兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)2個，故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2個，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則數(shù)列的公差等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.sin600°的值是（

）A.

B.C.

D.參考答案：C6.計(jì)算sin43°cos13°+sin47°cos103°的結(jié)果等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】先將sin47°表示為sin（90°﹣43°），cos103°表示成cos（90°+13°），利用誘導(dǎo)公式化簡后，再由兩角差的正弦公式化簡求值．【解答】解：sin43°cos13°+sin47°cos103°=sin43°cos13°+sin（90°﹣43°）cos（90°+13°）=sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故選A．7.令函數(shù)，若m=x恰有2個根，則m的值為（

）

A.1

B.2

C.3

D.0

參考答案：B8.若函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.是實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則數(shù)列中

（

）A、任一項(xiàng)均不為0

B、必有一項(xiàng)為0C、至多有有限項(xiàng)為0

D、或無一項(xiàng)為0，或無窮多項(xiàng)為0參考答案：D10.向量且，則實(shí)數(shù)為 （

） A． B． C． D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積是______。參考答案：12.若正方體的邊長為a，則這個正方體的外接球的表面積等于．參考答案：3πa2【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體．【分析】根據(jù)正方體外接球的性質(zhì)，可知，球的半徑2R=，即可求出外接球的表面積．【解答】解：由正方體外接球的性質(zhì)，可知，球的半徑2R=，∴外接球的表面積S=4πR2=．故答案為：3πa2．13.已知是關(guān)于的方程的兩個實(shí)根，，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：14.已知f(x)=3-x，若f(a)+f(-a)=3，則f(2a)+f(-2a)= 參考答案：715.已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于__________．參考答案：【分析】首先利用正三棱錐的性質(zhì)，設(shè)底面邊長為AB＝a，進(jìn)一步求得側(cè)棱長為：AC＝2a，頂點(diǎn)A在下底面的射影為O點(diǎn)．利用勾股定理求得：DE，進(jìn)一步求得：OD，最后在Rt△AOD中，利用余弦公式求得結(jié)果．【詳解】解：正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，如圖，設(shè)底面邊長為BC＝a，則：側(cè)棱長為：AC＝2a頂點(diǎn)A在下底面的射影為O點(diǎn)．利用勾股定理求得：DE進(jìn)一步求得：OD在Rt△AOD中，cos∠ADO故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：正三棱錐的性質(zhì)，線面的夾角及相關(guān)的運(yùn)算．16.化簡：

參考答案：略17.已知數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an=（n﹣1）3n+1+3（n∈N*），則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】由數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an=（n﹣1）3n+1+3，利用迭代法求出．由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）an=（n﹣1）3n+1+3，（n∈N*），∴a1=3，a1+3a2+5a3+…+（2n﹣3）an﹣1=（n﹣2）3n+3，（n≥2），兩式相減得（2n﹣1）an=（2n﹣1）?3n，∴．∵a1=3滿足上式，∴，Sn=3+32+33+…+3n==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）如圖，已知扇形OAB的周長2+，面積為，并且.(1)求的大??；(2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動．若其中、，求的最大值與最小值的和；(3)若點(diǎn)C、D在以O(shè)為圓心的圓上，且．問與的夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值．參考答案：（1）設(shè)扇形半徑為，圓心角由得或又當(dāng)、時，不成立；當(dāng)、時，成立，所以（2）如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B，C．由得，．即．則又，則，故．19.如圖，在四棱錐中，⊥平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，底面是菱形，對角線，交于點(diǎn)．

求證：（1）平面平面；（2）平面⊥平面．參考答案：（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以又平面，平面，所以平面

同理可證，平面，又所以，平面平面．

（2）因?yàn)椤推矫?，平面，所以因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又所以⊥平?/p>

又平面，所以平面⊥平面．20.（10分）如圖所示，近日我漁船編隊(duì)在島A周圍海域作業(yè)，在島A的南偏西20°方向有一個海面觀測站B，某時刻觀測站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，上級指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時的速度向島A直線航行以保護(hù)我漁船編隊(duì)，30分鐘后到達(dá)D處，此時觀測站測得B，D間的距離為21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島A？

參考答案：【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由已知可得CD=20，△BDC中，根據(jù)余弦定理求得cos∠BDC的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠BDC的值．（Ⅱ）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到達(dá)A的時間．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得CD=40×=20，△BDC中，根據(jù)余弦定理求得cos∠BDC==﹣，∴sin∠BDC=．（Ⅱ）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．△ABD中，由正弦定理可得AD==15，∴t==22.5分鐘．即海警船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島A．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式公式的應(yīng)用，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f（3x﹣2）=x﹣1（x∈），函數(shù)g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定義域；（2）設(shè)h（x）=2+g（x2），試求函數(shù)y=h（x）的最值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)t=3x﹣2，于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，求出t的范圍，把t換為x，可得f（x）的解析式，進(jìn)一步可求g（x）的解析式，再根據(jù)解析式求函數(shù)f（x）與g（x）的定義域；（2）設(shè)t=log3x，則h（x）=t2+6t+6，這樣就把原來的函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值．【解答】解：（1）設(shè)t=3x﹣2，∵0≤x≤2，∴﹣1≤3x﹣2≤7，∴t∈，則x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，t∈∴f（x）=log3（x+2）﹣1（x∈），根據(jù)題意得g（x）=f（x﹣2）+3=log3x+2又由﹣1≤x﹣2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈）…（7分）（2）∵g（x）=log3x+2，x∈∴要使函數(shù)h（x）=2+g（x2）有意義，必須∴1≤x≤3，∴（