高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

數(shù)學(xué)歸納法的課標(biāo)分析一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的解決思路探尋，了解數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的根源及其無(wú)窮遞推的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上歸納概括出數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟.2.體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的思想，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的恒等式.3.了解通過(guò)“觀察”“歸納”“證明”來(lái)發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.二、難點(diǎn)或疑點(diǎn)：但數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結(jié)構(gòu)形式，運(yùn)用技巧，就是對(duì)其自身的可靠性，學(xué)生都有一定的疑慮，具體可能會(huì)體現(xiàn)在以下一些方面：1.數(shù)學(xué)歸納法所要解決的是無(wú)窮多個(gè)命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問(wèn)題，由此造學(xué)生在理解上的兩點(diǎn)困難：（1）對(duì)“無(wú)窮”的模糊認(rèn)知和神秘感；（2）對(duì)于一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題P(n)，會(huì)難以將其看作是一個(gè)隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.2.為什么要引進(jìn)數(shù)學(xué)歸納法？驗(yàn)證為何不可行？3.數(shù)學(xué)歸納法的兩步驟中，對(duì)第二步的認(rèn)識(shí)往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問(wèn)題，誤解為證明P(k+1)的真實(shí)性.由此造成對(duì)證明中何以用“假設(shè)”的不理解.4.數(shù)學(xué)歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應(yīng)保證k從第一個(gè)值時(shí)的任意一個(gè)整數(shù)都能成立,由此只要第一個(gè)值成立，就能確?？梢砸恢边f推下去.5.數(shù)學(xué)歸納法中的遞推是一種無(wú)窮盡的動(dòng)態(tài)過(guò)程，學(xué)生對(duì)于不斷反復(fù)地運(yùn)用步驟二來(lái)進(jìn)行推理的模式缺乏清晰的認(rèn)知.數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用時(shí)對(duì)起點(diǎn)可作適當(dāng)?shù)钠疲瑢?duì)第二步的證明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進(jìn)行深入分析，本課側(cè)重解決對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.突破的關(guān)鍵：由于中學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)缺乏理論基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問(wèn)題的提出、思考的過(guò)程，通過(guò)具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解。《數(shù)學(xué)歸納法》教材分析一．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)、地位、作用分析《數(shù)學(xué)歸納法》是人教社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第選修II第二章第三節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共三課時(shí)，這是第一課時(shí),主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用人類對(duì)問(wèn)題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。二．教學(xué)目標(biāo)分析知識(shí)與技能：1.了解由歸納法得出的結(jié)論具有不可靠性,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì);2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力,體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想．過(guò)程與方法:1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程;2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，逐步體驗(yàn)觀察、歸納、猜想、論證的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硪庾R(shí)，并初步掌握論證方法;3.通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀:1.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的討論，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；3.通過(guò)置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)情分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)（1）對(duì)正整數(shù)的特點(diǎn)的有一定的感性認(rèn)識(shí)；（2）對(duì)“無(wú)窮”的概念有一定的認(rèn)識(shí)和興趣；（3）在數(shù)列的學(xué)習(xí)中對(duì)遞推思想有一定的體會(huì)；（4）在生活經(jīng)驗(yàn)中接觸到一些具有遞推性質(zhì)的事實(shí)；（5）了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)中的疑惑：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，學(xué)生疑慮重重．為什么必須是兩步呢？假設(shè)成立有依據(jù)嗎？學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)對(duì)這兩點(diǎn)不能完全理解，只能依葫蘆畫瓢，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)設(shè)法進(jìn)行強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，由學(xué)生對(duì)多米諾骨牌游戲的原理進(jìn)行討論并自己提煉概括，然后由多米諾骨牌游戲的原理類比到數(shù)學(xué)歸納法的兩步，并對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩步進(jìn)行理論上的證明，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩步的理解，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解更有深度和廣度．由此不難確定本課教學(xué)重點(diǎn)為數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析,初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理;教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解,及用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟的理解.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺缺一不可．?dāng)?shù)學(xué)歸納法【教材分析】1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是人教社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章第3節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)課標(biāo)要求，本書該節(jié)共2課時(shí)，這是第一課時(shí)，其主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用。2、地位作用：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過(guò)剖析生活實(shí)例中蘊(yùn)含的思維過(guò)程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計(jì)思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能：（1）了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟。（2）會(huì)證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。2、過(guò)程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意見和數(shù)學(xué)交流能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。(3)“歸納——猜想——證明”的方法技巧【教學(xué)方法】運(yùn)用類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)；【教學(xué)手段】借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學(xué)；【教學(xué)程序】第一階段：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維情境1、數(shù)列通過(guò)對(duì)前4項(xiàng)歸納，猜想——可以讓學(xué)生通過(guò)數(shù)列的知識(shí)加以驗(yàn)證——“不完全歸納有時(shí)是正確的”。通過(guò)對(duì)上述情況的探究可以發(fā)現(xiàn)用“不完全歸納法”得到的結(jié)論不一定可靠。為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學(xué)歸納法。第二階段：搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣1、“多米諾骨牌”游戲動(dòng)畫演示：探究“多米諾骨牌”全部倒下的條件引導(dǎo)學(xué)生思考并分析“多米諾骨牌”全部倒下的兩個(gè)條件；①第一塊骨牌倒下；②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。強(qiáng)調(diào)條件②的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。2、類比“多米諾骨牌”的原理來(lái)驗(yàn)證情境1中對(duì)于通項(xiàng)公式的猜想。“多米諾骨牌”原理①第一塊骨牌倒下；②若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下驗(yàn)證猜想↓↓①驗(yàn)證猜想成立②如果時(shí)，猜想成立。即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)猜想成立3、引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈，k≥)時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．（歸納遞推）完成這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．第三階段：鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過(guò)程例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。=右邊即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。由（1）、（2）可知，n∈時(shí)，等式成立。師生共同總結(jié)：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。2、兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可3、在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變換。例2:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項(xiàng)和，計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。解:可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1,可以猜想證明過(guò)程由學(xué)生自主完成。方法反思：利用歸納--猜想---證明的模式去探索問(wèn)題鞏固練習(xí):已知每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,觀察圖像你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論？歸納猜想：1+3+5+…+(2n–1)=n21+3+5+…+(2n–1)=n2(n∈N*)證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=12=1，等式成立.假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+(2k–1)=k2=k2=k2+2k+1根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切n∈N根據(jù)（1）,（2）知等式對(duì)一切n∈N*都成立.【課堂小結(jié)】（1）數(shù)學(xué)歸納法只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟（3）本節(jié)課通過(guò)從“多米諾骨牌”講起，借助這個(gè)游戲的設(shè)計(jì)理念，揭示了數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系。（4）本節(jié)課使用數(shù)學(xué)歸納法只證明了與正整數(shù)有關(guān)的等式成立的問(wèn)題，在以后的學(xué)習(xí)中，我們將會(huì)遇到使用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式及幾何問(wèn)題，也會(huì)遇到n0的取值不是1的情況。在下一節(jié)課我們還將通過(guò)具體的例子使同學(xué)們明白為什么在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)兩個(gè)步驟缺一不可。【作業(yè)】1基礎(chǔ)作業(yè)：課本96頁(yè)A組1,22提高作業(yè)：已知數(shù)列滿足，(1)求(2)由(1)猜想的通項(xiàng)公式;(3)【板書設(shè)計(jì)】§2·3數(shù)學(xué)歸納法(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．（歸納遞推）由1°和2°對(duì)任意的n≥n0,n∈N*命題成立猜想證明過(guò)程：1)學(xué)生板演2)例題：數(shù)學(xué)歸納法評(píng)測(cè)練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋13．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A．過(guò)程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)35．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)不等式左邊()A．增加了一項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1)D．以上各種情況均不對(duì)6若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_____．7．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比列(n∈N*)，求a2，a3，a4與b2，b3，b4的值，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．效果分析本節(jié)課，教學(xué)設(shè)計(jì)充分考慮了學(xué)生主體地位和教師的主導(dǎo)地位相結(jié)合的原則，力求嘗試讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，嘗試探究。取得了較好的效果，具體表現(xiàn)如下：學(xué)生對(duì)知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成非常好：大部分同學(xué)通過(guò)學(xué)案上素材及課件中的輔助材料掌握了本節(jié)課知識(shí)目標(biāo)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，理解歸納遞推的思想培養(yǎng)了學(xué)生的合作探究和表達(dá)能力：為了突出在本節(jié)課中突出學(xué)生的主題地位，設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮了學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)。比如學(xué)生較好的完成了學(xué)案上設(shè)置的問(wèn)題，預(yù)習(xí)效果不錯(cuò)。更難能可貴的是，在小組合作探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，并能用歸納假設(shè)作條件運(yùn)用運(yùn)算技巧證明n=k+1時(shí)的命題，順利的突破了本節(jié)課的